高中数学必修四导学案任意角

高中数学必修四导学案任意角

‎§‎1.1.1‎ 任意角 ‎ 学习目标 ‎1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐 标系讨论任意角.‎ ‎2.能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相 同的角，并判定其为第几象限角.‎ ‎3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P2~ P5，找出疑惑之处）‎ 体操跳水比赛中有“转体720º”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720º在这里表示什么？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？‎ 问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？‎ ‎（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？‎ 问题3：任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）‎ 问题4：能以同一条射线为始边作出下列角吗？‎ ‎210º -150º -660º 问题5：上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同.‎ 问题6：具有相同终边的角彼此之间有什么关系？‎ 你能写出与60º角的终边相同的角的集合吗？‎ ‎※ 典型例题 例1：在0º到360º的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：‎ ‎（1）650º （2）-150º （3）-990º15¹‎ 变式训练：（1）终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x轴上呢？‎ ‎（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？‎ 例2:若α与240º角的终边相同 ‎（1）写出终边与的终边关于直线y=x对称的角的集合.‎ ‎（2）判断是第几象限角.‎ 变式训练：若是第三象限角，则-，，2分别是第几象限角.‎ 例3：如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）.‎ 变式训练：‎ ‎（1）第一象限角的范围____________.‎ ‎（2）第二、四象限角的范围是 ______________.‎ ‎※ 动手试试 ‎1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，‎ C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）‎ ‎ A．B=A∩C B．B∪C=C ‎ C．AC D．A=B=C ‎2.下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A.三角形的内角必是一、二象限内的角 ‎ ‎ B．第一象限的角必是锐角 ‎ C．不相等的角终边一定不同 ‎ D． =‎ ‎ ‎ ‎3.若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合 ‎ ‎ 为______________________．‎ ‎4.在0°到360°范围内，终边与角－60°的终边在同 ‎ 一条直线上的角为 ．‎ 三、小结反思 本节内容延伸的流程图为：‎ ‎0º—360º的角 任意角：正角，负角和零角 象限角 终边相同的角的表示 ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、下列说法中，正确的是（ ）‎ ‎ A．第一象限的角是锐角 ‎ B．锐角是第一象限的角 ‎ C．小于90°的角是锐角 ‎ D．0°到90°的角是第一象限的角 ‎2、（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的 ‎ 终边一定相同；（3）终边相同的角有无限多个；（4）终边相同的角有有限多个.‎ 上面4个命题，其中真命题的个数是 （ ）‎ A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 ‎3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（ ）‎ A．｛α∣90°<α<180°｝‎ B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝‎ C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝‎ D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝‎ ‎4、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．‎ ‎5、若角的终边为第一、三象限的角平分线，则角集合是 .‎ ‎ 课后作业 ‎6、将下列落在图示部分的角（阴影部分），用集合表示出来（包括边界）.‎ ‎7、角,的终边关于对称,且 ‎=-60°，求角.‎ ‎§‎1.1.2‎ 弧度制 ‎ 学习目标 ‎1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制 的换算，熟记特殊角的弧度数.‎ ‎2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对 应关系.‎ ‎3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）‎ 在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1：什么叫角度制？‎ 问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？‎ 问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？‎ 问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？