广西玉林市2021届高三上学期教学质量监测理科数学试题 Word版含答案
2020年 11 月份广西玉林市高三教学质量监测试题
数学(理科)
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选
项是符合题目要求的.
1.已知集合 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则 A∪(∁ UB)=
A.{1} B.{0,2,4} C.{1,2,3} D.{0,1,2,4}
2.若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则 z=
A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.3-2i
3.已知函数 f(x)=(x+1)ex,则 f(x)图象在点(1,f(1))处的切线斜率为
A.1 B.2 C.3+e D.3e
4.若等差数列{an}满足 a2=20,a5=8,则 a1=
A.24 B.23 C.17 D.16
5.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为,则向量 e1 在向量 e2方向上的投影为
A.- B. C.- D.
6.设 x∈R,则“x>”是“2x2+x-1>0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 为
A.-1
B.0
C.
D.-1-
8.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 AD,CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 BF 所成角的
大小为
A. B.
C. D.
9.函数 f(x)=(-≤x≤且 x≠0)的图象可能是
10.小王、小张、小赵三个人是好朋友,其中一个人下海经商,一个人考上了重点大学,一个人参
军了.此外还知道以下条件:小赵的年龄比士兵的大;大学生的年龄比小张的小;小王的年龄和大
学生的年龄不一样.请按小王、小张、小赵的顺序指出三人的身份分别是
A.士兵、商人、大学生 B.士兵、大学生、商人
C.商人、士兵、大学生 D.商人、大学生、士兵
11.点 P 为椭圆+=1 上任意一点,EF 为圆 N:(x-1)2+y2=1 的任意一条直径,则·的取值范围是
A.(8,24) B.[8,24]C.[5,21]D.(5,21)
12.已知函数 f(x)=在 R 上恰有两个零点,则实数 a 的取值范围是
A.(0,1) B.(e,+∞)
C.(0,1)∪(,+∞) D.(0,1)∪(,+∞)
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分.把答案填在答题卡上.
13.已知直线 l1:2x-y+1=0 与直线 l2:x+by+2=0 互相垂直,那么 b= ▲ .
14.若双曲线-=1 的焦距为 6,则该双曲线的虚轴长为 ▲ .
15.若将函数 f(x)=|sin(ωx+)|(ω>0)的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数为偶
函数,则实数ω的最小值是 ▲ .
16.在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=120°,PB=PC=4,平面 PBC⊥平面 ABC,则三棱锥 P-ABC 外
接球的表面积为 ▲ .
三、解答题:共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考题,每个
试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60分.
17.(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}是递增数列,且 a1a5=9,a2+a4=10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若 bn=(n∈N
*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
18.(本小题满分 12 分)
已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,PD⊥平面 ABCD,且 AB∥CD,CD=2AB=2AD,AD⊥CD.
(1)证明:平面 PBC⊥平面 PBD.
(2)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 B-PC-D 的余弦值.
19.(本小题满分 12 分)
某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次性消费达到 400 元,则可参加一次抽奖活动,超
市设计了两种抽奖方案.
方案一:一个不透明的盒子中装有 15 个质地均匀且大小相同的小球,其中 5 个红球,10 个白球,
搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得 80 元的返金券,若抽到白球则获
得 20 元的返金券,且顾客有放回地抽取 3 次.
方案二:一个不透明的盒子中装有 15 个质地均匀且大小相同的小球,其中 5 个红球,10 个白球,
搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得 100 元的返金券,若抽到白球则
未中奖,且顾客有放回地抽取 3 次.
(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得 240 元返金券的
概率.
(2)若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券金额的数学期望;
②该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返金券?
20.(本小题满分 12 分)
已知圆(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)经过抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点 F,且与抛物线 E 的准线 l 相切.
(1)求抛物线 E 的标准方程及 r 的值;
(2)设经过点 F 的直线 m 交抛物线 E 于 A,B 两点,点 B 关于 x 轴的对称点为点 C,若△ACF 的面积
为 6,求直线 m 的方程.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=xex-1-a(x+ln x),a∈R.
