新高考2020高考数学二轮复习大题考法专训七导数与函数的单调性极值最值20200113034

新高考2020高考数学二轮复习大题考法专训七导数与函数的单调性极值最值20200113034

大题考法专训（七） 导数与函数的单调性、极值、最值 A级——中档题保分练 ‎1．(2019·济南模拟)已知函数f(x)＝asin x＋bcos x(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y＝x－.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)求函数g(x)＝在上的最小值．‎ 解：(1)由切线方程知，当x＝时，y＝0，‎ ‎∴f＝a＋b＝0.‎ ‎∵f′(x)＝acos x－bsin x，‎ ‎∴由切线方程知，f′＝a－b＝1.‎ ‎∴a＝，b＝－.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝sin x－cos x＝sin.‎ ‎∴g(x)＝，g′(x)＝.‎ 设u(x)＝xcos x－sin x，‎ 则u′(x)＝－xsin x＜0，故u(x)在上单调递减．∴u(x)＜u(0)＝0，∴g(x)在上单调递减．‎ ‎∴g(x)在上的最小值为g＝.‎ ‎2．已知函数f(x)＝xex－a(a∈R)．‎ ‎(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程；‎ ‎(2)当a＞0时，求函数f(x)的单调区间．‎ 解：(1)当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex，‎ 所以切线的斜率k＝f′(1)＝2e.‎ 又f(1)＝e，‎ - 6 -‎ 所以y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即2ex－y－e＝0.‎ ‎(2)f′(x)＝(x＋1)(ex－a)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝ln a.‎ ‎①当a＝时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增．‎ ‎②当0＜a＜时，ln a＜－1，由f′(x)＞0，得x＜ln a或x＞－1；由f′(x)＜0，得ln a＜x＜－1，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)．‎ ‎③当a＞时，ln a＞－1，由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞ln a；由f′(x)＜0，得－1＜x＜ln a，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．‎ 综上所述，当a＝时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；‎ 当0＜a＜时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)；‎ 当a＞时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．‎ ‎3．已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋aln x＋1，a∈R.‎ ‎(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的极大值；‎ ‎(2)求a的取值范围，使得f(x)≥1恒成立．‎ 解：(1)f′(x)＝x－(a＋1)＋(x＞0)．‎ ‎∵x＝3是f(x)的极值点，‎ ‎∴f′(3)＝3－(a＋1)＋＝0，解得a＝3.‎ 当a＝3时，f′(x)＝＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化见下表：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ - 6 -‎ f(x)‎  极大值  极小值  ‎∴f(x)的极大值为f(1)＝－.‎ ‎(2)要使f(x)≥1恒成立，即x＞0时，x2－(a＋1)x＋aln x≥0恒成立．‎ 设g(x)＝x2－(a＋1)x＋aln x，‎ 则g′(x)＝x－(a＋1)＋＝.‎ ‎①当a≤0时，由g′(x)＜0得g(x)的单调递减区间为(0,1)，‎ 由g′(x)＞0得g(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝－a－≥0，解得a≤－.‎ ‎②当0＜a＜1时，由g′(x)＜0得g(x)的单调递减区间为(a,1)，‎ 由g′(x)＞0得g(x)的单调递增区间为(0，a)，(1，＋∞)，‎ 此时g(1)＝－a－＜0，不合题意．‎ ‎③当a＝1时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时g(1)＝－a－＜0，不合题意．‎ ‎④当a＞1时，由g′(x)＜0得g(x)的单调递减区间为(1，a)，‎ 由g′(x)＞0得g(x)的单调递增区间为(0,1)，(a，＋∞)，此时g(1)＝－a－＜0，不合题意．‎ 综上所述，若满足f(x)≥1恒成立，a的取值范围为.‎ B级——拔高题满分练 ‎1．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．‎ ‎(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，‎ 则h′(x)＝－ax－2.‎ 由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，‎ 知当x∈(0，＋∞)时，－ax－2＜0有解，‎ - 6 -‎ 即a＞－有解．‎ 设G(x)＝－，则只要a＞G(x)min即可，‎ 而G(x)＝2－1，‎ 所以G(x)min＝－1，‎ 所以a＞－1，即实数a的取值范围为(－1，＋∞)．‎ ‎(2)由h(x)在[1,4]上单调递减，得当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．‎ 设G(x)＝－，则a≥G(x)max，‎ 而G(x)＝2－1.‎ 又x∈[1,4]，所以∈，‎ 所以G(x)max＝－(此时x＝4)，‎ 所以a≥－，‎ 即实数a的取值范围为.‎ ‎2．(2019·银川模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x.‎ ‎(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值．‎ 解：(1)∵f(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎∴f′(x)＝－2ax＋(a－2)＝.‎ ‎∵f(x)在x＝1处取得极值，‎ 即f′(1)＝－(2－1)(a＋1)＝0，∴a＝－1.‎ 当a＝－1时，在内f′(x)＜0，在(1，＋∞)内f′(x)＞0，∴x＝1是函数y＝f(x)的极小值点．‎ ‎∴a＝－1.‎ ‎(2)∵a2＜a，∴0＜a＜1.f′(x)＝－2ax＋(a－2)＝，‎ - 6 -‎ ‎∵x∈(0，＋∞)，∴ax＋1＞0，‎ ‎∴当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；‎ 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．‎ ‎①当0＜a≤时，f(x)在[a2，a]上单调递增，‎ ‎∴f(x)max＝f(a)＝ln a－a3＋a2－‎2a.‎ ‎②当即＜a＜时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴f(x)max＝f＝－ln 2－＋＝－1－ln 2.‎ ‎③当≤a2，即≤a＜1时，f(x)在[a2，a]上单调递减，‎ ‎∴f(x)max＝f(a2)＝2ln a－a5＋a3－‎2a2.‎ 综上所述，当0＜a≤时，函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值是ln a－a3＋a2－‎2a；‎ 当＜a＜时，函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值是－1－ln 2；‎ 当≤a＜1时，函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值是2ln a－a5＋a3－‎2a2.‎ ‎3．已知函数f(x)＝ex(cos x－sin x)．‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；‎ ‎(2)令g(x)＝f(x)＋ex(2x－2)－a(x2＋2cos x)，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，若有，求出极值．‎ 解：(1)∵f′(x)＝ex(cos x－sin x)＋ex(－sin x－cos x)＝－2exsin x，∴f′(0)＝0.‎ 又f(0)＝1，∴切线方程为y＝1.‎ ‎(2)依题意得g(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，‎ ‎∴g′(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)＋ex(－sin x－cos x＋2)－a(2x－2sin x)＝2(x－sin x)(ex－a)．‎ 令u(x)＝x－sin x，则u′(x)＝1－cos x≥0，‎ ‎∴函数u(x)在R上单调递增．‎ ‎∵u(0)＝0，∴x＞0时，u(x)＞0；x＜0时，u(x)＜0.‎ 当a≤0时，ex－a＞0，则x＞0时，g′(x)＞0，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；x＜0时，g′(x)＜0，函数g(x)在(－∞，0)上单调递减．∴x＝0时，函数g(x)取得极小值，g(x)极小值＝g(0)＝－‎2a－1，无极大值．‎ - 6 -‎ 当a＞0时，g′(x)＝2(x－sin x)(ex－a)＝2(x－sin x)·(ex－eln a)，‎ 令g′(x)＝0，得x1＝ln a，x2＝0.‎ ‎①若0＜a＜1，‎ x∈(－∞，ln a)时，ex－eln a＜0，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；‎ x∈(ln a,0)时，ex－eln a＞0，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减；‎ x∈(0，＋∞)时，ex－eln a＞0，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，‎ ‎∴当x＝0时，函数g(x)取得极小值，g(x)极小值＝g(0)＝－‎2a－1；‎ 当x＝ln a时，函数g(x)取得极大值，g(x)极大值＝g(ln a)＝－a[ln‎2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．‎ ‎②若a＝1，ln a＝0，x∈R时，g′(x)≥0，‎ ‎∴函数g(x)在R上单调递增，无极值．‎ ‎③若a＞1，ln a＞0，‎ x∈(－∞，0)时，ex－eln a＜0，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；‎ x∈(0，ln a)时，ex－eln a＜0，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减；‎ x∈(ln a，＋∞)时，ex－eln a＞0，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增．‎ ‎∴当x＝0时，函数g(x)取得极大值，g(x)极大值＝g(0)＝－‎2a－1；当x＝ln a时，函数g(x)取得极小值，g(x)极小值＝g(ln a)＝－a[ln‎2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．‎ 综上所述，当a≤0时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，g(x)的极小值为－‎2a－1，无极大值；‎ 当0＜a＜1时，函数g(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，g(x)的极小值为－‎2a－1，极大值为－a[ln‎2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]；‎ 当a＝1时，函数g(x)在R上单调递增，无极值；‎ 当a＞1时，函数g(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减，g(x)的极大值为－‎2a－1，极小值为－a[ln‎2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．‎ - 6 -‎