【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第七章第1讲 不等关系与不等式学案
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不等关系与不等式
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.
二元一次不等式(组)与
简单的线性规划问题
会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
基本不等式
≤(a≥0，b≥0)
了解基本不等式的证明过程．
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
简单不等式的解法
会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
第1讲 不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a
b，ab>0⇒<；
②a<0b>0，0；
④0b>0，m>0，则
①<；>(b－m>0)．
②>；<(b－m>0)．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(5)a>b>0，c>d>0⇒>.( )
(6)若ab>0，则a>b⇔<.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√
(教材习题改编)若a B.>
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析：选A.由a不成立．
(教材习题改编)设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B.<
C．a2>b2 D．a3>b3
解析：选D.A项，c≤0时，由a>b不能得到ac>bc，故不正确；
B项，当a>0，b<0(如a＝1，b＝－2)时，由a>b不能得到<，故不正确；
C项，由a2－b2＝(a＋b)(a－b)及a>b可知当a＋b<0时(如a＝－2，b＝－3或a＝2，b＝－3)均不能得到a2>b2，故不正确；
D项，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·，因为＋b2 >0，所以可由a>b知a3－b3>0，即a3>b3，故正确．
(教材习题改编)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为( )
A．A≥B B.A>B
C．A≤B D．A0，所以A>B.故选B.
(教材习题改编)下列四个结论，正确的是( )
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0⇒>；
④a>b>0⇒>.
A．①② B.②③
C．①④ D．①③
解析：选D.对于①，因为a>b，c－d，
所以a－c>b－d.
对于③，a>b>0，则>>0.
(教材习题改编)若0N
C．M＝N D．不确定
(2)若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a0，
即M－N>0.所以M>N.
(2)法一：易知a，b，c都是正数，
＝＝log8164<1.
所以a>b；
＝＝log6251 024>1.
所以b>c.即ce时，函数f(x)单调递减．
因为e<3<4<5，
所以f(3)>f(4)>f(5)，
即cB
解析：选B.由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2．若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
解析：＝＝
＝＝，
因为∈(0，1)，所以<1，
因为1816>0，1618>0，
所以1816<1618.即ab且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③ad，所以c－d>0.又a>b，所以两边同时乘以(c－d)，得a(c－d)>b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad.若ac＋bd>bc＋ad，则a(c－d)>b(c－d)，也可能ab且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．
(2)因为<<0，所以b0，所以a＋b0，b的符号不定，对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．
2．若a>0>b>－a，cbc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中，成立的个数是( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选C.因为a>0>b，c0，
所以ad0>b>－a，
所以a>－b>0，
因为c－d>0，
所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，
所以＋＝<0，故②正确．
因为c－d，
因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，
a－c>b－d，故③正确．
因为a>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，
故④正确，故选C.
不等式性质的应用[学生用书P106]
[典例引领]
已知－1b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
[学生用书P289(单独成册)]
1．已知a，b为非零实数，且aa2b
C.< D．<
解析：选C.若ab2，故A错；若0，故D错；若ab<0，即a<0，b>0，则a2b>ab2，故B错；故C正确．所以选C.
2．已知0 B.<
C．(lg a)2<(lg b)2 D．>
解析：选D.因为0；(lg a)2>(lg b)2；
因为lg a，综上可知D正确，
另解：取a＝，b＝，排除验证，知D正确，故选D.
3．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是 ( )
A．－n0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有( )
A．1个 B.2个
C．3个 D．4个
解析：选C.由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出<.由a>0>b得>，故能推出<成立的条件有3个．
5．下列四个命题中，正确命题的个数为( )
①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，则>.
A．3 B.2
C．1 D．0
解析：选C.易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a>b>0，则<，当c>0时，<，故④错误．所以正确的命题只有1个．
6．若a10，
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
7．设a>b，有下列不等式①>；②<；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，则一定成立的有________．(填正确的序号)
解析：对于①，>0，故①成立；
对于②，a>0，b<0时不成立；
对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；
对于④，|c|≥0，故④成立．
答案：①④
8．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是________．
解析：因为－<α<π，－<β<π，
所以－π<－β<，
所以－<α－β<.又因为α<β，
所以α－β<0，从而－<α－β<0.
答案：
9．设a>b>0，m>0.试比较与的大小．
解：因为－＝，a>b>0，m>0.
所以a(a＋m)>0，(b－a)m<0.
所以<0，即－<0，
所以<.
10．若a>b>0，c.
证明：因为c－d>0，
又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0.
所以(a－c)2>(b－d)2>0.
所以0<<.
又因为e<0，
所以>.
1．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2|a＋b|
解析：选D.由于<<0，不妨令a＝－1，b＝－2，可得a2b>0，c B.<
C.> D．<
解析：选B.法一：因为c－d>0，
所以>>0.
又a>b>0，所以>，
所以<.故选B.
法二：⇒<<0⇒
⇒>⇒<.
法三：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，排除选项C，D；
又＝－，＝－，所以<，所以选项A错误，选项B正确．故选B.
3．不等式a>b与>能同时成立的充要条件是( )
A．a>b>0 B.a>0>b
C.<<0 D．>>0
解析：选B.当a，b同为正数时，
因为a>b，两边同时除以ab，得>，与>矛盾．
当a，b同为负数时，同理，>，与>矛盾．
所以异号，即a>0>b.
4．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
解析：因为ab2>a>ab，
所以a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<11，
所以A>D.
所以同样＝(1－a)(1＋a2)＝1－a(1－a＋a2)<1，
所以B5时，y1y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；
当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；
当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．
