河北省石家庄市第二中学（南校区）2020届高三下学期教学质量检测模拟数学（理）试题 Word版含解析

河北省石家庄市第二中学（南校区）2020届高三下学期教学质量检测模拟数学（理）试题 Word版含解析

- 1 - 石家庄二中高三教学质量检测模拟考试 数学（理）试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 则复数 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 将 整理成 的形式,从而可求复数在复平面内对应的点. 【详解】复数 ,则复数 在复平面内对应的点 在第一象限. 故选:A 【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数的几何意义. 2.设集合 ,则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别解出 ,即可判断两个集合的关系. 【详解】解:集合 或 , 或 故选:B. 【点睛】本题考查了绝对值不等式,考查了二次不等式,考查了集合的关系.判断集合关系前,一 32 1 3 iz i − += + + z z z a bi= + ( )( ) ( )( ) 3 1 332 2 21 3 1 3 1 3 i iiz ii i i − + −− += + = + = ++ + − z ( )2,1 { } { }2| 3 , | 4P x x Q x x= > = > Q P⊆ P Q⊆ P Q= P Q R= 23, 4x x> > { | } {3 3|P x x x x＝ ＞ ＝ ＜﹣ 3}x＞ 2{ | } {4 2|Q x x x x＝ ＞ ＝ ＜﹣ 2}x＞ P Q∴ ⊆ - 2 - 般需要对已知集合进行化简,通过解方程、解不等式、画图像等进一步明确元素. 3.若 ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 判断 与 1 的大小关系,由 可判断 的大小关系,从而可选出正确答案. 【详解】解:由已知可得 , , , .即 . 故选:B. 【点睛】本题考查了对数的运算,考查了对数函数的性质.两个对数型的数比较大小时,若底数 一样,则构造对数函数,通过单调性判断;若真数一样,则可画对数函数的图像来比较;若底数和真 数都不相同,则通过比较中间值来比较两数的大小. 4.若 满足约束条件 则 的最大值为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 画出可行域,将 化为 ,通过平移 即可判断出最优解,代入到目 标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件 作出可行域如图, 2 2 4,2( ) 3, 63a b log c log= = = , ,a b c a b c＜ ＜ a c b＜ ＜ c b a＜ ＜ b c a＜ ＜ a 4 26 6c log log＝ ＝ , ,1b c 4 19a = < 2log 3 1b = > 4 26 6c log log＝ ＝ 2 2 2log 2 log 6 log 3< < 1 c b∴ < < b c a> > ,x y 0 2 6 3 6 x y x y ≤ + ≤  ≤ − ≤ ， 2z x y= + 2z x y= + 1 2 2 zy x= − + 1 2y x= − 0 2 6 3 6 x y x y ≤ + ≤  ≤ − ≤ - 3 - 化目标函数 为直线方程的斜截式, .由图可知 当直线 过 时,直线在 轴上的截距最大, 有最大值为 3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为 的形式,在可行域内通过平移 找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求 出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 5.“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于 一体.在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱拱与 拱之间垫的方形木块叫斗.如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图（三视图中的单位： 分米），现计划用一块长方体的海南黄花梨木料加工成该散斗，则长方体木料的最小体积为 （ ）立方分米. A. 40 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 2z x y+＝ 1 2 2 zy x= − + 1 2 2 zy x= − + ( )3,0A y z y ax bz= + y ax= 85 3 73 3 - 4 - 由三视图还原出几何体,即可分析最小长方体的长宽高,从而可求出长方体的体积. 【详解】由三视图还原,原几何体如图, 要加工成如图所示散斗,则长方体木料长的最小值为 4,宽的最小值为 4,高的最小值为 ， 则长方体木料的最小体积为 立方分米. 故选:A. 【点睛】本题考查了由三视图还原几何体,考查了几何体体积的求法.本题的关键在于对最小体 积的理解.难点则为由三视图还原出几何体. 6.不透明的袋中装有 8 个大小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色的小球 2 个，从袋 中任取 2 个小球，则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出基本事件的总数 ,再求出满足要求的基本事件的个数 ,则由古典概型可求 概率. 【详解】解:由题意知,本题中基本事件总数 , 取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球包含的基本事件个数: . 则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球的概率为 . 故选:B. 【点睛】本题考查了古典概型.求古典概型时,需要求出试验总的基本事件个数,以及满足要求 的基本事件个数.