甘肃省兰州第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含答案

甘肃省兰州第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含答案

兰州一中20192020-1学期期末考试试题 高一数学 命题教师 审题教师 ‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120‎ 分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).‎ 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．直线的倾斜角为( ) ‎ A.　30°　　 B.　 60°　　 C. 120°　　　 D. 150°‎ ‎2．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到 “新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（ ）‎ A. 快、新、乐 B. 乐、新、快 C. 新、乐、快 D. 乐、快、新 ‎3．正方体中, 直线与所成的角为（ ）‎ A．30ｏ B．45ｏ C．60ｏ D．90ｏ ‎4．正六棱锥底面边长为a，体积为a3，则侧棱与底面所成的角为( )‎ A．30° B．45° C．60° D．75° ‎ ‎5. 已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若； ‎ ‎②若；‎ ‎③如果是异面直线，则相交；‎ ‎④若 其中正确命题的个数是( )‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎6. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ　，腰和上底均为1‎ 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知两定点A(-3，5)，B(2，8)，动点P在直线x-y＋1＝0上，则 的最小值 为( )‎ A．5 B． C．5 D．‎ ‎8．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥外接球的表面积为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 棱台上、下底面面积比为1∶9, 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )‎ A．1∶7 B．2∶‎7 C． 7∶19 D．5∶ 16‎ ‎10. 若某多面体的三视图(单位：)如图所示, 则此多面体的体积是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11. 已知圆的方程，过作直线与圆交于点. 且直线 关于直线对称，则直线的斜率等于（ ） ‎ ‎ ‎ ‎12. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且 重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线. 已 知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是（ ）‎ A. (- 4，0) B. (- 4，0)，(- 2，0)‎ C. (- 4，0)，(- 3，0) D. (- 4，2)‎ 参考公式：若△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是、、，则该 ‎△ABC的重心的坐标为.‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 直线l1: x+ay+6=0与l2: (a-2)x+3y+‎2a=0平行，则的值为 . ‎ ‎14. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积是 .‎ ‎15. 已知关于x的方程有唯一实数解，则实数k的取值范围是 .‎ ‎16. 已知圆O：，点A(-5，0)，若在直线OA上(O为坐标原点)，存在异于A的定点B，使得对于圆O上的任意一点P，都有为同一常数. 则点B的坐标是 ‎ .‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(10分)设直线和圆相交于点A、B.‎ ‎ （1）求弦AB的垂直平分线方程；‎ ‎（2）求弦AB的长.‎ ‎18．(12分)如图, 三棱柱ABC-A1B‎1C1中, 侧棱A‎1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分 别为棱AB, BC, A‎1C1的中点. ‎ ‎(1) 证明EF//平面A1CD； ‎ ‎(2) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1. ‎ ‎19．（12分）如图所示，矩形ABCD中，AC∩BD＝G， AD⊥平面ABE， AE＝EB＝BC＝‎ ‎2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．‎ ‎(1) 求证：AE⊥平面BCE；‎ ‎ (2) 求三棱锥C－BGF的体积．‎ ‎20． (12分)△ABC中，A(0，1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC 边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.‎ ‎(1) 求直线AB的方程；‎ ‎(2) 求直线BC的方程；‎ ‎(3) 求△BDE的面积．