数学文卷·2018届江西省新余一中高二下学期入学考试（2017-02）

数学文卷·2018届江西省新余一中高二下学期入学考试（2017-02）

‎ 新余一中高二年级2016-2017学年度下学期入学考试 文科数学试题 一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)‎ ‎1.设集合A={x|x≤-4或x≥2}，B={x||x-1|≤3}，则等于∁R（A∩B）（　　） A.             B.时，求f（x）的值域； （2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足=，=2-cosB，求f（B）的值． 21.（12分）设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点 Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点． （1）写出函数y=g（x）的解析式； （2）若当x∈时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围． ‎ ‎22.（12分）已知圆C：x2+（y-3）2=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N． （Ⅰ）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．‎ ‎ ‎ 入学考试 答案和解析 ‎ ‎ ‎【答案】 1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.A 8.D 9.B 10.B 11.D 12.D 13.②⑤ 14. 15.10 16. ‎ ‎17.解：（1）散点图如图，由图知y与x间有线性相关关系． ； （2）∵=4，=5， xiyi=112.3，=90， ∴===1.23； =-x=5-1.23×4=0.08． （3）线性回归直线方程是=1.23x+0.08， 当x=12（年）时，=1.23×12+0.08=14.84（万元）． 即估计使用12年时，支出总费用是14.84万元． 18.证明：（I）连结BD，交AC于点N，则点N即为所求， 证明如下： ∵ABCD为正方形， ∴N是BD的中点，又M是DE中点， 容易知道MN∥BE， BE⊂平面ABE， MN⊄平面ABE，‎ ‎ ∴MN∥平面ABE （Ⅱ）取AB的中点F，连接EF 因为△ABE是等腰直角三角形，并且AB=2 所以EF⊥AB， ∵平面ABCD⊥平面ABE， 平面ABCD∩平面ABE=AB， EF⊂平面ABE， ∴EF⊥平面ABCD，即EF为四棱锥E-ABCD的高， ∴VE-ABCD== 19.解：（1）∵a1+a4=14，∴2a1+3d=14，① ∵a1，a2，a7成等比数列，∴， 即，② 由①②得d2=4a1d， ∵d≠0，∴d=4a1，代入①解得d=4、a1=1， ∴an=a1+（n-1）d=4n-3，Sn==2n2-n； （2）由（1）知， ∵{bn}是为等差数列，∴2b2=b1+b3，即=， 解得，或k=0（8分）， ①当时，即bn=2n，则 ∴ =（10分） ②当k=0时，bn=2n-1， 则=， ∴ =， 综上可得，Tn=或．（12分） 20.解：（1）∵=（sinx，1-sinx），=（2cosx，1+sinx）． ∴f（x）=•=sin2x+cos2x=2sin（2x+）， ∵x∈， ∴2x+∈，‎ ‎ ∴sin（2x+）∈， ∴f（x）=2sin（2x+）∈． （2）∵=2-cosB，可得：sinBcosA=2sinA-cosBsinA， ∴2sinA=sinC，由正弦定理可得：2a=c， 又∵=，可得：b=， ∴由余弦定理可得：cosB===，可得：B=， ∴f（）=2sin（2×+）=1． ‎ ‎21.解：（1）由题意， y=f（x）=loga（x-3a）， -y=g（x-2a）， 则g（x-2a）=-loga（x-3a）， 令t=x-2a， 则g（t）=-loga（t-a）， 则g（x）=-loga（x-a）． （2）∵f（x）与g（x）的定义域的交集为（3a，+∞）， ∴⊆（3a，+∞） ∴a+2＞3a＞0， ∴0＜a＜1， ∴|f（x）-g（x）|≤1可化为a≤x2-4ax+3a2≤， 又∵x∈时，x2-4ax+3a2=（x-2a）2-a2∈ ∴， ∴0＜a≤． 22.解：（Ⅰ）∵直线l与直线m垂直，且， ∴kl=3，又kAC=3， 所以当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C； （Ⅱ）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意， ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0， 因为，所以， 则由CM==1，得， ∴直线l：4x-3y+4=0．‎ ‎ 从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0； （Ⅲ）因为CM⊥MN， ∴， 当直线l与x轴垂直时，易得， 则，又， ∴， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1）， 则由，得N（，）， 则， ∴=， 综上，与直线l的斜率无关，且． 【解析】 1. 解：集合A={x|x≤-4或x≥2}， B={x||x-1|≤3}={x|-3≤x-1≤3}={x|-2≤x≤4}， 则A∩B={x|2≤x≤4}， ∁R（A∩B）={x|x＜2或x＞4}=（-∞，2）∪（4，+∞）． 故选：C． 化简集合B，根据交集与补集的定义写出∁R（A∩B）即可． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目． 2. 解：①S=2，i=2， ②S=2+22=6，i=3， ③S=6+23=14，i=4， ④S=14+24=30，i=5＞4， 故选D． 根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答． 3. 解：由直观图可得原图如图所示，且OA=2，，‎ ‎ 所以AB=6，所以周长为16， 故选：B． 