常用的方法有列举法、排列组合法.在运用列举法时,通过明确写出每一个基本 事件,从而得到数量,进行求解,有些题目这样做可能用时较长;有的问题我们可以结合排列组合 5 2 54 4 402 × × = 3 14 3 7 6 7 13 28 2 8C 1 1 6 2m C C= 2 8 28n C= = 1 1 6 2 12m C C= = 12 3 28 7 mP n = = = - 5 - 的思想去求基本事件的个数,这样往往能提高做题速度. 7.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 .若 ，则 的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由 抛 物 线 的 标 准 方 程 , 可 求 出 焦 点 . 由 可 知 , 从 而 ,继而可求出 . 【详解】解:由抛物线的方程可得焦点 ,准线方程为: .作 垂直于 轴交于 因为 ,所以可得 为线段 的三等分点,即 . 由 ,所以 ,即 ,所以 故选:A. 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,考查了抛物线的定义.对于抛物线中焦点弦问题,在求 长时,首先考虑抛物线的定义,其次才是联立抛物线与焦点弦直线方程,代入弦长公式进行求解. 本题的关键是长度的转化. 8.某函数的部分图象如下图，则下列函数中可以作为该函数的解析式的是（ ） F 2: 8C y x＝ M C MF y N 2MF FN=  MF ( )2,0F 2MF FN=  1 3NF MN= 3 3 2 6MA OF ×＝ ＝ ＝ MF ( )2,0F 2x = − MA y A 2MF FN=  F MN 1 3NF MN= NFO NMA∆ ∆ 1 3OF MA= 3 3 2 6MA OF ×＝ ＝ ＝ 6 2 8MF = + = - 6 - A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用函数图象判断奇偶性，排除选项 A，根据周期性，排除选项 D，利用 时， 的 值恒大于等于 0，排除 B，则答案可求. 【详解】根据函数 的部分图象，可得该函数的图象关于 y 轴对称，故该函数为偶函数， 而 A 中的函数 为奇函数，故排除 A；再根据图像可知 的最小正周期 ， 而 的最小正周期是 2π，大于 4，故排除 D；又当 时， 的值恒大于等于 0，故排除 B. 所以 C 选项是正确的. 【点睛】本题考查函数图象的判断，根据函数的基本性质和赋值法排除选项是常用方法，属 中档题. 9.如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔 的高度（如图），铁塔 垂 直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部 在同一水平面上选择 两观测点，且在 两 点测得塔顶的仰角分别为 , 并测得 ， 两地相距 600m，则铁塔 的高度是（ ） A. 300m B. 600m C. m D. 【答案】B 【解析】 sin2 sin 2 x xy e = cos2 cos2 x xy e = cos2 cos2 x xy e = cos cos x xy e = x∈R ( )f x ( )f x sin2 sin 2 x xy e = ( )f x 4T < cos cos x xy e = x∈R ( )f x AB AB B ,C D ,C D 45 30 120BCD∠ =  ,C D AB 300 3 600 3m - 7 - 【分析】 设 ,则 ,在 中,结合余弦定理可列关于 的方程,求出 后即可得到 的长. 【详解】解:设 ,由图利用直角三角形的性质可得: . 在 中,由余弦定理可得: 化为: ,解得 . 故选:B. 【点睛】本题考查了解三角形.已知两角及一角的对边,常利用正弦定理解三角形;已知两边及 其夹角或者三边,常利用余弦定理解三角形. 10.已知函数 ,给出下列三个命题： ①函数 的图象关于直线 对称； ②函数 在区间 上单调递增； ③函数 的最小正周期为 . 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 讨 论 的 取 值 范 围 , 去 掉 绝 对 值 号 , 从 而 得 到 ,结合图象即可判断三种命题的正确与否. 【 详 解 】 解 : AB x= , 3BC AB x BD x=＝ ＝ BCD∆ x AB AB x= , 3BC AB x BD x=＝ ＝ BCD∆ 2 2 23 600 2 600 120x x xcos+ × ＝ ﹣ 2 300 180000 0x x﹣ ﹣ ＝ 600x＝ ( ) 2 2f x cosx sinx sin x+＝ ( )f x 4x π= ( )f x 4 4 π π −  ， ( )f x π x ( ) 30, 2 , 22 2 , 2sin 2 , 2 , 22 2 x k k f x k Z x x k k π ππ π π ππ π   ∈ + +    = ∈   ∈ − + +    - 8 - ,其大致图象如图所示 ① 的图象不关于直线 对称,即①错误; ② 在区间 上单调递增,即②正确;③ 的最小正周期为 ,即③错误. 故选:B. 【点睛】本题考查了分段函数,考查了三角函数的性质.对于含有绝对值的函数,在研究其性质 时,通常讨论自变量的取值范围,将绝对值号去掉,从而得到分段函数.对于分段函数,最常用的方 法就是画图像研究性质.本题使用了数形结合的数学思想.关键是去掉绝对值号. 11.已知 是由具有公共直角边的两块直角三角板（ 与 ）组成的三角 形，如图所示.其中， , ，现将 绕斜边 旋转至 处（ 不在平面 上）.