【数学】2019届一轮复习人教A版 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎【考点梳理】‎ ‎1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.‎ ‎2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.‎ ‎3．分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、分类加法计数原理 ‎【例1】(1)如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).‎ ‎(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)‎ A．14 　　　　 B．13 C．12 D．10‎ ‎[答案] (1) 5　(2) B ‎[解析] (1)分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.‎ ‎(2)①当a＝0，有x＝－，b＝－1，0，1，2有4种可能；‎ ‎②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，‎ ‎(ⅰ)若a＝－1时，b＝－1，0，1，2有4种不同的选法；‎ ‎(ⅱ)若a＝1时，b＝－1，0，1有3种可能；‎ ‎(ⅲ)若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.‎ ‎∴有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个).‎ ‎【类题通法】‎ 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.‎ ‎1．根据题目特点恰当选择一个分类标准.‎ ‎2．分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.‎ ‎3．分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a＝0这一类.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有(　　)‎ A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 ‎[答案] B ‎[解析] 设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法.‎ ‎2．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)‎ A．3 B．4 C．6 D．8‎ ‎[答案] D ‎[解析] 以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；‎ 以2为首项的等比数列为2，4，8；‎ 以4为首项的等比数列为4，6，9；‎ 把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，‎ ‎∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个.‎ 考点二、分步乘法计数原理 ‎【例2】(1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(　　)‎ A．10种　　　　 B．25种 C．52种 D．24种 ‎(2)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A．24 B．18 C．12 D．9‎ ‎[答案] (1) D　(2) B ‎[解析] (1)每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.‎ 由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.‎ ‎(2)分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径.故选B.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．在第(1)题中，易误认为分5步完成，错选B.‎ ‎2．利用分步乘法计数原理应注意：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，‎ 则不同的报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种.‎ ‎[答案] 45 54‎ ‎[解析] 五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性.‎ ‎2．已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为________(用数字作答).‎ ‎[答案] 20‎ ‎[解析] 分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5×4＝20种走法.‎ 考点三、两个计数原理的综合应用 ‎【例3】(1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)‎ A．48 B．18 C．24 D．36‎ ‎(2)如图所示，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________(用数字作答).‎ ‎[答案] (1) D　(2) 96‎ ‎[解析] (1)在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成 ‎24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.‎ ‎(2)按区域1与3是否同色分类：‎ ‎①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2，4，5(还有3种颜色)有A种方法.‎ ‎∴区域1与3涂同色，共有4A＝24种方法.‎ ‎②区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法.‎ ‎∴这时共有A×2×1×3＝72种方法.‎ 由分类加法计数原理， 不同的涂色种数为24＋72＝96.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．①注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.②注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.‎ ‎2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.第(2)题中，相邻区域不同色，是按区域1与3是否同色分类处理.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).‎ ‎[答案] 40‎ ‎[解析] 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：‎ 第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).‎ 第二类，有两条公共边的三角形共有8个.‎ 由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).‎ ‎2．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(　　)‎ A．72种 B．48种 C．24种 D．12种 ‎[答案] A ‎[解析] 法一 首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法.‎ 法二 按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).‎