2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)

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文档介绍

2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)

‎2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)复数(i为虚数单位)等于(  )‎ A.﹣1﹣3i B.﹣1+3i C.1﹣3i D.1+3i ‎2.(5分)设集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A∩B=A,则a的取值范围是(  )‎ A.{a|a≤2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}‎ ‎3.(5分)设向量=(1,m),=(m﹣1,2),且≠,若(﹣)⊥,则实数m=(  )‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎4.(5分)下列说法正确的是(  )‎ A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”‎ B.“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题 C.∃x0∈(0,+∞),使成立 D.“若,则”是真命题 ‎5.(5分)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=(  )‎ A.4 B.5 C.2 D.3‎ ‎6.(5分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于(  )‎ A.10cm3 B.20cm3  C.30cm3 D.40cm3‎ ‎7.(5分)若将函数f(x)=sin(2x+)图象上的每一个点都向左平移个单位,得到g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为(  )‎ A.[kπ﹣,kπ+](k∈Z) B.[kπ+,kπ+](k∈Z)‎ C.[kπ﹣,kπ﹣](k∈Z) D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)‎ ‎8.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且an+2﹣2an+1+an=0(n∈N*),记Tn=,则T2018=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(5分)已知函数,若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,1) D.(﹣∞,1]‎ ‎10.(5分)已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A,B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的平方为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(5分)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛),他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a,b满足a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列,则的最小值为(  )‎ A. B.2 C. D.9‎ ‎12.(5分)若对于任意的正实数x,y都有成立,则实数m的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为   .‎ ‎14.(5分)如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a﹣1)y=a﹣7平行,则a=   .‎ ‎15.(5分)已知数列{an}满足,且a1+a2+a3+…+a10=1,则log2(a101+a102+…+a110)=   .‎ ‎16.(5分)已知双曲线的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M,交另一条渐近线于N,若,则双曲线的渐近线方程为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b.‎ ‎(1)求角C;‎ ‎(2)若△ABC的面积为,求ab的最小值.‎ ‎18.(12分)2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试,为了考察高中学生的身体素质比情况,现抽取了某校1000名(男生800名,女生200名)学生的测试成绩,根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析,得到如下统计图表:‎ 男生测试情况:‎ 抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀 人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎47‎ x 女生测试情况 抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎10‎ y ‎2‎ ‎(1)现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生,求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率;‎ ‎(2)若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”,其它等级的学生(含病残免试)为“非体育达人”,根据以上统计数据填写下面列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关?‎ 男性 女性 总计 体育达人 非体育达人 总计 临界值表:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附:(,其中n=a+b+c+d)‎ ‎19.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB=6,,,D,E为线段AB上的点,且AD=2DB,PD⊥AC.‎ ‎(1)求证:PD⊥平面ABC;‎ ‎(2)若,求点B到平面PAC的距离.‎ ‎20.(12分)已知圆C:x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F的距离为.‎ ‎(1)求抛物线E的方程;‎ ‎(2)不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=lnx﹣a(x+1),a∈R在(1,f(1))处的切线与x轴平行.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有成立,求k的取值范围.‎ ‎22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若,设直线l与曲线C交于A,B两点,求△AOB的面积.‎ ‎23.设函数f(x)=|x+3|,g(x)=|2x﹣1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)<g(x);‎ ‎(2)若2f(x)+g(x)>ax+4对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)复数(i为虚数单位)等于(  )‎ A.﹣1﹣3i B.﹣1+3i C.1﹣3i D.1+3i ‎【解答】解:==﹣1﹣3i 故选A ‎ ‎ ‎2.(5分)设集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A∩B=A,则a的取值范围是(  )‎ A.{a|a≤2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}‎ ‎【解答】解:∵A∩B=A,‎ ‎∴A⊆B.‎ ‎∵集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},‎ ‎∴a≥2‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)设向量=(1,m),=(m﹣1,2),且≠,若(﹣)⊥,则实数m=(  )‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎【解答】解:∵(﹣)⊥,‎ ‎∴(﹣)•=0,‎ 即2﹣•=0,‎ 即1+m2﹣(m﹣1+2m)=0,‎ 即m2﹣3m+2=0,‎ 得m=1或m=2,‎ 当m=1时,量=(1,1),=(0,2),满足≠,‎ 当m=2时,量=(1,2),=(1,2),不满足≠,‎ 综上m=1,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)下列说法正确的是(  )‎ A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”‎ B.“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题 C.∃x0∈(0,+∞),使成立 D.“若,则”是真命题 ‎【解答】解:“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a≤1,则a2≤1”,故A错;‎ ‎“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为假命题,比如m=0,若a<b,则am2=bm2,故B错;‎ 对任意x>0,均有3x<4x成立,故C错;‎ 对若,则”的逆否命题是“若α=,则sinα=”为真命题,‎ 则D正确.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=(  )‎ A.4 B.5 C.2 D.3‎ ‎【解答】解:模拟执行程序,可得 a=1,A=1,S=0,n=1‎ S=2‎ 不满足条件S≥10,执行循环体,n=2,a=,A=2,S=‎ 不满足条件S≥10,执行循环体,n=3,a=,A=4,S=‎ 不满足条件S≥10,执行循环体,n=4,a=,A=8,S=‎ 满足条件S≥10,退出循环,输出n的值为4.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于(  )‎ A.10cm3 B.20cm3  C.30cm3 D.40cm3‎ ‎【解答】解:由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图:‎ 棱柱的高为5;底面为直角三角形,直角三角形的直角边长分别为3、4,‎ ‎∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20(cm3).‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)若将函数f(x)=sin(2x+)图象上的每一个点都向左平移个单位,得到g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为(  )‎ A.[kπ﹣,kπ+](k∈Z) B.[kπ+,kπ+](k∈Z)‎ C.