若 为 的中点，则在 旋转过程中，直线 与 所成角 ( ) A. B. C. D. ( ) 32cos sin sin 2 , 2 , 22 22 2 2cos sin sin 2 , 2 , 22 2 x x x x k k f x cosx sinx sin x x x x x k k π ππ π π ππ π   − + ∈ + +    + =    + ∈ − + +    ＝ 30, 2 , 22 2 , 2sin 2 , 2 , 22 2 x k k k Z x x k k π ππ π π ππ π   ∈ + +    = ∈   ∈ − + +    ( )f x 4x π= ( )f x 4 4 π π −  ， ( )f x 2π ABC∆ Rt ACD∆ Rt BCD∆ 45CAD∠ ＝ 60BCD∠ ＝ Rt ACD∆ AC 1D AC∆ 1D ABC M BC ACD∆ 1AD DM θ (0 ,45 )θ ∈   (0 ,45 ]θ ∈   (0 ,60 ]θ ∈   - 9 - 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意分析出 与 落在同一个轴截面上时， 取得最大值为 ,但取不到 . 进而可求出 的取值范围. 【详解】解:作 , 可以看成以 为轴线，以 为平面角的圆锥的母线. 由题意知 与 落在同一个轴截面上时， 取得最大值 则 的最大值为 ， 此时， 平面 . 不在平面 上, . 在 旋转过程中，直线 与 所成角 . 故选:D. 【点睛】本题考查了线线所成角.本题的难点在于分析出线线所成角上下限.对学生的空间想象 能力有一定的要求. 12.设符号 表示 中的最小者，已知函数 则 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 (0 ,60 )θ ∈   1AD AP 1PAD∠ 60 60 θ //AP DM 1AD AC 45 1AD AP 1PAD∠ 1PAD∠ 45 15 60° °+ =  1D ∈ ABC 1D ABC ( )1 0 ,60PAD∴∠ ∈   ∴ ACD∆ 1AD DM ( )0 ,60θ ∈   { }min x y z， ， , ,x y z ( ) 22{| |, }2,f x min x x x +＝ ﹣ [ ) ( ) ( )0, , 2x f x f x∀ ∈ +∞ − > [ ) ( ) ( )1, , 2x f x f x∀ ∈ +∞ − > ( )( ) ( ),x R f f x f x∀ ∈ ≤ ( )( ) ( ),x R f f x f x∀ ∈ > - 10 - 分别画出 的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确 选项. 【详解】解:如图所示:由题意可得 中， . 中，当 时， ， . 当 时， ， . 当 时， ， . 当 ，恒有 ，所以 不正确， 也不正确； 中，从图象上看， .令 ，则 所以 ，即 ，故 正确， 不正确. 故选:C. 【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象. 在画 的函数图象时，一般地，先画出 的图象，再将 轴下方的图象向 上翻折即可. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上. 13.函数 在点 处的切线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据导数，先求得切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程. 22 , , 2y x y x y x= − = = + A [ ] ( ) 2 , 0,1( ) 2 , 1, x xf x x x  ∈=  − ∈ +∞ B 1 2x≤ ≤ 1 2 0x≤ ≤﹣ ﹣ ( ) ( ) ( )2 2 2f x f x x f x− − ≤ −＝ ＝ 2 3x ≤＜ 0 2 1x − ≤＜ ( ) ( )2 2f x x f x− ≤ − = 3 4x ≤＜ 1 2 2x< − ≤ ( ) ( ) ( )2 2 2 4 2f x x x x f x− = − − = − ≤ − = 4, 2 2x x≤ − ≥ ( ) ( )2f x f x− < B A C [ ) ( )0, ,x f x x∈ +∞ ≤ ( )t f x= 0t ≥ ( )f t t≤ ( )( ) ( )f f x f x≤ C D ( )y f x= ( )y f x= x lny x x= + ( )1,1 2 1 0x y− − = - 11 - 【详解】函数 则 由导数几何意义可知 根据点斜式可得直线方程为 化简可得 故答案为： 【点睛】本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 14.已知向量 满足 ，若 的最大值为 ，则向量 的 夹角 的最小值为__________， 的取值范围为__________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 分析：由题意 ，求得 ，所以 的最小值为 ，再利用 向量的模的计算公式，即可求解. 详解：由题意 ，则 ， 解得 ，所以 ，所以 的最小值为 ， 所以 ，所以 . 点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积 的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的 妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题 及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 15.飞镖锦标赛的赛制为投掷飞镖 3 次为一轮，一轮中投掷 3 次飞镖至少两次投中 9 环以上， 则评定该轮投掷飞镖的成绩为优秀.某选手投掷飞镖每轮成绩为优秀的概率为 ，则该选手投 掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是_____ 【答案】 【解析】 lny x x= + 1' 1y x = + 1 1 2k = + = ( )1 2 1y x− = × − 2 1 0x y− − = 2 1 0x y− − = ,a b 2, 1a b= = ( ) ( )a a b b a b⋅ + + ⋅ −     1 ,a b θ 2a b+  2 3 π [ ]0,2 ( ) ( ) 1a a b b a b⋅ + + ⋅ − ≤     2 3 π θ π≤ ≤ θ 2 3 π 2, 1a b= = ( ) ( ) 2 22 3 4cos 1a a b b a b a a b b θ⋅ + + ⋅ − = + ⋅ − = + ≤         11 cos 2 θ− ≤ ≤ − 2 3 π θ π≤ ≤ θ 2 3 π [ ]2 2 2| 2 | 4 4 8 8cos 0,4a b a a b b θ+ = + ⋅ + = + ∈     [ ]2 0,2a b+ ∈ 4 5 124 125 - 12 - 【分析】 先求出该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率 ，即可求出至少有一轮可以拿到优 秀成绩的概率. 