高考数学专题复习练习第3讲 随机事件的概率

高考数学专题复习练习第3讲 随机事件的概率

第3讲 随机事件的概率 一、选择题 ‎1．把12人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指定为正组长的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析 甲所在的小组有6人，则甲被指定正组长的概率为.‎ 答案　B ‎2．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析 加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率.‎ 答案　C ‎3．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　第一次结果一定，盒中仅有9个乒乓球，5个新球4个旧球，所以第二次也取到新球的概率为.‎ 答案　C ‎4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　法一　P(B|A)＝＝＝.‎ 法二　A包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB包括的基本事件为{正，正}，因此P(B|A)＝.‎ 答案　A ‎5．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为.‎ 答案　B ‎6．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－＝.‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．‎ 解析　设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．‎ 答案　A与B、A与C、B与C、B与D　B与D ‎8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是_______．‎ 解析 要使△ABC有两个解，需满足的条件是因为A＝30°，所以满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的 三角形有两个解的概率是＝.‎ 答案 ‎9．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．‎ 解析　由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.‎ 答案　0.95‎ ‎10．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．‎ 解析　设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝ 答案　 三、解答题 ‎11．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．‎ ‎(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；‎ ‎(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．‎ 解　记Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.‎ ‎(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛．‎ A＝A‎3A4＋B3B4.‎ 由于各局比赛结果相互独立，故 P(A)＝P(A‎3A4＋B3B4)＝P(A‎3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)‎ ‎＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.‎ ‎(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．‎ 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 B＝A‎3A4＋B‎3A‎4A5＋A3B‎4A5，‎ 由于各局比赛结果相互独立，故 P(B)＝P(A‎3A4)＋P(B‎3A‎4A5)＋P(A3B‎4A5)‎ ‎＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)‎ ‎＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.‎ ‎12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，且只乘一种交通工具去开会．‎ ‎(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；‎ ‎(2)求他不乘轮船去开会的概率；‎ ‎(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？‎ 解　(1)记“他乘火车去开会”为事件A1，“他乘轮船去开会”为事件A2，“他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.‎ ‎(2)设他不乘轮船去开会的概率为P，‎ 则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.‎ ‎(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5,1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5，‎ 故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会．‎ ‎13．黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：‎ 血型 A B AB O 该血型的人所占比/%‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎8‎ ‎35‎ 已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：‎ ‎(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？‎ ‎(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？‎ 解　(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是彼此互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.‎ 因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.‎ ‎(2)法一　由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.‎ 法二　因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(])＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.‎ 即：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.‎ ‎14．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：‎ 时间(分钟)‎ ‎10～20‎ ‎20～30‎ ‎30～40‎ ‎40～50‎ ‎50～60‎ L1的频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ L2的频率 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．‎ ‎(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？‎ ‎(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．‎ 解　(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.‎ 用频率估计相应的概率可得 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，‎ ‎∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；‎ P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，‎ ‎∵P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.‎ ‎(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，‎ ‎∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04，‎ P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P()‎ ‎＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，‎ P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.04‎ ‎0.42‎ ‎0.54‎ ‎∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.‎