高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 第6讲 函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 第6讲 函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 第6讲 函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法 ‎【知识要点】‎ 一、判断函数单调性的方法 判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像 ‎1、定义法 ‎ 用定义法判断函数的单调性的一般步骤：‎ ‎①取值，设，且；‎ ‎②作差，求；‎ ‎③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；‎ ‎④判断的正负符号；‎ ‎⑤根据函数单调性的定义下结论.‎ ‎2、复合函数分析法 设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：‎ 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 ‎3、导数判断法 设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）.‎ ‎4、图像法 ‎ ‎ 一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.‎ 第 7 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 二、证明函数的单调性的方法 证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.‎ 三、求函数的单调区间 求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 ‎1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少. ‎ ‎2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.‎ ‎3、导数法:先求函数的定义域，然后求导，再解不等式 ,分别和求交集，得函数的递增（减）区间 . ‎ ‎4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.‎ 四、一些重要的有用的结论 ‎1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数、和；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数.‎ ‎2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数和函数都是增函数，但是它们的乘积函数不是增函数.‎ ‎ 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”.‎ ‎4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.‎ ‎5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数的增区间为.不要写成.‎ 第 7 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 ‎【方法讲评】‎ 方法1 定义法 使用 情景 一般适用于结构较简单的函数.‎ 解题 步骤 ‎①取值，设，且；‎ ‎②作差，求；‎ ‎③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；‎ ‎④判断的正负符号；‎ ‎⑤根据函数单调性的定义下结论.‎ ‎【例1】证明函数在区间是增函数.‎ ‎【反馈检测1】讨论函数在上的单调性.‎ ‎【例2】已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有 ‎，且当时，.‎ ‎（1）求证是偶函数；‎ ‎（2）在上时增函数；‎ ‎（3）解不等式.‎ 第 7 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 ‎【反馈检测2】已知是定义在区间上的奇函数，且，‎ 若时，有.‎ ‎（1）解不等式 ‎（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围.‎ 方法2 导数法 使用情景 一般使用于结构较复杂的函数.‎ 解题步骤 先求函数的定义域，再求导，再判断的符号，‎ 最后下结论.‎ ‎【例3】已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设.如果对任意，，求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【反馈检测3】已知函数.‎ ‎(1)当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）设当时，若对任意，存在，‎ 使，求实数取值范围.‎ 第 7 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 ‎【例4】函数，，求函数的单调区间与极值.‎ ‎【反馈检测4】 某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点及的中点处，已知, ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形的区域上（含边界），且与等距离的一点处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道，设排污管道的总长为．‎ ‎（1）按下列要求写出函数关系式：‎ ‎① 设，将表示成的函数关系式；‎ ‎② 设() ，将表示成的函数关系式．‎ ‎（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．‎ ‎【反馈检测5】函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 第 7 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 ‎【反馈检测6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 方法3 复合函数分析法 使用 情景 较简单的复合函数.‎ 解题 步骤 先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.‎ ‎【例5】函数 的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【反馈检测7】已知函数 ‎ ‎，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为.‎ (1) 求；‎ (2) 若将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的最大值及单调递减区间．‎ 第 7 页 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测 方法4 图像法 使用情景 函数的图像比较容易画出.‎ 解题步骤 ‎ 一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.‎ ‎【例6】求函数的单调区间.‎ ‎【反馈检测8】 已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当时，‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若=2，求的值；‎ ‎（3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间.‎ ‎ ‎ 第 7 页