【数学】2019届一轮复习北师大版圆锥曲线的方程与性质学案

【数学】2019届一轮复习北师大版圆锥曲线的方程与性质学案

专题五 解析几何 第二讲 圆锥曲线的方程与性质 高考导航 以某一圆锥曲线或两种曲线组合为载体，考查的角度有定义、方程和性质，尤其是离心率、焦点三角形和焦点弦问题是考查的重点.‎ ‎1．(2017·浙江卷)椭圆＋＝1的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 由题意得，a＝3，b＝2，‎ ‎∴c＝＝，‎ ‎∴离心率e＝＝，故选B.‎ ‎[答案] B ‎2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[解析] 解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k>0)，即－＝1，∵双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，∴4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为－＝1.‎ 解法二：∵椭圆＋＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，∴a2＋b2‎ ‎＝(±3)2＝9①，‎ ‎∵双曲线的一条渐近线为y＝x，∴＝②，‎ 联立①②可解得a2＝4，b2＝5.∴双曲线C的方程为－＝1.‎ ‎[答案] B ‎3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎[解析] 不妨设C：y2＝2px(p>0)，A(x1,2)，则x1＝＝，由题意可知|OA|＝|OD|，得2＋8＝2＋5，解得p＝4.故选B.‎ ‎[答案] B ‎4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎[解析] 以线段A‎1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，‎ ‎∴＝a，即2b＝，‎ ‎∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴＝，∴e＝＝.‎ ‎[答案] A ‎5．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.‎ ‎[解析] 如图所示，设N(0，m)．‎ 又F(2,0)，则M.设M代入y2＝8x，得＝8，解得m＝±4.‎ ‎∴|FN|＝＝＝6.‎ ‎[答案] 6 ‎ 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝‎2a(‎2a>|F‎1F2|)；‎ ‎(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝‎2a(‎2a<|F‎1F2|)；‎ ‎(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.‎ ‎[对点训练] ‎ ‎1．(2017·惠州二模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是(，0)，且截直线x＝所得弦长为，则该椭圆的方程为( )‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎[解析] 由已知得c＝，直线x＝过椭圆的右焦点，且垂直于x轴，由可得y＝±，∴截直线x＝所得弦长为，由得a2＝6，b2＝4.‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎[答案] D ‎2．(2017·惠阳二模)已知F1，F2为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F‎1F2P＝( )‎ A. B. C. D．－ ‎[解析] 由题意可知，a＝4，b＝3，∴c＝5，设|PF1|＝2x，|PF2|＝x，则|PF1|－|PF2|＝x＝‎2a＝8，故|PF1|＝16，|PF2|＝8，又|F‎1F2|＝10，利用余弦定理可得cos∠F‎1F2P＝＝－.‎ ‎[答案] D ‎3．(2017·湖南六校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[解析] 以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，又因为点(3,4)在圆上，所以32＋42＝c2，所以c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且点(3,4)在这条渐近线上，所以＝，又a2＋b2＝c2＝25，解得a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.‎ ‎[答案] C ‎4．(2017·武汉市武昌区高三二调)已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝|PF|，则△PKF的面积为________．‎ ‎[解析] 由已知得，F(2,0)，K(－2,0)，过P作PM垂直于准线，则|PM|＝|PF|，又|PK|＝|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2,‎2‎m)(m>0)，则m2＋2＝4，解得m＝，故△PKF的面积S＝4×2××＝8.‎ ‎[答案] 8‎ ‎ 求解圆锥曲线标准方程的思路方法 ‎(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．‎ ‎(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a2，b2或p.‎ ‎【特别提醒】 抛物线定义的实质是抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化．‎ 考点二 圆锥曲线的几何性质 ‎1．在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝ .‎ ‎2．在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.‎ ‎3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎[对点训练] ‎ ‎1．(2017·惠州市高三三调)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )‎ A. B. C．2 D．