【详解】解:由题意知，该选手没有一轮拿到优秀成绩的概率为 . 则该选手投掷飞镖共三轮，至少有一轮可以拿到优秀成绩的概率是： . 故答案为: . 【点睛】本题考查了独立事件的概率计算.利用对立事件的概率之和为 1，可以减少本题的计 算量. 16.已知双曲线 的方程为 ，右焦点为 ，若点 ， 是双曲线 的左支 上一点，则 周长的最小值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】 求出左右焦点的坐标 ，从而可求 ；通过分析，将周 长最小转化为求 的最小值.当 在左支上运动到 共线时 取得最小值 ，从而可求周长的最小值. 【详解】解：双曲线的标准方程为 ，设双曲线的左焦点为 ， 由双曲线 可得 ， ， 周长为 由双曲线的定义可得 ，即有 . 当 左支上运动到 共线时， 取得最小值 .在 0 3 0 3 4 1 5 5C           0 3 0 3 4 1 5 5C           0 3 0 3 4 1 1241 5 5 125P C    = − =       124 125 C 2 2 18 yx − = F ( )0,6N M C FMN∆ 6 5 2+ ( ) ( )3,0 , ' 3,0F F − 9 36 3 5NF = + = 'MN MF+ P , , 'M N F 'MN MF+ ' 3 5NF = 2 2 18 yx − = 'F C ( ) ( )3,0 , ' 3,0F F − 9 36 3 5NF = + = FMN∆ 3 5MN MF NF MN MF+ + = + + ' 2 2MF MF a− = = ' 2MN MF MN MF+ = + + P , , 'M N F 'MN MF+ ' 3 5NF = - 13 - 则有 周长的最小值为 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的几何意义.对于圆锥曲线中的三角形 问题时，常根据椭圆、双曲线的定义，结合正弦定理、余弦定理对三角形进行求解.本题的难 点是将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共 60 分. 17.已知数列 为等差数列， 是数列 的前 项和，且 ， ，数列 满 足： ，当 ， 时， . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）令 ，证明： . 【答案】（1） ; ;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）用 和 将已知 ， 表示出来即可求出首项公差,从而可求通项公式；由 可得 ，两 式相减进行整理可求出 的通项公式. （2）用错位相减法求出 的前 项和 ，即可证明不等式. 【详解】解：（1）数列 为等差数列， 是数列 的前 项和，且 ， 设数列的首项为 ，公差为 ，则： ，解得： ， 所以 .因为 ① 所以当 时， .② ①﹣②得： ，由于 ，整理得 （常数）. FMN∆ 3 5 3 5 2 6 5 2+ + = + 6 5 2+ { }na nS { }na n 2 2a = 3 6S a= { }nb 2 12 4b b= = 3n ≥ n ∗∈N ( )1 1 2 2 ... 2 2 2n n na b a b a b n b+ + + = − + { }na { }nb *n n n ac n Nb = ∈， 1 2 ... 2nc c c+ + + < na n= 2n nb = 1a d 2 2a = 3 6S a= ( )1 1 2 2 ... 2 2 2n n na b a b a b n b+ + + = − + ( )1 1 2 2 1 1 1... 2 4 2n n na b a b a b n b− − −+ + + = − + { }nb { }nc n 2 1 2 ...2 2 2n n nT = + + + { }na nS { }na n 2 2a = 3 6S a= 1a d 1 1 1 2 3 3 5 a d a d a d + =  + = + 1 1 1 a d =  = ( )1 1na n n= + − = ( )1 1 2 2 ... 2 2 2n n na b a b a b n b+ + + = − + 2,n n N ∗≥ ∈ ( )1 1 2 2 1 1 1... 2 4 2n n na b a b a b n b− − −+ + + = − + ( ) ( ) 12 2 2 4n n n na b n b n b −= − − − na n= 1 2n n b b − = - 14 - 所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.所以 . 证明：（2）由（1）得 .所以 ①， 故 ②①﹣②得： .所以 .即 . 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了由递推数列求通项公式，考查了错位相减法. 对于等差数列求通项公式时，常用的方法为基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，从 而求出首项和公差.本题的易错在于错位相减时的计算上，常算错数，或者最后忘记系数化 1. 18.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD＝ ，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，点 M、E 分别是 PA、PD 的中点 (1)求证：CE//平面 BMD (2)点 Q 为线段 BP 中点，求直线 PA 与平面 CEQ 所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析；（2） . 