根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求． 本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形． 4. 解：由题意可知：产量x的平均值为==4.5，由线性回归方程为=0.7x+0.35，过样本中心点（，）， 则=0.7+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5，解得：=3.5， 由==3.5，解得：a=4.5， 表中a的值为4.5， 故选：D． 由线性回归方程必过样本中心点（，），则=3.5，即=3.5，即可求得a的值． 本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程必过样本中心点（，），考查计算能力，属于基础题． 5. 解：f（x）的图象如图所示，方程有3个不同的解，即有3个不同的解， 等价于y=f（x）与的图象有3个不同的交点， 因为直线恒过， 所以满足条件的直线应在图中的l1与l2之间，斜率分别是，，故， 故选B． 方程有3个不同的解，即有3个不同的解，等价于y=f（x）与的图象有3个不同的交点，因为直线恒过，所以满足条件的直线应在图中的l1与l2之间，求出斜率，即可得出结论． 本题考查方程解的研究，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键． 6. 解：∵对平面内任意点Q都有，λ∈R，∴三点A、B、C共线，即AB为圆C的直径． ∴，⇒…①，…②． ②-①得=； ∵点C到直线直线l2的距离为3，∴，∴的最小值为5． 故选：C． ‎ ‎ 由，λ∈R，得三点A、B、C共线，由向量的线性运算的，⇒…①，…②． ②-①得=，求出PC范围即可． 本题考查了向量的线性运算，数形结合、转化思想是关键，属于压轴题． 7. 解：设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b， 则a×+b×+c×=0， ∴a×+b×（+）+c×（+）=0， ∴（a+b+c）=b+c， ∴=+， ∵， ∴λ1=，λ2=， ∴= 故选：A 利用O为△ABC内角平分线的交点，则有a×+b×+c×=0，再利再利用三角形中向量之间的关系，将等式变形为=+，利用平面向量基本定理即可解． 本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 8. 解：f（x）=sin（π-ωx）sin（+φ）-sin（ωx+）sinφ=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin（ωx+φ）， 由题意，设函数f（x）的周期为T，可得：＜， 解得：T＜，可得：＜， ∵可得：-＞， ∴函数f（x）在（，）单调递增． 故选：D． 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式开始f（x）=sin（ωx+φ），由函数图象可得＜，可求-＞，可得f（x）在（，）单调递增，即可得解．‎ ‎ 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题． 9. 解：∵2=2+， ∴2-2=，即， ∴点P在线段AB的反向延长线上， 故选B． 根据2=2+，利用向量减法的三角形法则得到，然后根据向量的定义和共线向量定理即可求得答案． 本题考查共线向量定理以及向量加减法的三角形法则，对2=2+变形是解决此题的关键，属基础题． 10. 解：根据约束条件画出可行域如图： z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2-4表示点P（-2，0）到可行域的点的距离的平方减4． 由，解得A（2，2） 当点A到点P（-2，0）距离最大， z=x2+y2+4x=4+4+8=16． 故选：B． 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2+4x=（x+2）2+y2-4表示点（-2，0）到可行域的点的距离的平方减4，故只需求出点（-2，0）到可行域的距离的最小值即可． 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 11. 解：由等差数列的性质可得a3+a13=2a8， 即有a82=4a8， 解得a8=4（0舍去），‎ ‎ 即有b8=a8=4， 由等比数列的性质可得b4b12=b82=16． 故选：D． 由等差数列的中项的性质可得a3+a13=2a8，解得a8，再由等比数列的中项的性质，可得b4b12=b82，即可得到所求． 本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于基础题． 12. 解：∵数列{an}满足a1=，an+1=， ∴a2===， a3==， a4===， a5==， a6===， … 由此可知：an=， ∵===1+=1+（-）， ∴++…+=n+1+（1-+-+…+-+-） =n+1+（1+--） =n+-（+）， 又∵不等式++…+＜n+λ对任何正整数n恒成立， ∴实数λ的最小值为， 故选：D． 通过计算出数列{an}的前几项可知an=，进而变形可知=1+（-），并项相加、放缩即得结论． 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 13. 解：对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到a⊥β，又a⊂α，则α⊥β，故正确， 对于③α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b或a∥b，或相交，故不正确，‎ ‎ 对于④若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确， 对于⑤根据线面垂直的性质，若a⊥α，b⊥β，则α∥β，故正确 故答案为：②⑤ 对于①③，根据线面垂直的判断定理，对于②④⑤线面垂直的性质定理，判断即可． 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 14. 解：0＜x＜，且sin（2x-）=-， 可得-＜2x-＜0， 则cos（2x-）==， 即有sin2x=sin= =×（-+）=， 则sinx+cosx=== =． 