高考文科数学复习：夯基提能作业本 (14)

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第一节　数列的概念及简单表示法 A组　基础题组 ‎1.数列1,‎2‎‎3‎,‎3‎‎5‎,‎4‎‎7‎,‎5‎‎9‎,…的一个通项公式是(　　)‎ A.an=n‎2n+1‎ B.an=‎n‎2n-1‎ C.an=n‎2n-3‎ D.an=‎n‎2n+3‎ ‎2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n,则a2+a18=(　　)‎ A.36 B.35 C.34 D.33‎ ‎3.数列{an}定义如下:a1=1,当n≥2时,an=‎1+an‎2‎,n为偶数,‎‎1‎an-1‎‎,n为奇数,‎若an=‎1‎‎4‎,则n的值为(　　)‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎4.数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N*,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=(　　)‎ A.‎61‎‎16‎ B.‎25‎‎9‎ C.‎25‎‎16‎ D.‎‎31‎‎15‎ ‎5.数列{an}中,an=n-‎‎2 011‎n-‎‎2 012‎,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是(　　)‎ A.a1,a50 B.a1,a44‎ C.a45,a44 D.a45,a50‎ ‎6.若数列{an}的前n项和Sn=‎2‎‎3‎an+‎1‎‎3‎,则{an}的通项公式是an=　　　　. ‎ ‎7.已知a1=2,an+1-an=2n+1(n∈N*),则an=　　　　. ‎ ‎8.(2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an‎2‎-(2an+1-1)an-2an+1=0.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ ‎9.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=‎1‎‎2‎an‎2‎+‎1‎‎2‎an(n∈N*).‎ ‎(1)求a1,a2,a3,a4的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ B组　提升题组 ‎10.在各项均为正数的数列{an}中,对任意的m,n∈N*,都有am+n=am·an.若a6=64,则a9=(　　)‎ A.256 B.510 C.512 D.1 024‎ ‎11.在数列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的个位数,则a2 015=(　　)‎ A.8 B.6 C.4 D.2‎ ‎12.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln‎1+‎‎1‎n,则an=(　　)‎ A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n ‎13.已知{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是　　　　. ‎ ‎14.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.‎ ‎(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.‎ ‎15.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.‎ ‎(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;‎ ‎(2)对任意的n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.B　数列可写成‎1‎‎2×1-1‎,‎2‎‎2×2-1‎,‎3‎‎2×3-1‎,…,故通项公式可写为an=n‎2n-1‎.故选B.‎ ‎2.C　当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3;当n=1时,a1=S1=-1,适合上式,所以an=2n-3(n∈N*),所以a2+a18=34.‎ ‎3.C　因为a1=1,所以a2=1+a1=2,a3=‎1‎a‎2‎=‎1‎‎2‎,a4=1+a2=3,a5=‎1‎a‎4‎=‎1‎‎3‎,a6=1+a3=‎3‎‎2‎,a7=‎1‎a‎6‎=‎2‎‎3‎,a8=1+a4=4,a9=‎1‎a‎8‎=‎1‎‎4‎,所以n=9,选C.‎ ‎4.A　解法一:令n=2,3,4,5,分别求出a2=4,a3=‎9‎‎4‎,a4=‎16‎‎9‎,a5=‎25‎‎16‎,∴a3+a5=‎61‎‎16‎.‎ 解法二:当n≥2时,a1·a2·a3·…·an=n2.当n≥3时,a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2.‎ 两式相除得an=nn-1‎‎2‎(n≥2,n∈N*),∴a3=‎9‎‎4‎,a5=‎25‎‎16‎,∴a3+a5=‎61‎‎16‎.‎ ‎5.C　an=n-‎‎2 011‎n-‎‎2 012‎=1+‎2 012‎‎-‎‎2 011‎n-‎‎2 012‎,‎ 当n∈[1,44],n∈N*时,{an}单调递减,当n∈[45,+∞),n∈N*时,{an}单调递减,结合函数f(x)=x-‎‎2 011‎x-‎‎2 012‎的图象可知,(an)max=a45,(an)min=a44.