【数学】2018届一轮复习北师大版离散型随机变量的分布列、均值与方差学案
第6讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差
)
1．离散型随机变量的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②pi＝1．
2．离散型随机变量X的均值与方差
均值(数学期望)
方差
计算公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
D(X)＝_(xi－E(X))2pi
作用
反映了离散型随机变量取值的平均水平
刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度
标准差
方差的算术平方根为随机变量X的标准差
3.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
1．辨明三个易误点
(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
(2)对于分布列易忽视其性质p1＋p2＋…＋pn＝1及pi≥0(i＝1，2，…，n)，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
(3)均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．
2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解；
(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．
1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是( )
A．X＝4 B．X＝5
C．X＝6 D．X≤5
C 事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X＝6.
2. 设随机变量X的分布列如下表所示，则p4的值是( )
X
1
2
3
4
P
p4
A.1 B．
C. D．
D 由分布列的性质，得＋＋＋p4＝1，所以p4＝.
3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于( )
A．5 B．8
C．10 D．16
B 因为E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
所以D(X)＝＝8.
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，则P＝________．
P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
5．一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望的值为________．
将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
1
离散型随机变量的分布列的性质
设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求2X＋1的分布列．
【解】 由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
解得m＝0.3.
首先列表为：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
从而2X＋1的分布列为
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
在本例的条件下，求P(1
10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p＝1－(1－p1)3＝1－0.33＝0.973.
(1)本题是离散型随机变量的分布列、均值与线性规划交汇．解决本题需根据题目所给信息提炼出线性约束条件和目标函数，然后再求Z的值．考查了对数学的应用意识、数据处理能力及数形结合思想．
(2)离散型随机变量的均值常与统计、平面向量、函数、数列、不等式等知识交汇，题目设计新颖，是近几年高考考查的热点．
小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
(1)求小波参加学校合唱团的概率；
(2)求X的分布列．
(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.
(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为
X
－2
－1
0
1
P
1．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A．2 B．2或
C. D．1
C 因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝.
2．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
a
若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是 由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈ 设ξ＝1时的概率为p，则E(ξ)＝0×＋1×p＋2×＝1，解得p＝，故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
4．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为________．
X的所有可能值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
X
0
1
2
P
5.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
(1)个位数字是5的“三位递增数”有
125，135，145，235，245，345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，
随机变量X的取值为：0，－1，1，因此
P(X＝0)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝1－－＝.
所以X的分布列为
X
0
－1
1
P
则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.
6．(2017·山东青岛一模)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号分别为2，4，6，
现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)．
(1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率；
(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
(1)设A＝“取出的3个球中含有编号为2的球”，
则P(A)＝＝＝＝.
(2)由题意得，ξ可能取的值为0，1，2，3，则
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
7．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
(1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2，
又E(Y)＝aE(X)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，
所以或
8．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求
量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为y＝，(n∈N)．
(2)①X可能的取值为60，70，80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
X的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
X的数学期望E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的数学期望E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，D(X)
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