2013湖南卷（理）数学试题
2013·湖南卷(理科数学)
1． 复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1．B [解析] 由题z＝i·(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，在复平面上对应的点坐标为(－1，1)，即位于第二象限，选B.
2． 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
2．D [解析] 根据抽样方法的特点可知，应选用分层抽样法．
3． 在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于( )
A. B. C. D.
3．D [解析] 由正弦定理可得2sin Asin B＝sin B，又sin B≠0，所以可得sin A＝，又A为锐角，故A＝，选D.
4． 若变量x，y满足结束条件则x＋2y的最大值是( )
A．－ B．0 C. D.
4．C [解析] 根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，
可知在点C处x＋2y取最大值为.
5．， 函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
5．B [解析] 法一：作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：
可知，其交点个数为2，选B.
法二：也可以采用数值法：
x
1
2
4
f(x)＝2ln x
0
2ln 2＝ln 4>1
ln 42<5
g(x)＝x2－4x＋5
2
1
5
可知它们有2个交点，选B.
6. 已知是单位向量，.若向量满足
A． B．
C． D．
6．A [解析] 由题可知·＝0，则⊥，又||＝||＝1，且|－－|＝1，不妨令＝(x，y)，＝(1，0)，＝(0，1)，则(x－1)2＋(y－1)2＝1，又||＝，故根据几何关系可知||max＝＋1＝1＋，||min＝－1＝－1，故选A.
7． 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )
A．1 B.
C. D.
7．C [解析] 由题可知，该正方体的俯视图恰好是正方形，则正视图最大值应是正方体的对角面，最小值为正方形，故面积范围为[1，]，因∉[1，]，故选C.
8． 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图1－1所示)，若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )
图1－1
A．2 B．1
C. D.
8．D [解析] 不妨设AP＝m(0≤m≤4)，建立坐标系，设AB为x轴，AC为y轴，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，Q(xQ，yQ)，R(0，yR)，P(m，0)，可知△ABC的重心为G，根据反射性质，可知P关于y轴的对称点P1(－m，0)在直线QR上，P关于x＋y＝4的对称点P2(4，4－m)在直线RQ上，则QR的方程为＝，将G代入可得3m2
－4m＝0，即m＝或m＝0(舍)，选D.
9． 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
9．3 [解析] 将参数方程化为普通方程可得，直线l：即y＝x－a，椭圆C：即＋＝1，可知其右顶点为(3，0)，代入直线方程可得a＝3.
10． 已知a，b，c∈，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
10．12 [解析] 因a＋2b＋3c＝6，由柯西不等式可知(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，可知a2＋4b2＋9c2≥＝12，即最小值为12.
图1－3
11． 如图1－2所示，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P.PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．
11. [解析] 由相交弦定理可知PA·PB＝PC·PD，得PC＝4，故弦CD＝5，又半径r＝，记圆心O到直线CD的距离为d，则d2＋＝7，即d2＝，故d＝.
12.若 3 .
【答案】 3
【解析】
13． 执行如图1－3所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．
图1－3
13．9 [解析] 根据程序框图所给流程依次可得，a＝1，b＝2，①a＝3，②a＝5，③a
＝7，④a＝9，满足条件输出a＝9.
14． 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
14. [解析] 若最小角为∠F1PF2，由对称性设|PF1|>|PF2|，由|PF1|＋|PF2|＝6a，|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，此时|PF2|<|F1F2|，故∠F1PF2不可能为最小角．
由双曲线对称性，不妨记最小角为∠PF1F2＝30°，则|PF1|>|PF2|，由|PF1|＋|PF2|＝6a，|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由余弦定理可得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos 30°，即3a2－2 ac＋c2＝0，解得c＝a，即e＝＝.
15．， 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈*，则
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．
15．(1)－ (2) [解析] (1)因Sn＝(－1)nan－，则S3＝－a3－，S4＝a4－，解得a3＝－.
(2)当n为偶数时，Sn＝an－，当n为奇数时，Sn＝－an－，可得当n为奇数时an＝－，
又S1＋S2＋…＋S100＝＋＋…＋＋
＝－a1＋a2＋…－a99＋a100－
＝S100－2(a1＋a3＋…＋a99)－
＝S101－a101－2－
＝－－＋2×－
＝－＝.