3‎ ‎[解析] 设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入－＝1中得 y2＝b2＝，∴y＝±，故|AB|＝，依题意 ＝‎4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝，选A.‎ ‎[答案] A ‎2．(2017·临汾二模)若直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为( )‎ A. B. C.－1 D．4－2 ‎[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c.由y＝－x得∠AOF2＝，∠AOF1＝，∴|AF2|＝c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝‎2a，‎ ‎∴c＋c＝‎2a，∴e＝＝－1.‎ ‎[答案] C ‎3．(2017·南昌调研)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝‎6a，且△PF‎1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )‎ A.x±y＝0 B．x±y＝0‎ C．x±2y＝0 D．2x±y＝0‎ ‎[解析] 由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，‎ ‎|PF1|－|PF2|＝‎2a，‎ 又|PF1|＋|PF2|＝‎6a，‎ 解得|PF1|＝‎4a，|PF2|＝‎2a.‎ 在△PF‎1F2中，|F‎1F2|＝‎2c，而c>a，‎ 所以|PF2|<|F‎1F2|，‎ 所以∠PF‎1F2＝30°，所以(‎2a)2＝(‎2c)2＋(‎4a)2－2×‎2c×4acos30°，‎ 得c＝a，所以b＝＝a，‎ 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.故选A.‎ ‎[答案] A ‎4．(2017·山西四校联考)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则双曲线C的离心率的取值范围是________．‎ ‎[解析] 设O为坐标原点，由2|＋|≤||，得4||≤‎2c(‎2c为双曲线的焦距)，∴||≤c，又由双曲线的性质可得||≥a，于是a≤c，e≥2，即e的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎[答案] [2，＋∞)‎ ‎ 应用圆锥曲线性质的2个注意点 ‎(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．‎ ‎(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．‎ 考点三 抛物线中的最值问题 抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．‎ ‎ [解析] (1)由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝－1＝－1.选C.‎ ‎(2)过P作PM⊥l于M，则由抛物线定义知|PM|＝|PF|，‎ 故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.‎ 当A、P、M三点共线时，‎ ‎|PA|＋|PM|最小，此时点P坐标为(2,2)，故选C.‎ ‎[答案] (1)C (2)C ‎[探究追问] 若本例(2)中A点坐标改为(－3,2)，其他条件不变，则|PA|－|PF|的最小值为________．‎ ‎[解析] 当PA∥x轴时，|PA|－|PF|取得最小值，此时|PA|－|PF|＝.‎ ‎[答案] ‎ 与抛物线最值有关问题的两种转化 ‎(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．‎ ‎(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．‎ ‎ [对点训练]‎ ‎1．(2017·郑州检测)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )‎ A. B. C．1 D．2‎ ‎[解析] 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则 ‎|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，选D.‎ ‎[答案] D ‎2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为( )‎ A．6 B．2＋4 C．2 D．4 ‎[解析] 由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F(－2,0)，准线方程为x＝2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O关于准线的对称点为O′(4,0)，则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|PA|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝2.‎ ‎[答案] C 热点课题18 方程思想在圆锥曲线几何性质中的应用 ‎ [感悟体验]‎ ‎1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2＝45°，则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C.－1 D.－1‎ ‎[解析] 根据题意可知，在Rt△PF‎1F2中，|PF2|＝，|F‎1F2|＝‎2c，∠F1PF2＝45°，所以|F‎1F2|＝|PF2|，所以＝‎2c，又b2＝a2－c2，代入整理得c2＋‎2ac－a2＝0，所以e2＋2e－1＝0，即e＝－1±，又00，b>0)左支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M、N两点(如图)，点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是________．‎ ‎[解析] 由题意可知，ON为△PF‎1F2的中位线，∴PF1∥ON，‎ ‎∴tan∠PF‎1F2＝tan∠NOF2＝kON＝，‎ ‎∴ 解得 又|PF2|－|PF1|＝‎2a，∴2b－‎2a＝‎2a，b＝‎2a，c＝＝a，‎ e＝＝.‎ ‎[答案]