【解析】 【分析】 (1) 连接 ME，通过对边关系得到四边形 为平行四边形，所以 ，进而得到线 面平行；（2）建立坐标系，进而得到直线 PA 的方向向量，和面的法向量，进而得到线面角. { }nb 12 2 2n n nb −= × = 2 n n n n a nc b = = 2 1 2 ...2 2 2n n nT = + + + 2 3 1 1 1 2 ...2 2 2 2n n nT += + + + 2 3 1 1 1 111 1 1 1 12 2... 112 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n n n nT + +  −  = + + + + − = = − − − 1 12 22 2n n n nT −= − − < 1 2 ... 2nc c c+ + + < π 2 5cos 3 θ = BCEM CE BM - 15 - 【详解】（1）连接 ME，因为点 分别是 的中点，所以 ， 所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 . 又因为 平面 ， 平面 ,所以 平面 . （2）如图，以 为坐标原点建立空间坐标系 ，则 又 ， 设平面 的法向量为 ，列方程组求得其中一个法向量为 ，设直线 与平面 所成角大小为 ，于是 ， 进而求得 . 【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系．求线面角，一是可以利用等体积 计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向 量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可． 19.已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，且 ，椭圆 的 离心率为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）已知点 在椭圆 内，直线 与 分别与椭圆 交于 、 两点， ,M E ,PA PD 1 ,2ME AD ME AD=  ,BC ME BC ME= BCEM CE BM BM ⊂ BMD CE ⊂ BMD CE  BMD A O xyz− 1 , 1,12CQ  = − −    ( )1,0,1CE = − CEQ ( ), ,n x y z= ( )2,1,2n = PA CEQ θ 2 2sin 34 1 4 0 0 1 θ = = + + × + + 5cos 3 θ = ( )2 2 2 2 1 0x yC a ba b + =： ＞ ＞ A B AB 4= C 3 2 C ( )( )1, 0M m m ≠ C AM BM C E F - 16 - 若 面积是 面积的 5 倍，求 的值. 【答案】（1） ;（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 可求 ，由离心率为 可求 ，由 可求 ，进而可求标准方程. （2）由 可求出直线 与 的方程，与椭圆方程联立，进而可求 、 的纵坐标，由面积关系可得 ，从而可求 的值. 【详解】解：（1）由题意可得： ，解得 ， 椭圆 的标准方程为： . （2） ， 直线 的斜率 ， 直线 的方程为： .联立直线和椭圆的方程 ，解得 ，同理可得 ， ，即 . ，又 ， ，解得 或 因为点 在椭圆内，所以 . ， . 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交问题.本题第二问的关键在于求 出交点的纵坐标，以此为三角形的高列出方程.本题的易错点在于忽略点 在 椭圆 内这一条件，从而未对 的值进行取舍. AMF∆ BME∆ m 2 2 14 x y+ = 1 2m = ± AB 4= a 3 2 c 2 2 2a b c= + b ( )( )1, 0M m m ≠ AM BM E F 2 2 4 125 41 4 9 4 m m mm m = −+ + m 2 2 2 2 4 3 2 a c a a b c =  =  = + 2 1 3 a b c  =  =  = ∴ C 2 2 14 x y+ = ( ) ( ) ( )1, , 2,0 , 2,0M m A B− ∴ AM 3AM mk = ∴ AM ( )23 my x= + ( ) 2 2 23 14 my x x y  = +  + = 2 12 9 4E my m = + 2 4 1 4F my m = + 5AMF BMES S∆ ∆= ( ) ( )5ABF ABM ABE ABMS S S S∆ ∆ ∆ ∆− = − 5 4ABF ABE ABMS S S∆ ∆ ∆∴ = − 2 2 4 125 41 4 9 4 m m mm m ∴ = −+ + 0m ≠ 4 216 16 3 0m m∴ +- = 2 1 4m = 3 4 M 2 3 4m < 2 1 4m∴ = 1 2m∴ = ± ( )( )1, 0M m m ≠ C m - 17 - 20.BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦 程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当 BMI 数值大于或等于 20.5 时， 我们说体重较重，当 BMI 数值小于 20.5 时，我们说体重较轻，身高大于或等于 170cm 时，我 们说身高较高，身高小于 170cm 时，我们说身高较矮.某中小学生成长与发展机构从某市的 320 名高中男体育特长生中随机选取 8 名，其身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高（cm） 166 167 160 173 178 169 158 173 体重（kg） 57 58 53 61 66 57 50 66 （1）根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程 .