【数学】2020届一轮复习苏教版正弦定理和余弦定理学案
§4.6 正弦定理和余弦定理
考情考向分析 以利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度．
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
(7)cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
概念方法微思考
1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sin A>sin B?
提示 在△ABC中，由∠A>∠B可推出sin A>sin B.
2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcos C＋ccos B＝a.试类比写出另外两个式子．
提示 acos B＋bcos A＝c；
acos C＋ccos A＝b.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( × )
(3)在△ABC中，＝.( √ )
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )
题组二 教材改编
2．[P9T2]在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝ .
答案 2
解析 C＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得＝，
即＝，
解得AC＝2.
3．[P11T6]在△ABC中，A＝60°，b＝1，面积为，则边长c＝ .
答案 4
解析 ∵A＝60°，b＝1，面积为＝bcsin A＝×1×c×，∴c＝4.
4．[P11T7]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则
B＝ .
答案
解析 由正弦定理可得，
2cos Bsin B＝sin Acos C＋sin Ccos A
＝sin(A＋C)＝sin B，
∵sin B≠0，∴cos B＝，
∵00，∴cos B<0，∴B为钝角，
故△ABC为钝角三角形．
6．在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有 个．
答案 2
解析 ∵bsin A＝×＝，∴bsin A0)．
则cos C＝＝＝<0，
∴C为钝角．∴△ABC为钝角三角形．
引申探究
1．本例(1)中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0.
又A，B为△ABC的内角．
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
2．本例(1)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又0c，可得30°
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