(1)若 f(x)存在极小值,求实数 a 的取值范围;
(2)设 x0 是 f(x)的极小值点,且 f(x0)≥0,证明:f(x0)≥2(-).
(二)选考题:共 10分.请考生在第 22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为(t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立
极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).
(1)判断曲线 C1 与曲线 C2 的位置关系;
(2)设点 M(x,y)为曲线 C2 上任意一点,求 2x+y 的最大值.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)=|2x-a|.
(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)+|x|≤6 的解集;
(2)设 f(x)+|x-1|+3x≤0 对 x∈[-2,-1]恒成立,求 a 的取值范围.
2020年 11 月份广西玉林市高三教学质量监测试题
数学参考答案(理科)
1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.A 7.C 8.D 9.B 10.A 11.B 12.C
13.2 14.2 15.3 16.80π
1.解:∵∁ UB={0,1,4},∴A∪(∁ UB)={0,1,2,4}.故选 D.
2.解:z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i.故选 B.
3.解:由已知得 f'(x)=(x+2)ex,所以 f'(1)=3e.故选 D.
4.解:根据题意,d==-4,则 a1=a2-d=20-(-4)=24,故选 A.
5.解:向量 e1 在向量 e2 方向上的投影为|e1|cos=-.故选 C.
6.解:∵不等式 2x2+x-1>0 的解集为 x>或 x<-1,∴“x>”是“2x2+x-1>0”的充分不必要条件.故选 A.
7.解:由已知的程序语句可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S.
当 n=10 时,满足退出循环的条件,
S=0+cos+cos++cos+cos+cos+cos+cos+cos+cos+cos
=0++0+(-)+(-1)+(-)+0++1++0=.
故选 C.
8.解:作 FG∥DC 交 DD1 于 G,连接 AG,如图所示,则 AG∥BF,异面直线 A1E 与 BF 所成的角,即 AG 与 A1E 所成的角,显
然 Rt△A1AE≌Rt△ADG,
故∠GAD=∠AA1E,故∠GAD+∠A1EA=90°,即 AG⊥A1E.故选 D .
9.解:因为 f(-x)==-=-f(x),所以 f(x)为奇函数,故排除选项 A,C.
又 f'(x)=,当 x∈(0,)时,f'(x)<0 恒成立,故函数 f(x)在(0,)上单调递减,排除选项 D.故选 B.
10.解:由“小赵的年龄比士兵的大,大学生的年龄比小张的小”,可知年龄处在中间位置的是“大学生”小赵.
而小张的年龄最大,士兵的年龄最小,则小张是“商人”,小王是“士兵”.故选 A.
11.解:P 为椭圆+=1 上任意一点,EF 为圆 N:(x-1)2+y2=1 的任意一条直径,·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=-1.
∵a-c≤||≤a+c,即 3≤||≤5,∴·的取值范围是[8,24],故选 B.
12.解:当 x=0 时,f(0)=-1-e2
≠0,故 0 不是函数 f(x)的零点;
当 x∈(0,+∞)时,f(x)=0 等价于 2a=.
令 g(x)=,则 g'(x)=.
当 x<2 时,g'(x)<0;当 x=2 时,g'(x)=0;当 x>2 时,g'(x)>0.
所以 g(x)≥e
2,即 2a≥e
2,a≥.
①当 0
1 时,f(x)在(-∞,0)上无零点,故 f(x)在(0,+∞)上需要有两个零点,则 a>.
综上,实数 a 的取值范围是(0,1)∪(,+∞).故选 C.
13.解:由 2×1+(-1)·b=0,解得 b=2.故答案为 2.
14.解:由=3,解得 m=5.所以双曲线的虚轴长为 2.故答案为 2.
15.解:∵g(x)=|sin[ω(x+)+]|=|sin[ωx+(+)]|为偶函数,
∴+=(k∈Z),即ω=-(k∈Z),
又ω>0,∴当 k=1 时,ω取得最小值 3.故答案为 3.
16.
解:如图,设△ABC 外接圆的圆心为 O1,连接 O1C,O1A,BC∩O1A=H,连接 PH.
由题意可得 AH⊥BC,且 AH=O1A=2,BH=BC=2.