利用已经求得的线性 回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值 （保留两位有效数字）； 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高（cm） 166 167 160 173 178 169 158 173 体重（kg） 57 58 53 61 66 57 50 66 残差 0.1 0.3 0.9 ﹣1.5 ﹣0.5 （2）通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是 否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为 58（kg）.请重新根据最小二 ix iy ˆ 0.8 75.9y x= − 2R ix iy ˆe - 18 - 乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程. 参考公式： ， . . 参考数据： ， ， ， ， . 【答案】（1）填表见解析; ;（2） . 【解析】 【分析】 （1）由表中的数据可求出线性回归方程为 ，进而可完善所给表格，求出所有 残差值.由 即可求出贡献值 . （2）计算修订后 以及 ，代入到 ， 进 而可求出线性回归方程. 【详解】解：（1）由题意知线性回归方程为 ，计算 ， ， .完善下列残差表如下， 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 （cm） xi 166 167 160 173 178 169 158 173 ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 1 1 22 2 2 1 1 1 ˆ 1 . ( ) ˆ n n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i y y x x y y x y nxy R y y x x n b x x = = = = = = − − − − = − = = − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆa y bx= − ˆˆ ˆi i ie y bx a= − − 8 1 78880i i i x y = =∑ 8 2 1 226112i i x = =∑ 168x = 58.5y = ( )8 2 1 226i i y y = − =∑ 2 0.90R ≈ ˆ 0.675 55.9y x= − ˆ 0.8 75.9y x= − ( )2 2 1 2 1 ˆ 1 ( ) n i i i n i i y y R y y = = − = − − ∑ ∑ 2R 8 ' 1 77496i i i x y = =∑ ' 57.5y = 8 1 8 2 2 1 ˆ i i i i i x y nxy x x b n = = − = − ∑ ∑ ˆˆ 'a y bx= − ˆ 0.8 75.9y x= − 6 57 0.8 169 75.9ˆ 2.3e = − × + =- 7 50 0.8 158 75.9ˆ 0.5e = − × + =- 8 66 0.8 173 75.ˆ 9 3.5e = − × + = - 19 - 体重 （kg）yi 57 58 53 61 66 57 50 66 残差 0.1 0.3 0.9 ﹣1.5 ﹣0.5 ﹣2.3 ﹣0.5 3.5 计算 ， 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值 . （2）通过残差分析知，残差的最大（绝对值）的那组数据为第 8 组，且 由 ，计算修订后 又 ， ，修订后 . 所以 ， . 所以 关于 的线性回归方程是 . 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解.易错点在于符号的规范书写，关键在于计算的精度 和速度.合理代入已知的数据会大大减少计算量. 21.已知函数 ，其中 （1）当 时，若直线 是曲线 的切线，求 的最大值； e ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ˆ 11 1 0.01 0.09 0.81 2.25 0.25 5.29 0.25 12.25 0.90226( ) n i i i n i i y y R y y = = − = − = − × + + + + + + + ≈ − ∑ ∑ 2 0.90R ≈ 8 58y = 8 1 78880i i i x y = =∑ 8 ' 1 78880 173 66 173 58 77496i i i x y = − × + × ==∑ 8 2 1 226112i i x = =∑ 168x = ( )1' 8 58.5 66 58 57.58y = × × − + = 8 1 8 2 2 2 1 77496 8 168 57.5 0.6ˆ 75226112 8 168 i i i i i x y nxy x b nx = = − − × ×= = =− ×− ∑ ∑ ˆˆ ' 57.5 0.675 168 55.9a y bx= − = − × = − x y ˆ 0.675 55.9y x= − ( ) ( )2lnf x ax b= + ,a b∈R 0a > y x= ( )y f x= ab - 20 - （2）设 ，函数 有两个不同的零点， 求 的最大整数值.（参考数据 ） 【答案】（1） ;（2） 【解析】 【分析】 （1）利用导数的几何意义可得 ，因此 ， 利用导数研究其单调性，即可求出 的最大值，即求出 的 最大值. （2）根据题意，关于 的方程 有两个不同的解，设 利用 导数得到存在 使得 .则要使得关 于 的方程 有两个不同的解，则 ，当 时，设 经验证 有两个不同的零点，即可证明. 【详解】解：（1）设直线 与曲线 相切于点 ， ， ， . 又因为点 在切线 上，所以 .所以 .因此 设 ，则 令 得， ；令 得， . 在 上单调递增，在 上单调递减. 