‎ 问题5：角的集合与实数集R之间建立了________‎ 对应关系。‎ 问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.‎ 问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导 过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。‎ ‎※ 典型例题 例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）‎ ‎（1） （2）3.5 ‎ ‎（3）252º （4）11º15¹‎ 变式训练：①填表 角度制 ‎0º ‎45º ‎60º ‎90º ‎150º ‎180º ‎315º 弧度制 ‎②若，则为第几象限角？‎ ‎③用弧度制表示终边在y轴上的角的集合 ‎___ ____.‎ 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合 ‎__ _____.‎ 例2: ①已知扇形半径为‎10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积 ‎②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积 变式训练（1）：一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.‎ 变式训练 (2)：A=,‎ B=则A、B之间的关系为 .‎ ‎※ 动手试试 ‎1、将下列弧度转化为角度：‎ ‎（1）= °；（2）－= ° ′；‎ ‎（3）= °；‎ ‎2、将下列角度转化为弧度：‎ ‎（1）36°= rad； （2）－105°= rad；‎ ‎（3）37°30′= rad；‎ ‎3、已知集合M =｛x∣x = , ∈Z｝，N =｛x∣x = , k∈Z｝，则 （ ）‎ ‎ A．集合M是集合N的真子集 ‎ ‎ B．集合N是集合M的真子集 ‎ C．M = N ‎ ‎ D．集合M与集合N之间没有包含关系 ‎4、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )‎ ‎ A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 ‎ C．扇形的面积增大到原来的2倍 ‎ ‎ D．扇形的圆心角增大到原来的2倍 三、小结反思 角度制与弧度制是度量角的两种制度。在进行角度与弧度的换算时关键要 抓住180º= rad这一关系式，熟练掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、把表示成的形式，使最小的为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、角α的终边落在区间（－3π,－π）内,则角α所在象限是 （ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎3、已知扇形的周长是，面积为，则扇形弧度数是（ ）‎ ‎ A、1 B、4 C、1或4 D、2或4‎ ‎4、将下列各角的弧度数化为角度数：‎ ‎（1） 度；（2）______度；‎ ‎（3）1．4 = 度； （4） 度.‎ ‎5、若圆的半径是，则的圆心角所对的弧长是 ；所对扇形的面积是__ .‎ ‎ 课后作业 ‎6、已知集合A=,‎ B=，求.‎ ‎7、已知一个扇形周长为，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？‎ ‎8、如图，已知一长为，宽为的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角，问点A走过的路程及走过的弧度所在扇形的总面积？‎ ‎§‎1.2.1‎ 任意角三角函数（1）‎ ‎ 学习目标 ‎1.掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.‎ ‎2.掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函 数的值在各象限的符号.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P11~ P15，找出疑惑之处）‎ 在初中，我们利用直角三角形来定义锐角三角函 数，你能说出锐角三角函数的定义吗？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐 标来表示锐角三角函数吗？‎ 问题2：改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗？为什么？‎ 问题3：怎样将锐角三角函数推广到任意角？‎ 问题4：锐角三角函数的大小仅与角A的大小有关，‎ 与直角三角形的大小无关，任意角的三角函数大小 有无类似性质？‎ 问题5：随着角的确定，三个比值是否唯一确 定？依据函数定义，可以构成一个函数吗？‎ 问题6：对于任意角的三角函数思考下列问题：‎ ‎①定义域；②函数值的符号规律 ‎③三个函数在坐标轴上的取值情况怎样？‎ ‎④终边相同的角相差的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系？‎ ‎※ 典型例题 例1：已知角的终边经过点P（2，-3），‎ 求 变式训练⑴：已知角的终边经过点P（‎2a，‎-3a） (a0),求的值.‎ 变式训练⑵：角的终边经过点P（-x，-6）且，求x的值.‎ 例2:确定下列三角函数值的符号 ‎（1）cos (2)sin(-465º) (3)tan 变式训练⑴：若cos>0且tan<0，试问角为第几象限角 变式训练⑵：使sincos<0成立的角的集合为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎※ 动手试试 ‎1、函数的定义域是（ ）‎ A．，‎ B．，‎ C．， ‎ D． ，‎ ‎2、若θ是第三象限角，且，则是（ ）‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎3、已知点P（）在第三象限，则角在 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4、已知sintan≥0，则的取值集合为 ．