高中数学必背公式——立体几何与空间向量(供参考)

高中数学必背公式——立体几何与空间向量(供参考)

高中数学必背公式——立体几何与空间向量 知识点复习： 1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。 2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。 3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化： 线线平行  线面平行  面面平行，线线垂直  线面垂直  面面垂直。 4．求角：（1）异面直线所成的角： 可平移至同一平面；也可利用空间向量： cos | cos , |a b    r r = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | || | | | | | x x y y z za b a b x y z x y z          r r r r （其中 （ 0 90 o o ）为异面直线 a b, 所成角， ,a b r r 分别表示异面直线 a b, 的方向向量）。 （2）直线与平面所成的角： 在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便 是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线 AB 与平面所成角sin | || | AB m AB m        ( m  为平面 的法向量). （3）二面角： 方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法； 方法二：向量法：二面角 l   的平面角 cos | || | m narc m n       或 cos | || | m narc m n       （ m  ， n  为平面 ，  的法向量）. 5. 求空间距离： （1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”； （2）两条异面直线的距离： | | | | AB nd n     （ n  同时垂直于两直线， A 、 B 分别在两直线上）； （3）求点面距： | | | | AB nd n     （ n  为平面 的法向量， AB 是经过面 的一条斜线， A  ）； （3）线面距、面面距都转化为点面距。 题型一：空间几何体的三视图、体积与表面积 例 1：已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体， 其三视图如右，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰 长为 5 ，则该几何体的体积是（ ） A. 4 3  B. 2 C. 8 3  D.10 3  例 2：某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积 为（ ） A.180 B. 200 C. 220 D. 240 例 3：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体 的表面积是（ ） A．10π B．11π C．12π D． 13 题型二：空间点、线、面位置关系的判断 例 4：已知 m 、 n 是不重合的直线， 和  是不重合的平面，有下列命题： （1）若 m ， n ∥ ，则 m ∥ n ；（2）若 m ∥ ， m ∥  ，则 ∥  ； （3）若 n  ， m ∥ n ，则 m ∥ 且 m ∥  ； （4）若 m   ， m   ，则 ∥  . 其中真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 例 5：给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直； 其中真命题的个数是( )． A．4 B．3 C．2 D．1 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 例 6：给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行； ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直； 其中正确命题的个数为（ ）. A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 ☆题型三：空间线面位置关系的证明和角的计算 例 7：空间四边形 ABCD 中， CDAB  且成 060 的角，点 M 、 N 分别为 BC 、 AD 的中点，求异面 直线 AB 和 MN 成的角． 例 8：已知三棱锥 ABCP  中， PA 平面 ABC ， ACAB  ， ABACPA 2 1 ， N 为 AB 上一点， ANAB 4 ， M ， S 分别为 PB ， BC 的中点. （1）证明： SNCM  ；（2）求 SN 与平面CMN 所成角的大小. 例 9：如图，四棱锥 P ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， PC ⊥ AD ． 底面 ABCD 为梯形， //AB DC ， AB BC ． PA AB BC  ， 点 E 在棱 PB 上，且 2PE EB ． （1）求证：平面 PAB ⊥平面 PCB ； （2）求证： PD ∥平面 EAC ； （3）求平面 AEC 和平面 PBC 所成锐二面角的余弦值． 例 10：已知四棱锥 ABCDP  的底面为直角梯形， DCAB // ，  PADAB ,90 底面 ABCD ， 且 12 1  ABDCADPA ， M 是 PB 的中点。 （1）证明：面 PAD ⊥面 PCD ； （2）求 AC 与 PB 所成的角余弦值； （3）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值。 题型四：空间距离的计算 例 11：点 M 是线段 AB 的中点，若 A 、B 到平面 的距离分别为 cm4 和 cm6 ，则点 M 到平面 的距 离为 . 例 12：如图，在空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F 分别是 AB、CD 的中点. （1）求证：EF 是 AB 和 CD 的公垂线；（2）求 AB 和 CD 间的距离； 例 13：如图，在长方体 1111 DCBAABCD  中， 5AB ， 2BC ， 221 AA ， E 在 AD 上，且 1AE ， F 在 AB 上，且 3AF ， （1）求点 1C 到直线 EF 的距离；（2）求点C 到平面 EFC1 的距离。 例 14：如图，正方形 ABCD 与 ABEF 成 60 的二面角，且正方形的边长 为 a ， M 、 N 分别为 BD ， EF 的中点，求异面直线 BD 与 EF 的距离。 例 15：如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， ,PA ABCD 底面 3 3PA AB a  ，求异面直线 AB 与 PC 的距离。 例 16：已知 1111 DCBAABCD  是底面边长为1的正四棱柱， 1O 为 11CA 与 11DB 的交点． （1）设 1AB 与底面 1111 DCBA 所成角的大小为 ，二面角 111 ADBA  的大小为  . 求证：  tan2tan  ； （2）若点C 到平面 11DAB 的距离为 3 4 ，求正四棱柱 1111 DCBAABCD  的高． 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u 高考资源网 w。w-w*k&s%5￥u