‎ ‎6.答案　(-2)n-1‎ 解析　由Sn=‎2‎‎3‎an+‎1‎‎3‎得,当n≥2时,Sn-1=‎2‎‎3‎an-1+‎1‎‎3‎,∴当n≥2时,an=-2an-1,即anan-1‎=-2,又n=1时,S1=a1=‎2‎‎3‎a1+‎1‎‎3‎,a1=1,‎ ‎∴an=(-2)n-1.‎ ‎7.答案　n2+1‎ 解析　由an+1-an=2n+1得an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-3,……,a3-a2=5,a2-a1=3,‎ 则n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2+3+5+7+…+(2n-3)+(2n-1)=2+‎(n-1)(2n+2)‎‎2‎=n2+1,又a1=2满足上式,∴an=n2+1.‎ ‎8.解析　(1)由题意得a2=‎1‎‎2‎,a3=‎1‎‎4‎.‎ ‎(2)由an‎2‎-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).‎ 因为{an}的各项都为正数,‎ 所以an+1‎an=‎1‎‎2‎.‎ 故{an}是首项为1,公比为‎1‎‎2‎的等比数列,因此an=‎1‎‎2‎n-1‎.‎ ‎9.解析　(1)由题意知 an‎>0,‎a‎1‎‎=‎1‎‎2‎a‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎a‎1‎,‎a‎1‎‎+a‎2‎=‎1‎‎2‎a‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎a‎2‎,‎a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎=‎1‎‎2‎a‎3‎‎2‎+‎1‎‎2‎a‎3‎,‎a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+a‎4‎=‎1‎‎2‎a‎4‎‎2‎+‎1‎‎2‎a‎4‎,‎ 解得a‎1‎‎=1,‎a‎2‎‎=2,‎a‎3‎‎=3,‎a‎4‎‎=4.‎ ‎(2)Sn=‎1‎‎2‎an‎2‎+‎1‎‎2‎an,①‎ 当n≥2时,Sn-1=‎1‎‎2‎an-1‎‎2‎+‎1‎‎2‎an-1,②‎ ‎①-②整理得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.‎ 由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1,‎ 又由(1)知a1=1,故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.‎ B组　提升题组 ‎10.C　由题意得a6=a3·a3=64,∵an>0,∴a3=8.∴a9=a6·a3=64×8=512.‎ ‎11.D　由题意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2 015=a335×6+5=a5=2.‎ ‎12.A　由已知,得an+1-an=lnn+1‎n,‎ ‎∴an-an-1=lnnn-1‎,an-1-an-2=lnn-1‎n-2‎,……,a2-a1=ln‎2‎‎1‎,‎ 将以上(n-1)个式子累加,得 an-a1=lnnn-1‎+lnn-1‎n-2‎+…+ln‎2‎‎1‎ ‎=lnnn-1‎‎·n-1‎n-2‎·…·‎‎2‎‎1‎=ln n(n≥2),‎ ‎∴an=2+ln n(n≥2).又a1=2满足上式,‎ ‎∴an=2+ln n.故选A.‎ ‎13.答案　(-3,+∞)‎ 解析　∵对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,‎ ‎∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ.‎ 又∵{an}是递增数列,∴an+1-an>0,且当n=1时,an+1-an最小,∴an+1-an≥a2-a1=3+λ>0,∴λ>-3.‎ ‎14.解析　(1)依题意得Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,‎ 即Sn+1=2Sn+3n,‎ 由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn,‎ 又b1=S1-3=a-3,‎ 因此,所求通项公式为bn=(a-3)2n-1,n∈N*.‎ ‎(2)由(1)可知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,‎ 于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)·2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,‎ an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2‎ ‎=2n-2‎12·‎3‎‎2‎n-2‎+a-3‎,‎ 所以,当n≥2时,‎ an+1≥an⇒12‎3‎‎2‎n-2‎+a-3≥0⇒a≥-9,‎ 又a2=a1+3>a1,a≠3.‎ 所以,所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).‎ ‎15.解析　(1)由n2-5n+4<0,解得1an知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4可看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-k‎2‎<‎3‎‎2‎,即k>-3.‎ 所以实数k的取值范围为(-3,+∞).‎