故答案为：． 由x的范围，可得-＜2x-＜0，可得cos（2x-）的值，再由sin2x=sin，运用两角和的正弦公式，以及sinx+cosx=，计算即可得到所求值． 本题考查三角函数的求值，考查两角和的正弦公式和同角基本关系式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 15. 解：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q， 由b2+S2=10，a5-2b2=a3． 得，解得 ∴an=3+2（n-1）=2n+1，． 则=， Tn=3+++…+， 所以Tn=+++…++， 两式作差得Tn=3+++++…+- =3+（1+++…+）-=3+-=3+2-2•（）n-1-， 即Tn=10-（）n-3-＜10， 由Tn＜M对一切正整数n都成立， ∴M≥10，‎ ‎ 故M的最小值为10， 故答案为：10利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出{an}以及{bn}和{}的通项公式，利用错位相减法进行求和，利用不等式恒成立进行求解即可． 本题主要考查数列通项公式的求解以及数列求和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键．考查学生的计算能力． 16. 解：如图，以OA为x轴，以OC为y轴，建立直角坐标系， 则O（0，0），A（3，0），C（0.3），B（3，3）， ∵2BM=MC，AN=NB， ∴M（1，3），N（3，）， 设P（x，y）， ∵（λ，μ为实数）， ∴=λ（3，0）+μ（0，3）=（3λ，3μ）， ∴，即， ∴λ=-=（3x-y）， 令z=3x-y，即y=3x-z， 由M（1，3），N（3，），得到直线MN的方程为3x+4x-15=0， 则x，y满足的区域为，如图所示， 当目标函数z=3x-y，过点N（3，）时，Z最大， 则zmax=3×3-=9-=， ∴（λ）max=×= 故答案为： 如图，以OA为x轴，以OC为y轴，建立直角坐标系，表示各点的坐标，根据向量的坐标运算得到λ=-=（3x-y），构造目标函数，利用可行域即可求出最值． 本题考查了向量的坐标运算和和线性规划的问题，关键是构造目标函数，属于中档题． 17. （I）连结BD，交AC于点N，则点N即为所求，MN∥BE，由线线平行⇒线面平行； （II）取AB的中点F，连接EF，求出EF，因为平面ABCD⊥平面ABE，交线为EF，证明EF为四棱锥E-ABCD的高，代入棱锥的体积公式计算．‎ ‎ 本题考查了线面平行的证明，考查了棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力能力与推理论证能力． 18. （1）由等比中项的性质和等差数列的通项公式列出方程，联立方程求出d、a1，由等差数列的通项公式求出an，由等差数列的前n项和公式求出Sn； （2）由（1）和条件化简bn，由等差数列的性质列出方程求出k的值，代入求出bn和，利用裂项相消法求出Tn． 本题主要考查等差数列通项公式和前n项和的公式，等比中项的性质，数列求和的方法：裂项相消法，考查方程思想，化简、计算能力． 19. （1）利用倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理后，利用了三角函数图象和性质即可求得其值域； （2）由已知及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理可求2a=c，由已知利用余弦定理可求cosB的值，进而可求B，结合（1）利用特殊角的三角函数值即可计算得解． 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量数量积的运算，三角函数图象和性质，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题． 20. （Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由直线m的斜率求出直线l的斜率，根据点A和圆心坐标求出直线AC的斜率，得到直线AC的斜率与直线l的斜率相等，所以得到直线l过圆心； （Ⅱ）分两种情况：①当直线l与x轴垂直时，求出直线l的方程；②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，根据勾股定理求出CM的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l的距离d，让d等于CM，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可； （Ⅲ）根据CM⊥MN，得到•等于0，利用平面向量的加法法则化简等于•，也分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求得N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线l与x轴不垂直时，设出直线l的方程，与直线m的方程联立即可求出N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，也得到其值为常数．综上，得到与直线l的倾斜角无关．‎ ‎ 此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题． 21. （1）利用描点法作出散点图； （2）把数据代入公式，利用最小二乘法求回归方程的系数，可得回归直线方程； （3）把x=12代入回归方程得y值，即为预报变量． 本题考查了线性回归直线方程的求法及利用回归方程估计预报变量，解答此类问题的关键是利用公式求回归方程的系数，计算要细心． 22. （1）由题意，y=f（x）=loga（x-3a），-y=g（x-2a）；则g（x-2a）=-loga（x-3a），利用换元法求函数解析式； （2）先由f（x）与g（x）的定义域的交集为（3a，+∞）可知0＜a＜1，进而化简|f（x）-g（x）|≤1为a≤x2-4ax+3a2≤，从而求a． 本题考查了图象的变换及换元法求函数的解析式及函数的定义域的应用，属于基础题． ‎