河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题 Word版含解析

河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题 Word版含解析

唐山一中2019-2020学年高一年级第二学期自命题期末考试数学试卷 卷Ⅰ（选择题共60分）‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1. 已知菱形的边长为，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，设，根据向量平行四边形法则和三角形法则，可知，故选D.‎ 考点：向量的数量积的运算.‎ ‎2. 已知等差数列的前n项和为，且，，则取得最大值时（ ）‎ A. 14 B. 15 C. 16 D. 17‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件算出基本量后可得等差数列的通项，根据通项的符号可得何时取最大值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，则，‎ 解得，故，‎ 故当时，；当时，，‎ - 22 -‎ 所以当时，取最大值.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和的最值，一般地，此类问题可通过项的符号来确定何时取最值.‎ ‎3. 某地区甲､乙､丙､丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案:方案①；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析:方案②:丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（ ）‎ A. 分层抽样法､系统抽样法 B. 分层抽样法､简单随机抽样法 C. 系统抽样法､分层抽样法 D. 简单随机抽样法､分层抽样法 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可.‎ 详解】①四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样；‎ ‎②在同一所学校，且人数较少，所以可使用简单随机抽样.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查的是抽样方法的选取问题，属于基础题.‎ ‎（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，在起始部分抽样时采用简单随机抽样；‎ ‎（2）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取，各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样；‎ ‎（3）简单随机抽样适用于样本容量较小的情况，从总体中逐个抽取.‎ ‎4. 某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，根据古典概型概率计算公式可得结果．‎ ‎【详解】所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，‎ 基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：‎ ‎，，，，共有5种，‎ ‎∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查适合古典概型的概率求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题．‎ ‎5. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原出几何体，结合几何体的特征求出其外接球的表面积.‎ ‎【详解】根据三视图还原成几何体如图，‎ - 22 -‎ 它是从一个四棱锥截下的部分,四棱锥如图，‎ 四棱锥又可以看作是从边长为3的正方体中截取出来的，所以三棱锥的外接球就是截取它的正方体的外接球，正方体的对角线的长就是外接球的直径，所以其外接球半径为,故外接球的表面积为,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原几何体时，要注意数据的对号入座.侧重考查直观想象的核心素养.‎ ‎6. 在等差数列｛an｝中，，则此数列前30项和等于（ ）‎ A. 810 B. 840 C. 870 D. 900‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为 ，选B.‎ ‎7. 在中，角的对边分别为，若，则的面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式角化为边，再由余弦定理求出，要求出的面积最大值，只需求出的最大值，由结合基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】根据正弦定理知 化为为，即，‎ 故，，故，则．‎ 因为，，所以，‎ 当且仅当，等号成立，‎ 此时的面积，‎ 故的面积的最大值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，利用基本不等式求面积的最大值，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎8. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】对于：若，则或，故错误；正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ - 22 -‎ 本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.‎ ‎9. 如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（ ）‎ A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 40海里 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中利用正弦定理可求出的值，在解出的值，在中利用余弦定理即可解出答案.‎ ‎【详解】在中，，所以，‎ 由正弦定理可得：，解得，‎ 在中，，所以，‎ 在中，，由余弦定理可得：‎ ‎，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题.熟练掌握正余弦定理公式，是解本题的基础.‎ ‎10. 已知实数满足不等式组,若目标函数的最大值不超过4,‎ - 22 -‎ 则实数m的取值范围是 A. B. C. D. [‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎【分析】‎ 将化为,作出可行域和目标函数基准直线(如图所示),当直线将左上方平移时,直线在轴上的截距增大,由图象,得当直线过点时,取得最大值,联立,得,则,解得;故选D.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎11. 如图，在正方体¢中,平面a垂直于对角线AC¢,且平面a截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为,周长为,则（ ）‎ - 22 -‎ A. 为定值,不为定值 B. 不为定值,为定值 C. 与均为定值 D. 与均不为定值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体，是以平行平面和为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，设正方体棱长为，，可求得六边形的周长为与无关，即周长为定值；当都在对应棱的中点时，是正六边形，计算可得面积，当无限趋近于时，的面积无限趋近于，从而可知的面积一定会发生变化．‎ ‎【详解】设平面截得正方体的六个表面得到截面六边形为，与正方体的棱的交点分别为（如下图），‎ 将正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体，是以平行平面和为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，设正方体棱长为，，则，，故，同理可证明，故六边形的周长为，即周长为定值；‎ 当都在对应棱的中点时，是正六边形，计算可得面积 - 22 -‎ ‎，三角形的面积为，当无限趋近于时，的面积无限趋近于，故的面积一定会发生变化，不为定值．‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了截面的周长及表面积，考查了学生的空间想象能力，属于难题．‎ ‎12. 已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此 ‎，因为，所以最大值等于，当，即时取等号．‎ - 22 -‎ 考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．‎ 卷Ⅱ（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 若，则的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式可求得的取值范围.‎ ‎【详解】由基本不等式可得，‎ ‎，解得.‎ 所以，的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，同时也考查了指数的运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14. 一个多面体的直观图和三视图所示，M是的中点，一只蝴蝶在几何体内自由飞翔，由它飞入几何体内的概率为______．‎ - 22 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先根据三棱锥的体积公式求出的体积与三棱锥的体积公式求出的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以它飞入几何体内的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间几何体的体积公式，以及几何概型的应用，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎15. 