1b = ( ) ( ) ( ) ( )( )21 1 , 0g x ax a ax f x a R a= + + + − ∈ ≠ a 5 0.2234ln ≈： 4 e 1− 02 2 2 2b a ax a aln a∴ ＝ - = ﹣ ( )2 22 2 2 0a a ab lna a= >﹣ ( ) 2 22 2 2 , 0g a a a ln a a= ﹣ ＞ ( )g x ab t 22ln 0)t ta tt −= ( ＞ ( ) 22lnt th t t −= 0 51, 4t  ∈   ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2ln 2 2 2 92 ,010 t t th t tt t t − −  = = = − ∈ −   t 22ln 0)t ta tt −= ( ＞ ( )0a h t< 1a = − 2( ) 2p t lnt t t− +＝ ( )p t y x= ( )y f x= ( )( )0 0,2lnP x ax b+ 2'( ) af x ax b = + 0 0 2'( ) 1af x ax b ∴ = =+ ( )0 2 0ax b a a∴ + = > P y x= ( )0 02ln ax b x+ = 02ln2a x= 02 2 2 2b a ax a aln a∴ ＝ - = ﹣ ( )2 22 2 2 0a a ab lna a= >﹣ ( ) 2 22 2 2 , 0g a a a ln a a= ﹣ ＞ ( )' 2 4 2 2 1 2 2 )g a a aln a a ln a＝ ﹣ ＝ ( ﹣ '( ) 0g a > 0 2 ea< < '( ) 0g a < 2 ea > ( )g a∴ 0, 2 e      ,2 e +∞    - 21 - 的最大值为 .则 的最大值为 . （2）函数 有两个不同的零点, 等价于方程 有两个不相等的实根. 设 ，则等价于方程 有两个不同的解， 即关于 的方程 有两个不同的解，设 , 则 .设 ，由 可知 在 上单调递减，又 存在 使得 ，即 ，则 . 当 时， ， ，函数 单调递增；当 时 ， ，函数 单调递减.所以函数 的极大值为 . 要使得关于 的方程 有两个不同的解，则 . 当 时，设 ，则 可知 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 p（1）＝0 所以 有两个不同的零点，符合题意，所以 的最大整数值为 . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数 的最值，以及函数与方程的关系.对于 型的函数， 的零点个数就等 ( )g a∴ 2 4 e eg   =    ab 4 e ( ) ( )21) ( 1) ( , 0)g x ax a ax f x a R a+ + + − ∈ ≠=( 22 ( 1) 1) ( 1)ln ax ax a ax+ + + +=( 1t ax +＝ 22 0 0lnt t at t=﹣ ﹣ （ ＞ ） t 22ln 0)t ta tt −= ( ＞ ( ) 22lnt th t t −= 2 2 2 2ln'( ) t th t t − −= 2( ) 2 2m t t lnt＝﹣ ﹣ 0t > 2'( ) 2 0m t t t = − − < ( )m t∴ ( )0, ∞+ 5 7 5(1) 1 0, 2ln 04 16 4m m = > = − <   ∴ 0 51, 4t  ∈   ( )0 0m t = 2 0 02 2ln 0t t− − = 2 0 02ln 2t t+ = ( )00,t t∈ ( ) 0m t > '( ) 0h t > ( )h t ( )0 ,t t∈ +∞ ( ) 0m t < '( ) 0h t < ( )h t ( )h t ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2ln 2 2 2 92 ,010 t t th t tt t t − −  = = = − ∈ −   t ( )22ln 0t ta tt −= > ( )0a h t< 1a = − 2( ) 2p t lnt t t− +＝ 2'( ) 2 1p t tt = − + ( )p t 1 170, 4  +     1 17 ,4  + +∞    21 17(1) 0, 0, ( ) 2 04p p p e e e  += > = − + <    ( )p t a 1− ( ) ( ) ( )f x h x g x= − ( )f x - 22 - 同于 图像的交点个数. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22..极坐标系于直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 正半轴为极轴.已 知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ， 射线 ， ， ， 与曲线 分别交异于极点 的四点 . （1）若曲线 关于曲线 对称，求 的值，并把曲线 和 化成直角坐标方程； （2）设 ，当 时，求 值域. 【答案】（1） ， 的直角坐标方程为 ; 的直角坐标方程为 ;（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 可得 进而可求 的直角坐标方程; 把 的方程化为直角坐标方程为 ，由题意知，该直线过 ，则可求出 . （2） ， ， ， ，则 ，结合 则可求出 ，进而可求值域. 【详解】解：（1） ： ，即 ，化为直角坐标方 程 为 .把 的方程化为直角坐标方程为 . 的 ( ), ( )g x h x xOy O x 1C 4cos 3 πρ θ = −   2C cos 3 a πρ θ − =   6 πθ α= − θ α= 3 πθ α= + 2 πθ α= + 1C O , , ,A B C D 1C 2C a 1C 2C ( )f OA OB OC ODα ⋅ + ⋅＝ 6 3 π πα≤ ≤ ( )f α 2a = 1C ( ) ( )221 3 4x y− + − = 2C 3 4 0x y+ − = 4 3,8 3   4cos 3 πρ θ = −   2 2 2 3cos sinρ ρ θ ρ θ+＝ 1C 2C 3 2 0x y a+ − = ( )1, 3 2a = 4OA sinα＝ 4 ( )3OB cos πα −＝ 4OC cosα＝ 4sin( )3OD π α−＝ 8 3sin 2) 6(f OA OB OC OD αα π ⋅ ⋅ = ++   ＝ 6 3 π πα≤ ≤ 62 6 52 π π πα≤ + ≤ 1C 4cos 3 πρ θ = −   2 2 2 3cos sinρ ρ θ ρ θ+＝ ( ) ( )221 3 4x y− + − = 2C 3 2 0x y a+ − = - 23 - 因为曲线 关于曲线 对称，故直线 经过圆心 解得 ，故 的直角坐标方程为 . （2）由题意可得，当 时， ， ， ， 则 . 