16．，， 设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；
(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；
②∃x∈，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1，2)，使f(x)＝0.
16．(1){x|0
a>0，c>b>0，故a＋b＝2aa>0，c>b>0，则0<<1，0<<1，当x∈(－∞，1)时，有>，>，所以＋>＋，又a，b，c为三角形三边，则定有a＋b>c，故对∀x∈(－∞，1)，＋－1>0，即f(x)＝ax＋bx－cx＝cx>0，故①正确；取x＝2，则＋<＋，取x＝3，则＋<＋，由此递推，必然存在x＝n时，有＋<1，即an＋bn0，f(2)＝a2＋b2－c2<0(C为钝角)，根据零点存在性定理可知，∃x∈(1，2)，使f(x)＝0，故③正确．故填①②③.
17． 已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
17．解：f(x)＝sin＋cos
＝sin x－cos x＋cos x＋sin x
＝sin x.
g(x)＝2sin2＝1－cos x.
(1)由f(α)＝得sin α＝.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.
(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1，于是sin≥.
从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈，
即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈
故使f(x)≥g(x) 成立的x的取值集合为
18．
某人在如图1－4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物，根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
图1－4
18．解：(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)．所以只需求出P(X＝k)(k＝1，2，3，4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1，2，3，4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝得
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故所求的分布列为
Y
51
48
45
42
P
所求的数学期望为E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.
19． 如图1－4所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
图1－4
19．解：方法一
(1)证明：如图所示，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.
又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D.
(2)因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．
如图所示，联结A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，
所以A1B1⊥平面ADD1A1，从而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.
由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.
在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB，从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，即AB＝＝.
联结AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，
即cos(90°－θ)＝，从而sin θ＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
方法二
(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直，如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)．
从而＝(－t，3，－3)，＝(t，1，0)，＝(－t，3，0)．
因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．
于是＝(－，3，－3)，＝(，1，0)．
因为·＝－3＋3＋0＝0，
所以⊥，即AC⊥B1D.
(2)由(1)知，1＝(0，3，3)，＝(，1，0)，＝(0，1，0)．
设＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即
令x＝1，则＝(1，－，)．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
20． 在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图1－5所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)处，现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；
(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
图1－5
20．解：设点P的坐标为(x，y)．
(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为
|x－3|＋|y－20|，x∈，y∈[0，＋∞)．
(2)由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值．
①当y≥1时，d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋2|y|＋|y－20|.
因为d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|≥|x＋10|＋|x－14|.(*)
当且仅当x＝3时，不等式(*)中的等号成立．
又因为|x＋10|＋|x－14|≥24.(**)
当且仅当x∈[－10，14]时，不等式(**)中的等号成立．
所以d1(x)≥24，当且仅当x＝3时，等号成立．
d2(y)＝2y＋|y－20|≥21，当且仅当y＝1时，等号成立．
故点P的坐标为(3，1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.
②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以
d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|.
此时，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|，
d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21.
由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45，
当且仅当x＝3，y＝1时等号成立．
综上所述，在点P(3，1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．
21． 过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2.l1与E相交于点A，B ，l2与E相交于点C，D以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1>0，k2>0，证明：·<2p2；
(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
21．解：(1)证明：由题意，抛物线E的焦点为F，直线l1的方程为y＝k1x＋.
由得x2－2pk1x－p2＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根，从而x1＋x2＝2pk1.
y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.
所以点M的坐标为，＝(pk1，pk)．
同理可得点N的坐标为，＝(pk2，pk)．于是·＝p2(k1k2＋kk)．
由题设，k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，所以00，所以点M到直线l的距离
d＝＝＝.
故当k1＝－时，d取最小值.
由题设＝，
解得p＝8.
故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.
22． 已知a>0，函数f(x)＝.
(1)记f(x)在区间[0，4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；
(2)是否存在a，使函数y＝f(x)在区间(0，4)内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．解：(1)当0≤x≤a时，f(x)＝；当x>a时，f(x)＝.因此，当x∈(0，a)时，f′(x)＝<0，f(x)在(0，a)上单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＝>0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增．
①若a≥4，则f(x)在[0，4]上单调递减，g(a)＝f(0)＝.
②若0
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