因为平面 PBC⊥平面 ABC,且 PB=PC,所以 PH⊥平面 ABC,
且 PH==6.设 O 为三棱锥 P-ABC 外接球的球心,
连接 OO1,OP,OC,过 O 作 OD⊥PH,垂足为 D,则外接球的半径 R 满足 R2=O+42=(6-OO1)
2+O1H
2,即 O+16=(6-OO1)
2+4,解得
OO1=2,从而 R2=20,故三棱锥 P-ABC 外接球的表面积为 4πR2=80π.故答案为 80π.
17.解:(1)设{an}的公差为 d,因为 a1a5=9,a2+a4=10,
所以...................................................................................................................................................... 2 分
解得 a1=1 或 9,a5=9 或 1,..........................................................................................................................3 分
由于数列为递增数列,则 a1=1,a5=9...........................................................................................................4 分
故 d=2,从而 an=1+2(n-1)=2n-1.................................................................................................................6 分
(2)由于 an=2n-1,则 bn===(-).................................................................................................................... 9 分
所以 Sn=b1+b2+…+bn=(1-+-+…+-)=(1-)=................................................................................................. 12 分
18.(1)证明:取 CD 的中点 E,连接 AE,BE.
∵CD=2AB,∴AB=DE.
又∵AB=AD,AD⊥DC,∴四边形 ABED 为正方形,则 AE⊥BD,.............................................................................1 分
∵PD⊥平面 ABCD,AE⊂平面 ABCD,∴PD⊥AE.............................................................................................. 2 分
∵PD∩BD=D,∴AE⊥平面 PBD...................................................................................................................3 分
∵AB=EC,AB∥EC,∴四边形 ABCE 为平行四边形,∴BC∥AE,.......................................................................... 4 分
∴BC⊥平面 PBD.又 BC⊂平面 PBC,
∴平面 PBC⊥平面 PBD........................................................................................................................... 5 分
(2)解:∵PD⊥平面 ABCD,∴∠PBD 为 PB 与平面 ABCD 所成的角,
即∠PBD=45°,则 PD=BD..........................................................................................................................6 分
设 AD=1,则 AB=1,CD=2,PD=BD=.
以点 D 为坐标原点,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,
则 D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,),B(1,1,0),C(0,2,0)................................................................................................7 分
∵DA⊥平面 PDC,∴平面 PDC 的一个法向量为=(1,0,0)................................................................................8 分
设平面 PBC 的法向量 m=(x,y,z),∵=(1,1,-),=(-1,1,0),
∴取 x=1,∴m=(1,1,).............................................................................................................................. 10 分
设二面角 B-PC-D 的平面角为θ,则===,.................................................................................................. 11 分
由图可知二面角 B-PC-D 为锐角,故二面角 B-PC-D 的余弦值为................................................................12 分
19.解:(1)选择方案一,则每一次摸到红球的概率 P==.................................................................................1 分
设“每位顾客获得 240 元返金券”为事件 A,则 P(A)=()3=,..........................................................................2 分
所以两位顾客均获得 240 元返金券的概率 P=P(A)·P(A)=.........................................................................3 分
(2)①若选择抽奖方案一,则每一次摸到红球的概率为,每一次摸到白球的概率为.设获得返金券的金额为 X 元,
则 X 可能的取值为 60,120,180,240,.......................................................................................................... 4 分
则 P(X=60)=()3=,...................................................................................................................................... 5 分
P(X=120)=()1()2=,......................................................................................................................................6 分
P(X=180)=()2×=,..................................................................................................................................... 7 分
P(X=240)=()3=,.........................................................................................................................................8 分
所以若选择抽奖方案一,该顾客获得返金券金额的数学期望为
E(X)=60×+120×+180×+240×=120(元)..................................................................................................9 分
若选择抽奖方案二,设在三次摸球的过程中,摸到红球的次数为 Y,最终获得返金券的金额为 Z 元,
则 Y~B(3,),故 E(Y)=3×=1,.......................................................................................................................10 分