当 时， ，则 故 的值域为 . 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，考查 了三角恒等变换，考查了三角函数的值域求解.已知极坐标方程求直角坐标方程时，代入公式 即可；对于 在求值域时，往往先求出 的取值范围，结合正弦函数的图像和性质，即可求出所求值域. 23.已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）设函数 的最小值为 m，当 a，b， ，且 时，求 的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据 x 的不同范围，去掉绝对值，然后求解不等式 （2）利用基本不等式的合理利用求最大值 【详解】（1）①当 时， 1C 2C 3 2 0x y a+ − = ( )1, 3 2a = 2C 3 4 0x y+ − = 6 3 π πα≤ ≤ 4OA sinα＝ 4 ( )3OB cos πα −＝ 4OC cosα＝ 4sin( )3OD π α−＝ 16sin cos 16cos) sin3 3(f OA OB OC OD π πα α αα α   ⋅ ⋅ = + −+ −      ＝ 28sin2 8sin 2 12sin2 4 3cos2 8 3sin 23 6 π πα α α α α   = − − = + = +       6 3 π πα≤ ≤ 62 6 52 π π πα≤ + ≤ 4 3 8 3sin 2 8 36 πα ≤ + ≤   ( )f α 4 3,8 3   sin , cosy xρ θ ρ θ= = ( ) sin( )f x A xω ϕ= + xω ϕ+ ( ) 4f x ≤ ( )f x c +∈R a b c m+ + = 2 1 2 1 2 1a b c+ + + + + 2 23x x − ≤ ≤   2 3 1 2x < ( ) 3 2 4f x x= − + ≤ 2 1 3 2x∴− ≤ < - 24 - ②当 时， ③当 时， 综上： 的解集为 （2）法一：由（1）可知 即 又 且 则 ，设 同理： ， ，即 当且仅当 时取得最大值 法二：由（1）可知 即 1 12 x≤ < ( ) 4f x x= ≤ 1 12 x∴ ≤ < 1x ≥ ( ) 3 2 4f x x= − ≤ 1 2x∴ ≤ ≤ ( ) 4f x ≤ 2 23x x − ≤ ≤   ( ) 13 2, 2 1, 12 3 2, 1 x x f x x x x x − + < = ≤ <  − ≥  ( )min 1 2f x∴ = 1 2m = *, ,a b c R∈ 1 2a b c+ + = 2 2 2 1a b c+ + = 2 1, 2 1, 2 1x a y b z c= + = + = + 2 2 2x y xy+ ≥ 2 22 2 1 2 1 2 2 2xy x y a b a b∴ ≤ + = + + + = + + 2 2 2 2yz b c≤ + + 2 2 2 2zx c a≤ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8xy yz zx a b b c c a∴ + + ≤ + + + + + + + + = ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 8 12x y z x y z xy yz zx a b c∴ + + = + + + + + ≤ + + + + + + = 2 3x y z∴ + + ≤ 2 1 2 1 2 1 2 3a b c+ + + + + ≤ 1 6a b c= = = 2 3 ( ) 13 2, 2 1, 12 3 2, 1 x x f x x x x x − + < = ≤ <  − ≥  ( )min 1 2f x∴ = 1 2m = - 25 - 又 且 当且仅当 时取得最大值 法三：由（1）可知 即 由柯西不等式可知： 即： 当且仅当 即 时，取得最大值 【点睛】考核绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用 *, ,a b c R∈ 1 2a b c+ + = ( ) ( ) ( )3 4 4 42 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 3 3 3a b c a b c  + + + + + = + + + + +    4 4 42 1 2 1 2 13 3 3 3 2 2 2 2 a b c + + + + + + ≤ + +      1 6a b c= = = 2 3 ( ) 13 2, 2 1, 12 3 2, 1 x x f x x x x x − + < = ≤ <  − ≥  ( )min 1 2f x∴ = 1 2m = 1 2a b c∴ + + = 2 1 2 1 2 1 4a b c∴ + + + + + = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 22 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1a b c a b c+ + + + + × + + ≥ + × + + × + + × ( )2 2 1 1 2 1 1 2 1 121a b c+ + × + + × ≤× + 2 1 2 1 2 1 2 3a b c∴ + + + + + ≤ 2 1 2 1 2 1a b c+ = + = + 1 6a b c= = = 2 3