2019届二轮复习直线与圆锥曲线提分秘籍学案（全国通用）
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
点评 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．学
巩固1(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
题型二 弦长问题
例2：(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积．
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：
0，由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入 ＋＝1得7y2－12y＝0，
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
点评 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
巩固2（2018北京文）已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的最大值；
（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点共线，求．
题型三 中点弦问题
1 利用中点弦确定直线或曲线方程
例3(1)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是 ．
(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，且＋＝1，两式相减得＝－.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，
故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.]
【答案】 (1)D (2)x＋2y－8＝0
巩固3（2018浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B
满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
2 由中点弦解决对称问题
例4 (2015·浙江)如图已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
【解析】 (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由
消去y，得x2－x＋b2－1＝0.学
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①
将AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－，②
由①②得m＜－或m＞.
思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．
巩固4（2018全国新课标Ⅰ文）设抛物线，点，，过点的直线与交于
，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：． 学 ]
巩固5设抛物线过定点A(－1,0)，且以直线x＝1为准线．
(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；
(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围．
答案与解析
学 ]
巩固2【解析】（1）由题意得，所以，
又，所以，所以， 学 ]
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
设，，则，，
则，
易得当时，，故的最大值为．学
【答案】（1）；（2）；（3）1．
巩固3【解析】（1）设，，，
则中点为，由中点在抛物线上，可得，
化简得，显然，
且对也有，
所以是二次方程的两不等实根，
所以，，即垂直于轴.
所以，
，所以，
即的面积的取值范围是.
【答案】：（1）略；（2）.
巩固4【解析】（1）当与轴垂直时，的方程为，代入，
∴或，
∴的方程为：或. 学 ]
（2）设的方程为，设，联立方程，得，∴，，
∴，
∴，∴.学
【答案】（1）或；（2）见解析
(2)设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，
可知两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，
将xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，
＝－代入上式得k＝－.
又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0＝－k＋m.
所以m＝y0＋k＝y0.由点P(－，y0)在线段BB′上
(B′，B为直线x＝－与椭圆的交点，如图所示)，
所以yB′
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