所以若选择抽奖方案二,该顾客获得返金券金额的数学期望为 E(Z)=E(100Y)=100(元)................................11 分
②因为 E(X)>E(Z),所以应选择第一种抽奖方案. .....................................................................................12 分
20.解:(1)由已知可得,圆心(4,4)到焦点 F 的距离与到准线 l 的距离相等,即点(4,4)在抛物线 E 上,
则 16=8p,解得 p=2.故抛物线 E 的标准方程为 y2=4x................................................................................. 3 分
由 r=4+,得 r=4+=5..................................................................................................................................4 分
(2)由已知可得,直线 m 的斜率存在,否则点 C 与点 A 重合...........................................................................5 分
设直线 m 的斜率为 k(k≠0),则直线 AB 的方程为 y=k(x-1).设 A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去 y 得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0,............................................................................................................ 6 分
则 x1+x2=2+,x1x2=1.................................................................................................................................. 7 分
由对称性可知,C(x2,-y2),所以|AF|=x1+1,|CF|=x2+1.....................................................................................8 分
设直线 m 的倾斜角为α,则 tan α=k,所以 sin∠AFC=|sin(π-2α)|=|sin 2α|=|2sin αcos α|===,
所以 S△AFC=(x1+1)(x2+1)|sin 2α|=[x1x2+(x1+x2)+1]·=,..............................................................................10 分
由已知可得=6,解得 k=±...................................................................................................................... 11 分
故直线 m 的方程为 y=±(x-1),即 2x±3y-2=0......................................................................................... 12 分
21.(1)解:f'(x)=(xex-1-a)(x>0),.................................................................................................................. 1 分
令 g(x)=xex-1-a,则 g'(x)=(x+1)ex-1>0,
所以 g(x)在(0,+∞)上是增函数.
又因为当 x→0 时,g(x)→-a;当 x→+∞时,g(x)→+∞...................................................................................2 分
所以,当 a≤0 时,g(x)>0,f'(x)>0,函数 f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,不存在极值点..................................... 3 分
当 a>0 时,g(x)的值域为(-a,+∞),必存在 x0>0,使得 g(x0)=0,
所以当 x∈(0,x0)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当 x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增.......................................................................................... 4 分
所以 f(x)存在极小值点.综上可知,实数 a 的取值范围是(0,+∞)................................................................ 5 分
(2)证明:由(1)知 x0-a=0,即 a=x0.所以 ln a=ln x0+x0-1,.............................................................................. 6 分
f(x0)=x0(1-x0-ln x0).由 f(x0)≥0,得 1-x0-ln x0≥0.
令φ(x)=1-x-ln x,显然φ(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
又φ(1)=0,所以由 f(x0)≥0,得 00),则 H'(x)=1-=,
当 x>1 时,H'(x)>0,函数 H(x)单调递增;当 00,.......................................................................................................10 分
1-x0-ln x0≥1-x0-(x0-1)=2(1-x0)≥0,...................................................................................................... 11 分
所以 f(x0)=x0(1-x0-ln x0)≥·2(1-x0)=2(-),
即 f(x0)≥2(-)...................................................................................................................................... 12 分
22.解:(1)消去 t 得 C1 的普通方程为 x+y-1=0........................................................................................... 1 分
由ρ=2cos(θ+),得ρ=cos θ-sin θ,ρ2=ρcos θ-ρsin θ,即 x2-x+y2+y=0,
化为标准方程为(x-)2+(y+)2=1,................................................................................................................. 2 分
即曲线 C2 是以(,-)为圆心,半径为 1 的圆,圆心到直线 x+y-1=0 的距离 d==<1,故曲线 C1 与曲线 C2 相交.......... 5 分
(2)由 M(x,y)为曲线 C2 上任意一点,可设.....................................................................................................6 分
则 2x+y=+2cos θ+sin θ=+sin(θ+φ),其中 tan φ=2,........................................................................... 8 分
故 2x+y 的最大值是+........................................................................................................................... 10 分
23.解:(1)当 a=2 时,f(x)+≤6,即+≤6,........................................................................................................ 1 分
当 x≤0 时,原不等式化为 2-2x-x≤6,解得 x≥-,即-≤x≤0;.......................................................................2 分
当 01 时,原不等式化为 2x-2+x≤6,解得 x≤,即 1
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