[kπ﹣,kπ﹣](k∈Z) D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)‎ ‎【解答】解:将函数f(x)=sin(2x+)图象上的每一个点都向左平移个单位,得到g(x)=sin[2(x+)+]=﹣sin2x的图象,‎ 故本题即求y=sin2x的减区间,令2kπ+≤2x≤2kπ+,求得kπ+≤x≤kπ+,‎ 故函数g(x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且an+2﹣2an+1+an=0(n∈N*),记Tn=,则T2018=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且an+2﹣2an+1+an=0(n∈‎ N*),‎ 则:数列为等差数列.‎ 设公差为d,则:d=a2﹣a1=2﹣1=1,‎ 则:an=1+n﹣1=n.‎ 故:,‎ 则:,‎ 所以:,‎ ‎=,‎ ‎=,‎ ‎=.‎ 所以:.‎ 故选:C ‎ ‎ ‎9.(5分)已知函数,若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,1) D.(﹣∞,1]‎ ‎【解答】解:当x≤0时,f(x)单调递增,∴f(x)≤f(0)=1﹣a,‎ 当x>0时,f(x)单调递增,且f(x)>﹣a.‎ ‎∵f(x)在R上有两个零点,‎ ‎∴,解得0<a≤1.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为A,B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的平方为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:方法一:依题意,作图如下:A(﹣a,0),B(0,b),F1(﹣c,0),F2(c,0),‎ ‎∴直线AB的方程为,整理得:bx﹣ay+ab=0,设直线AB上的点P(x,y),‎ 则bx=ay﹣ab,x=y﹣a,‎ ‎∵PF1⊥PF2,则•=(﹣c﹣x,﹣y)•(c﹣x,﹣y)=x2+y2﹣c2=()2+y2﹣c2,‎ 令f(y)=()2+y2﹣c2,则f′(y)=2(y﹣a)×+2y,‎ ‎∴由f′(y)=0得:y=,于是x=﹣,‎ ‎∴•=(﹣)2+()2﹣c2=0,‎ 整理得:=c2,又b2=a2﹣c2,整理得:c4+3c2c2﹣a4=0,两边同时除以a4,‎ 由e2=,∴e4﹣3e2+1=0,∴e2=,又椭圆的离心率e∈(0,1),‎ ‎∴e2=.‎ 椭圆的离心率的平方,‎ 故选B.‎ 方法二:由直线AB的方程为,整理得:bx﹣ay+ab=0,‎ 由题意可知:直线AB与圆O:x2+y2=c2相切,‎ 可得d==c,两边平方,整理得:c4+3c2c2﹣a4=0,两边同时除以a4,由e2=,e4﹣3e2+1=0,‎ ‎∴e2=,又椭圆的离心率e∈(0,1),∴e2=.‎ 椭圆的离心率的平方,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛),他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a,b满足a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列,则的最小值为(  )‎ A. B.2 C. D.9‎ ‎【解答】解:甲班学生成绩的中位数是80+x=81,得x=1;‎ 由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+(0+2+y+1+3+6)=598+y,‎ 乙班学生的平均分是86,且总分为86×7=602,所以y=4,‎ 若正实数a、b满足:a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列,‎ 则xy=G2,2G=a+b,即有a+b=4,a>0,b>0,‎ 则+=(a+b)(+)=(1+4++)≥(5+2)=×9=,‎ 当且仅当b=2a=时,的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)若对于任意的正实数x,y都有成立,则实数m的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:根据题意,对于(2x﹣)•ln≤,变形可得(2x﹣)ln≤,‎ 即(2e﹣)ln≤,‎ 设t=,则(2e﹣t)lnt≤,t>0,‎ 设f(t)=(2e﹣t)lnt,(t>0)‎ 则其导数f′(t)=﹣lnt+﹣1,‎ 又由t>0,则f′(t)为减函数,且f′(e)=﹣lne+﹣1=0,‎ 则当t∈(0,e)时,f′(t)>0,f(t)为增函数,‎ 当t∈(e,+∞)时,f′(t)<0,f(t)为减函数,‎ 则f(t)的最大值为f(e),且f(e)=e,‎ 若f(t)=(2e﹣t)lnt≤恒成立,必有e≤,‎ 解可得0<m≤,即m的取值范围为(0,];‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为 1 .‎ ‎【解答】解:设变量x,y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形,‎ 平移直线4x﹣y=0经过点A(1,3)时,4x﹣y最小,最小值为:1,‎ 则目标函数z=4x﹣y的最小值:1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a﹣1)y=a﹣7平行,则a= 3 .‎ ‎【解答】解:∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a﹣1)y=a﹣7平行,‎ ‎∴,‎ 解得a=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)已知数列{an}满足,且a1+a2+a3+…+a10=1,则log2(a101+a102+…+a110)= 100 .‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴log2an+1﹣log2an=1,即,‎ ‎∴.‎ ‎∴数列{an}是公比q=2的等比数列.‎ 则a101+a102+…+a110=(a1+a2+a3+…+a10)q100=2100,‎ ‎∴log2(a101+a102+…+a110)=.‎ 故答案为:100.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)已知双曲线的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M,交另一条渐近线于N,若,则双曲线的渐近线方程为 y=±x .‎ ‎【解答】解:由题意得右焦点F(c,0),‎ 设一渐近线OM的方程为y=x,‎ 则另一渐近线ON的方程为y=﹣x,‎ 由FM的方程为y=﹣(x﹣c),‎ 联立方程y=x,‎ 可得M的横坐标为,‎ 由FM的方程为y=﹣(x﹣c),联立方程y=﹣x,‎ 可得N的横坐标为.‎ 由2=,‎ 可得2(﹣c)=﹣c,‎ 即为﹣c=,‎ 由e=,可得﹣1=,‎ 即有e4﹣5e2+4=0,解得e2=4或1(舍去),‎ 即为e=2,即c=2a,b=a,‎ 可得渐近线方程为y=±x,‎ 故答案为:y=±x.‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b.‎ ‎(1)求角C;‎ ‎(2)若△ABC的面积为,求ab的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)由正弦定理可知:===2R,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,‎ 由2ccosB=2a+b,则2sinCcosB=2sin(B+C)+sinB,‎ ‎∴2sinBcosC+sinB=0,‎ 由0<B<π,sinB≠0,cosC=﹣,‎ ‎0<C<π,则C=;‎ ‎(2)由S=absinC=c,则c=ab,‎ 由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab,∴=a2+b2+ab≥3ab,‎ 当且仅当a=b时取等号,‎ ‎∴ab≥12,‎ 故ab的最小值为12.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试,为了考察高中学生的身体素质比情况,现抽取了某校1000名(男生800名,女生200名)学生的测试成绩,根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析,得到如下统计图表:‎ 男生测试情况:‎ 抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀 人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎47‎ x 女生测试情况 抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎10‎ y ‎2‎ ‎(1)现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生,求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率;‎ ‎(2)若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”,其它等级的学生(含病残免试)为“非体育达人”,根据以上统计数据填写下面列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关?‎ 男性 女性 总计 体育达人 非体育达人 总计 临界值表:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附:(,其中n=a+b+c+d)‎ ‎【解答】解:(1)按分层抽样男生应抽取80名,女生应抽取20名;‎ ‎∴x=80﹣(5+10+15+47)=3,‎ y=20﹣(2+3+10+2)=3;‎ 抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生,设为A,B,C;‎ 两位女生设为a,b;从5名任意选2名,总的基本事件有 AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10个;‎ 设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”;‎ 则事件包含的基本事件有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb共6个;‎ ‎∴P(A)==;‎ ‎(2)填写2×2列联表如下:‎ 男生 女生 总计 体育达人 ‎50‎ ‎5‎ ‎55‎ 非体育达人 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 总计 ‎80‎ ‎20‎ ‎100‎ 则K2=≈9.091;‎ ‎∵9.091>6.635且P(K2≥6.635)=0.010,‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB=6,,,D,E为线段AB上的点,且AD=2DB,PD⊥AC.‎ ‎(1)求证:PD⊥平面ABC;‎ ‎(2)若,求点B到平面PAC的距离.‎ ‎【解答】证明:(1)连接CD,据题知AD=4,BD=2,‎ ‎∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴cos,‎ ‎∴=8,∴CD=2,‎ ‎∴CD2+AD2=AC2,∴CD⊥AB,‎ 又∵平面PAB⊥平面ABC,∴CD⊥平面PAB,∴CD⊥PD,‎ ‎∵PD⊥AC,CD∩AC=C,∴PD⊥平面ABC.‎ 解:(2)∵,∴PD=AD=4,∴PA=4,‎ 在Rt△PCD中,PC==2,‎ ‎∴△PAC是等腰三角形,∴,‎ 设点B到平面PAC的距离为d,‎ 由VE﹣PAC=VP﹣AEC,得,‎ ‎∴d==3,‎ 故点B到平面PAC的距离为3.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)已知圆C:x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F的距离为.‎ ‎(1)求抛物线E的方程;‎ ‎(2)不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程.‎ ‎【解答】解:(1)圆C:x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为(x+1)2+(y﹣1)2=1,‎ 则圆心为(﹣1,1).‎ 抛物线E:y2=2px(p>0),焦点坐标F(),‎ 由于:圆心C到抛物线焦点F的距离为.‎ 则:,‎ 解得:p=6.‎ 故抛物线的方程为:y2=12x ‎(2)设直线的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则:,‎ 整理得:y2﹣12my﹣12t=0,‎ 所以:y1+y2=12m,y1y2=﹣12t.‎ 由于:OA⊥OB.‎ 则:x1x2+y1y2=0.‎ 即:(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.‎ 整理得:t2﹣12t=0,‎ 由于t≠0,‎ 解得t=12.‎ 故直线的方程为x=my+12,‎ 直线经过定点(12,0).‎ 当CN⊥l时,即动点M经过圆心C(﹣1,1)时到直线的距离取最大值.‎ 当CP⊥l时,即动点M经过圆心C(﹣1,1)时到动直线L的距离取得最大值.‎ kMP=kCP=﹣,‎ 则:m=.‎ 此时直线的方程为:x=,‎ 即:13x﹣y﹣156=0.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=lnx﹣a(x+1),a∈R在(1,f(1))处的切线与x轴平行.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有成立,求k的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)由已知可得f(x)的定义域为(0,+∞),‎ ‎∵f′(x)=﹣a,∴f′(1)=1﹣a=0,解得:a=1,‎ ‎∴f′(x)=,‎ 令f′(x)>0,解得:0<x<1,令f′(x)<0,解得:x>1,‎ 故f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;‎ ‎(1)不等式f(x)﹣+2x+>k(x﹣1)‎ 可化为lnx﹣+x﹣>k(x﹣1),‎ 令g(x)=lnx﹣+x﹣﹣k(x﹣1),(x>1),‎ g′(x)=,‎ ‎∵x>1,令h(x)=﹣x2+(1﹣k)x+1,‎ h(x)的对称轴是x=,‎ ‎①当≤1时,即k≥﹣1,‎ 易知h(x)在(1,x0)上递减,‎ ‎∴h(x)<h(1)=1﹣k,‎ 若k≥1,则h(x)≤0,‎ ‎∴g′(x)≤0,‎ ‎∴g(x)在(1,x0)递减,‎ ‎∴g(x)<g(1)=0,不适合题意.‎ 若﹣1≤k<1,则h(1)>0,‎ ‎∴必存在x0使得x∈(1,x0)时,g′(x)>0,‎ ‎∴g(x)在(1,x0)递增,‎ ‎∴g(x)>g(1)=0恒成立,适合题意.‎ ‎②当>1时,即k<﹣1,‎ 易知必存在x0使得h(x)在(1,x0)递增,‎ ‎∴h(x)>h(1)=1﹣k>0,‎ ‎∴g′(x)>0,∴g(x)在(1,x0)递增,‎ ‎∴g(x)>g(1)=0恒成立,适合题意.‎ 综上,k的取值范围是(﹣∞,1).‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若,设直线l与曲线C交于A,B两点,求△AOB的面积.‎ ‎【解答】(1)直线L的参数方程为:(α为参数).‎ 曲线C的极坐标方程是,‎ 转化为直角坐标方程为:y2=8x ‎(2)当时,直线l的参数方程为:(t为参数),‎ 代入y2=8x得到:.(t1和t2为A和B的参数),‎ 所以:,t1t2=﹣16.‎ 所以:.‎ O到AB的距离为:d=.‎ 则:=.‎ ‎ ‎ ‎23.设函数f(x)=|x+3|,g(x)=|2x﹣1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)<g(x);‎ ‎(2)若2f(x)+g(x)>ax+4对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)由已知得|x+3|<|2x﹣1|,‎ 即|x+3|2<|2x﹣1|2,‎ 则有3x2﹣10x﹣8>0,‎ ‎∴x<﹣或x>4,‎ 故不等式的解集是(﹣∞,﹣)∪(4,+∞);‎ ‎(2)由已知,设h(x)=2f(x)+g(x)=2|x+3|+|2x﹣1|‎ ‎=,‎ 当x≤﹣3时,只需﹣4x﹣5>ax+4恒成立,‎ 即ax<﹣4x﹣9,‎ ‎∵x≤﹣3<0,‎ ‎∴a>=﹣4﹣恒成立,‎ ‎∴a>,∴a>﹣1,‎ 当﹣3<x<时,只需7>ax+4恒成立,‎ 即ax﹣3<0恒成立,‎ 只需,‎ ‎∴,‎ ‎∴﹣1≤a≤6,‎ 当x≥时,只需4x+5>ax+4恒成立,‎ 即ax<4x+1,‎ ‎∵x≥>0,∴a<=4+恒成立,‎ ‎∵4+>4,且无限趋近于4,‎ ‎∴a≤4,‎ 综上,a的取值范围是(﹣1,4].‎ ‎ ‎
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