在正四棱锥中，为顶点在底面上的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角是________．‎ ‎【答案】30°‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.‎ 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a(a＞0)，‎ 则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，.‎ 则，，．‎ 设平面PAC的法向量为，则 - 22 -‎ 即，得，令，则 ‎,‎ 则.‎ ‎∴.‎ ‎∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.‎ 故答案为：.‎ ‎16. 的内角所对的边分別カ，则下列命题正确的是______.‎ ‎①若，则 ‎②若，则 ‎③若，则是锐角三角形 ‎④若，则 ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,利用正弦定理可知，由余弦定理，结合基本不等式整理可得，从而可判断①；由余弦定理，结合基本不等式可得，从而可判断②；由先证明，从而可判断③；取可判断④.‎ ‎【详解】①由,利用正弦定理可知：，由余弦定理可得，整理可得：‎ - 22 -‎ ‎，,①正确；‎ ‎②，‎ 从而，从而，②正确；‎ ‎③， ，即，‎ 则，最大角为锐角，即是锐角三角形，③正确；‎ ‎④取满足，此时， ，④不正确，故答案为①②③.‎ ‎【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ 三、解答题：本题共6小题，17题10分，12分．‎ ‎17. 如图，在中，、、分别为的内角、、所对的边，外接圆的半径为2，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化边为弦可得,化简可得,则,进而由正弦定理求解即可；‎ ‎（2）由（1）,利用余弦定理可得,再利用均值不等式求得的最大值,即可求解.‎ ‎【详解】解:（1）由正弦定理及,‎ 得,‎ 由,‎ 得,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 又外接圆的半径,‎ ‎,‎ ‎（2）由（1）,‎ ‎,‎ 由,‎ - 22 -‎ 得 ‎,当且仅当时,等号成立,‎ 又,‎ 周长的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查求三角形的周长的最值,考查均值不等式的应用.‎ ‎18. 为数列{}的前项和.已知＞0，=.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）求出bn，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3‎ 两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，‎ 即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），‎ ‎∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，‎ ‎∵a12+2a1＝4a1+3，‎ ‎∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，‎ 则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，‎ ‎∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：‎ ‎（Ⅱ）∵an＝2n+1，‎ ‎∴bn（），‎ - 22 -‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．‎ ‎19. 2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组，，，，得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：‎ ‎（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；‎ ‎（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.‎ ‎【答案】（1）225人；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图，分别算出男生自主学习不超过40分钟的人数和女生自主学习不超过40分钟的人数求和即可. ‎ ‎（2）根据频率分布直方图可得选4名男生，2名女生，然后利用古典概型的概率求法，先列出任选2人的基本事件的数，再找出没有男生的基本事件数，最后用对立事件的概率求解.‎ ‎【详解】（1）男生自主学习不超过40分钟的人数：人，‎ - 22 -‎ 女生自主学习不超过40分钟的人数：人，‎ 所以估计全区高三学生网上学习时间不超过40分钟的人数为225人.‎ ‎（2）在80名学生中，男生网上学习不超过40分钟的人数：人，‎ 女生网上学习不超过40分钟的人数：人，‎ 所以选4名男生，2名女生.‎ ‎4名男生设为，，，，2名女生设为，任选2人有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种.‎ 没有男生的有，共1种.‎ 所以至少有一名男生的概率.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图样本估计总体以及古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20. 已知数列满足，且成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求的值和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ） 由已知，有，即，‎ 所以，又因为，故，由，得，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以的通项公式为 - 22 -‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，设数列的前项和为，则 ‎，‎ 两式相减得 ‎，‎ 整理得 所以数列的前项和为.‎ 考点：等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.‎ ‎21. 如图所示，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF⊥平面ABCD且DF.‎ ‎（1）求证：EF//平面ABCD；‎ ‎（2）若∠ABC=∠BCE，求二面角A﹣BF﹣E的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要线面平行，即证直线在面外且直线平行于平面内的一条直线，故过点E作EH⊥BC于构造平行四边形即可得到线线平行.‎ ‎（2）连接HA，根据题意，AH⊥BC，以H为原点，HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAF和平面BEF的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）过点E作EH⊥BC，连接HD，EH，‎ - 22 -‎ 因为平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，‎ 平面ABCD∩平面BCE=BC，‎ 所以EH⊥平面ABCD，‎ 因为FD⊥ABCD，FD，‎ 所以FD//EH，FD=EH，故平行四边形EHDF，‎ 所以EF//HD，‎ 由EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，‎ 所以EF//平面ABCD；‎ ‎（2）连接HA，根据题意，AH⊥BC，‎ 如图：‎ 以H为原点，HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，，0），B（1，0，0），E（0，，），F（-2，，），‎ 则（﹣1，，0），（﹣1，0，），（﹣3，，），‎ 设平面BAF的法向量为（x，y，z），‎ ‎，得（，1，2），‎ 设平面BEF的法向量为，‎ 由，得，‎ 由cos，‎ 所以二面角A﹣FB﹣E的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ - 22 -‎ 本题考查了线面平行的证明，以及建系利用法向量求二面角，是高考中的常见题型，考查了推理判断和空间想象能力，属于较难题.‎ ‎22. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．‎ ‎1若，证明：平面；‎ ‎2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1由正方形的性质推导出，结合，可得平面，由此，再由，能证明平面；2过作交于点，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，可得，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果．‎ ‎【详解】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，‎ 由已知得，，平面 又平面BDE，，‎ 又，，平面 - 22 -‎ ‎ ‎ ‎2在图2中，，，，即面DEFC，‎ 在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，‎ 由题意得，，由勾股定理可得，则，，‎ 过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，‎ 以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ ‎ ‎ 则，‎ ‎．‎ 设平面ACD的一个法向量为，‎ - 22 -‎ 由得,取得，‎ 设，则m，，，得 设CP与平面ACD所成的角为，‎ ‎．‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，是中档题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ - 22 -‎