‎ A C D E B ‎21. (12分)如图，四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，‎ CD=，AB=AC，CE与平面ABE所成的角为45°.‎ ‎(1) 证明：AD⊥CE；‎ ‎(2) 求二面角A-CE-B 的正切值. ‎ ‎22. （本小题12分）‎ 已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上.‎ ‎ (1) 求圆C的方程； ‎ ‎(2) 设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2，0)‎ 的直线l垂直平分弦AB？ 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．‎ 兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题参考答案 高一数学 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C B B A D C C D A A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 　　 14. 15. 　 16. ‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 解：（1）圆方程可整理为：，圆心坐标为（1，0），半径r=2，‎ ‎ 易知弦AB的垂直平分线过圆心，且与直线AB垂直，‎ ‎ 而. ‎ ‎ 所以，由点斜式方程可得：‎ ‎ 整理得： . ……………………5分 ‎ （2）圆心（1，0）到直线 ‎ 故 ……………………10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 证明：(1) 连接ED，∵ED∥AC, ED=AC ，‎ 又∵F为A‎1C1的中点. ‎ ‎∴A‎1F∥DE, A‎1F=DE， ‎ ‎∴四边形A1DEF是平行四边形， ∴EF∥A1D ， 　　 ‎ 又A1DÌ平面A1CD，　EFË平面A1CD，‎ ‎∴EF//平面A1CD 　……………………6分 ‎ (2) ∵A‎1A⊥平面ABC,　 ∴A‎1A⊥CD ，‎ 又∵D是AB的中点,　∴AB⊥CD，‎ ‎∴CD⊥平面A1ABB1， 又∵CDÌ平面A1CD，‎ ‎∴平面A1CD⊥平面A1ABB1. ……………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：（1）因为面，所以，‎ 又，‎ 所以.‎ 因为，所以. ‎ 又因为 所以AE垂直于平面BCE …………… 6分 ‎ （2）因为，所以,,‎ ‎ 又因为为中点， 所以 . …………… 10分 所以. …………… 12分 ‎20．(本小题满分12分)‎ 解：(1)直线AB的斜率为2，∴AB边所在的直线方程为， …………４分 ‎ (2) 由 得, 即直线AB与AC边中线BE的交点为B(，2). ‎ 设点C的坐标为 (m，n)，‎ 则由已知条件得　解得 故C(2，1).‎ ‎∴所以BC边所在的直线方程为； ……………………8分 ‎(3) ∵E是AC的中点, ∴E(1，1), ∴E到AB的距离为：d=.‎ 又点B到CD的距离为：|BD|=，‎ ‎∴S△BDE=•d•|BD|=.　　 　　 ……………………12分 另解：∵E是AC的中点, ∴E(1，1), ∴|BE|=, ‎ 由 得 , ∴D(,)，‎ ‎∴D到BE的距离为：d=， ∴S△BDE=•d•|BE|= . …………12分 ‎21. (本小题满分12分) ‎ 证明：(1)如图，取BC的中点H,连接HD交CE于点P，连接 AH、AP.‎ ‎∵AB=AC, ‎ ‎∴AH^BC 又∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC，AH平面ABC.‎ A C D E B H P G ‎∴AH^平面BCDE，又∵CE平面BCDE.　　 ‎ ‎ ∴AH^CE，‎ 又∵, ‎ ‎∴Rt△HCD∽Rt△CDE，‎ ‎∴∠CDH=∠CED, ‎ ‎∴HD^CE. ‎ 又∵ AHHD=H，AH平面AHD，HD平面AHD.‎ ‎∴CE⊥平面AHD，又∵AD平面AHD.‎ ‎∴CE⊥AD ，即AD⊥CE. ……………………6分 ‎(2)由(1) CE⊥平面AHD, ∴AP⊥CE, ‎ 又∵HD^CE .‎ ‎　　∴∠APH就是二面角A-CE-B 的平面角,‎ ‎ 过点C作CG⊥AB，垂足为G，连接CG、EG.‎ ‎ ∵BE⊥BC,且BE⊥AH，　　　 ‎ ‎∴BE⊥平面ABC,‎ ‎ ∴BE⊥CG, ‎ ‎∴CG⊥平面ABE,‎ ‎ ∴∠CEG就是CE与平面ABE所成的角，　即∠CEG=45°，‎ 又∵CE=, 　‎ ‎∴CG=EG=.‎ 又∵BC=2, ‎ ‎∴∠ABC=60°, ‎ ‎∴AB=BC=AC=2. ∴AH=. ‎ 又∵HD=, ‎ ‎∴HP==,‎ ‎∴tan∠APH==3. ‎ 故二面角A-CE-B 的正切值是3. ……………………12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 解：（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0， ………1分 ‎ 则有 …………………3分 解得 ………… …………………5分 ‎∴圆C的方程为：x2+y2-6x+4y+4=0. …………6分 ‎（2）设符合条件的实数存在， ‎ 由于l垂直平分弦，故圆心必在l上．‎ 所以l的斜率，‎ 而， 所以． …………8分 把直线ax-y+1=0 即y=ax +1．代入圆的方程，‎ 消去，整理得．‎ 由于直线交圆于两点，‎ 故，‎ 即，解得．‎ 则实数的取值范围是． …………………10分[来 由于，‎ 故不存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦． ………12分