北京市海淀区2018届高三第二学期期末练习（二模）数学（文）试题Word版含答案

北京市海淀区2018届高三第二学期期末练习（二模）数学（文）试题Word版含答案

海淀区高三年级第二学期期末练习 数学 （文科） 2018.5‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知全集，集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎（2）已知复数在复平面上对应的点为，则 ‎ A. B. C. 是实数D. 是纯虚数 ‎（3）若直线是圆的一条对称轴，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎（4）已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎（5）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共颗，其中，落在阴影区域内的豆子共颗，则阴影区域的面积约为 A. B. C. D. ‎ ‎（6）设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(7)某校为了解高一年级300名学生对历史、地理学科的选课情况，对学生进行编号，用1,2，…，300表示，并用表示第名学生的选课情况，其中 根据如图所示的程序框图，下列说法错误的是 A. 为选择历史的学生人数； ‎ B. 为选择地理的学生人数； ‎ C. 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数；‎ D. 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和 ‎（8）如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数 A. 有极小值，没有极大值 B. 有极大值，没有极小值 C. 至少有两个极小值和一个极大值 D. 至少有一个极小值和两个极大值 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为 .‎ ‎（10）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则 ， .‎ ‎（11）将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则 , .‎ ‎(12) 在中，，则 .‎ ‎（13）A，B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表：‎ A小区 B小区 往返车费 ‎3元 ‎5元 服务老人的人数 ‎5人 ‎3人 根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过37元，且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有 人.‎ ‎（14）某几何体的主视图和俯视图如右图所示，在下列图形中，‎ 可能是该几何体左视图的图形是 .‎ ‎（写出所有可能性的序号）‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）已知等差数列满足 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）写的相邻两条对称轴的距离；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的最大值.‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 如图，已知菱形的对角线交于点，点为的中点.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；；‎ ‎（Ⅱ）证明： 平面平面；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若 存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. ‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：‎ ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 ‎6号 ‎7号 ‎8号 ‎9号 ‎10号 第一轮测试成绩 ‎96‎ ‎89‎ ‎88‎ ‎88‎ ‎92‎ ‎90‎ ‎87‎ ‎90‎ ‎92‎ ‎90‎ 第二轮测试成绩 ‎90‎ ‎90‎ ‎90‎ ‎88‎ ‎88‎ ‎87‎ ‎96‎ ‎92‎ ‎89‎ ‎92‎ ‎（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90 分的概率；‎ ‎（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；‎ ‎（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，，考核成绩的平均数和方差分别为，，试比较与， 与的大小.（只需写出结论）‎ ‎（19）（本小题13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的零点；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：在区间上为增函数.‎ ‎（20）（本小题14分）‎ 已知椭圆的左右顶点分别为，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的长轴长与离心率；‎ ‎（Ⅱ）若不垂直于轴的直线与椭圆相交于，两点，直线与交于点，直线与交于点.‎ 求证：直线垂直于轴.‎ 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准 数 学（文科） 2018.5‎ 一． 选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B C B D C A C C 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9． 10． 11． ‎ ‎12． 13．35 14. ①②③‎ 注：① 10题、11题第一个空答对给3分，第2个空答对给2分；‎ ‎② 14题只写出1个序号给2分，只写出2个序号给3分。‎ 三．解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）方法1：‎ 因为数列是等差数列，‎ 所以. ‎ 因为，‎ 所以. ‎ 所以，当时，.‎ 所以 ………………6分 方法2：‎ 设等差数列的公差为，‎ 因为，‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 ………………6分 ‎ （Ⅱ）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， ‎ 所以 ‎ 因为，‎ 所以. ‎ 设数列的前项和为，‎ 则 ‎ ‎ 所以数列的前项和为. ………………13分 ‎16．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以函数的最小正周期. ‎ 所以曲线的相邻两条对称轴的距离为，即. ………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ‎ 当时，. ‎ 因为在上单调递增，且在上单调递增，‎ 所以， ‎ 即 ‎ 解得. ‎ 故的最大值为. …………………13分 ‎17．（本小题14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形为菱形，所以；‎ 所以折叠后，, ‎ 又平面， ‎ 所以平面 …………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）因为四边形为菱形，‎ 所以.‎ 又点为的中点， ‎ 所以.‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以. ‎ 又由（Ⅰ）得，平面,‎ 所以平面. ‎ 因为平面， ‎ 所以平面平面. …………………9分 ‎（Ⅲ）存在满足条件的点,且 分别是和的中点. ‎ 如图，分别取和的中点.‎ 连接.‎ 因为四边形为平行四边形，‎ 所以.‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以. ‎ 在中，分别为中点，‎ 所以. ‎ 又平面,平面,‎ 所以平面平面. …………………14分 ‎18. （本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：‎ ‎93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．‎ 其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人. ‎ 所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率是. ‎ 从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.‎ ‎…………………4分 ‎（Ⅱ）设事件为“从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，这2名同学两轮测试成绩均大于等于90分”， ‎ 由（Ⅰ）知，考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. ‎ 因此，从考核成绩大于等于90分的学生中任取2名同学，‎ 包含（1号，5号）、（1号，7号）、（1号，8号）、（1号，9号）、（1号、10号）、‎ ‎（5号，7号）、（5号，8号）、（5号，9号）、（5号，10号）、（7号，8号）、（7号，9号）、（7号，10号）、（8号，9号）、（8号，10号）、（9号，10号）共15个基本事件， ‎ 而事件包含（1号，8号）、（1号、10号）、（8号，10号）共3个基本事件， ‎ 所以. ………………9分 ‎（Ⅲ） ‎ ‎ ………………13分 ‎19．（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）的定义域为， ‎ 令得 ‎ 当时，方程无解，没有零点； ‎ 当时，得. …………………4分 综上，当时无零点；当时，零点为. ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎. ‎ 令, ‎ 则， ‎ 其对称轴为，‎ 所以在上单调递增. ‎ 所以.‎ 当时，恒成立， ‎ 所以在上为增函数. …………………13分 ‎20．（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）椭圆的方程可化为, ‎ 所以. ‎ 所以长轴长为，离心率 …………………4分 ‎（Ⅱ）方法1：‎ 证明：显然直线、、、都存在斜率，且互不相等，分别设为 设直线的方程为，的方程为， ‎ 联立可得. ‎ 同理可得. ‎ 下面去证明 设 ，则.‎ 所以. ‎ 同理 ‎ 所以. ‎ 所以直线垂直于轴. …………………14分 方法2：‎ 设直线方程为. ‎ 由 得.‎ 当时，. ‎ 直线方程为，直线方程为，‎ ‎ ‎ 联立可得，‎ 得 ‎ ‎ 其中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，即点的横坐标与两点的坐标无关，只与直线的方程有关.‎ ‎ ‎ 所以，直线垂直于轴. …………………14分