高考数学复习专题练习第4讲 平面向量应用举例
第4讲 平面向量应用举例
一、选择题
1．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析 由题意得×||×||×sin A＝，所以×4×1×sin A＝，故sin A＝，又A为锐角，所以A＝60°，·＝||×||×cos A＝4×1×cos 60°＝2.
答案 A
2．若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是 ( )．
A. B. C．2 D.
解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝8sin 15°cos 15°×＝4×sin 30°×＝.
答案 B
3. 函数y＝tanx－的部分图象如图所示，
则(＋)·＝( )．
A．4 B．6
C．1 D．2
解析 由条件可得B(3,1)，A(2,0)，
∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.
答案 B
4．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b
满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝( )
A. B.[来源:Z#xx#k.Com]
C．1 D.
解析 a∘b＝＝cos θ＝cos θ，b∘a＝cos θ，因为|a|>0，|b|>0,0
0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.
答案
三、解答题
11．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
解 (1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，
∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．
(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S＝absin C＝×4×sin＝.
12．已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈.
(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．
解 (1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，
2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，
由||＝||，可得2＝2，
即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.
又α∈，∴α＝.
(2)由·＝－1，
得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
∴sin α＋cos α＝.①
又＝＝2sin αcos α.
由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝－.
∴＝－.
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝且m∥n.
(1)求锐角B的大小；
(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．
解 (1)∵m∥n，∴2sin B＝－cos 2B，
∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.
又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.
(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝，
得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，
得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．
S△ABC＝acsin B＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，即S△ABC的最大值为.
14．已知向量m＝，
n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．
解 (1)m·n＝sin ·cos ＋cos2
＝sin ＋＝sin＋，
∵m·n＝1，∴sin＝.
cos＝1－2sin2＝，
cos＝－cos＝－.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.
∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.
∴＜＋＜，sin∈.
又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.
故函数f(A)的取值范围是.