‎ 三、小结反思 三角函数的定义及性质，特殊角的三角函数值，三角函数的符号问题. 各象限的三角函数的符号规律可概括为：“一正二正弦，三切四余弦”.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、若角α终边上有一点，则的值为 （ ）‎ A、 B、－ ‎ C、± D、以上都不对 ‎2、下列各式中不成立的一个是 （ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎3、已知α终边经过，则 .‎ ‎4、若α是第二象限角，则点是第 几 象限的点.‎ ‎5、已知角θ的终边在直线y = x 上，‎ 则sinθ= ；= ．‎ ‎ 课后作业 ‎6、设角x的终边不在坐标轴上，求函数的值域.‎ ‎7、(1) 已知角的终边经过点P(4,－3)，求2sin+cos的值；‎ ‎（2）已知角的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求2sin+cos的值；‎ ‎（3）已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零），求2sin+cos的值．‎ ‎§‎1.2.1‎ 任意角三角函数（2）‎ ‎ 学习目标 ‎1.利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、‎ 余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线 表示出来，并能作出三角函数线。‎ ‎2.培养分析、探究问题的能力。促进对数形结合思 想的理解和感悟。‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P15~ P17，找出疑惑之处）‎ 我们已学过任意角的三角函数，给出了任意角的正 弦，余弦，正切的定义。想一想能不能用几何元素表示三角函数值？（例如，能不能用线段表示三角函数值？）‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1： 在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看成是线段的比呢？‎ 问题2：在三角函数定义中，是否可以在角的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简单？‎ 问题3．有向线段，有向线段的数量，有向线段长度的概念如何。‎ 问题4．如何作正弦线、余弦线、正切线。‎ ‎※ 典型例题 例1：作出下列各角的三角函数线 ‎（1） （2）‎ 例2:比较下列各组数的大小 ‎(1)sin1和sin (2)cos和cos ‎(3)tan和tan (4)sin和tan 变式训练①：若是锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较之间的大小关系。‎ 变式训练②：根据单位圆中的正弦线，你能发现正弦函数值有怎样的变化规律。‎ 例3：利用单位圆分别写出符合下列条件的角的集合 ‎（1）， （2） ，‎ ‎(3) 。‎ 变式训练①：已知角的正弦线和余弦线分别是方向一正一反,长度相等的有向线段,则的终边在 （ ）‎ A 第一象限角平分线上 B第二象限角平分线上 C 第三象限角平分线上 D第四象限角平分线上 变式训练②：当角,满足什么条件时有 ‎.‎ 变式训练③：sin>cos,则的取值范围是 ‎_________。‎ 变式训练④：已知集合E={|coscosθ>tanθ B．cosθ>tanθ>sinθ C． tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ ‎2、角（0<<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么的值为（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎3、若0<<2π，且sin< , cos> .利用三角函数线，得到的取值范围是（ ）‎ A．（－，） B．（0，） ‎ C．（，2π） D．（0，）∪（，2π）‎ ‎4、依据三角函数线，作出如下四个判断：‎ ‎①sin =sin；②cos（－）=cos；‎ ‎③tan>tan ；④sin >sin ．‎ 其中判断正确的有 （ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、小结反思 ‎①正弦线、余弦线、正切线，它们分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示,三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，注意它们的方向。‎ ‎② 利用数形结合来比较三角函数值的大小关键应注意正负。‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、若角的正弦与余弦线的长度相等且符号相同，那么角α的值为（ ）‎ A. B. C.或 D.以上都不对 ‎2、用三角函数线判断1与的大小关系是（ ）‎ A、>1 B、≥1‎ C、=1 D、<1‎ ‎3、利用单位圆写出符合下列条件的角x的集合。‎ ‎⑴ ；‎ ‎⑵ ；‎ ‎⑶ 。‎ ‎4、已知角α的终边是OP，角β的终边是OQ，‎ 试在图中作出α，β的三角函数线，然后用不等号填空：‎ ‎⑴ ； ‎ ‎⑵ ；‎ ‎⑶ 。‎ ‎5、若－≤θ≤，利用三角函数线，可得sinθ的取值范围是 ．‎ ‎ 课后作业 ‎6、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：‎ ‎⑴； ⑵； ⑶。‎ ‎7、已知α是第三象限角，问点在第几象限？请说明理由。‎ ‎§‎1.2.2‎ 同角三角函数关系 ‎ 学习目标 ‎1.掌握同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,=tan；‎ ‎2.会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P18~ P20，找出疑惑之处）‎ 初中阶段学习了锐角三角函数的定义后，老师介绍了同角三角函数间关系，你还记得吗？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1：同角三角函数间的关系公式能由锐角范围推广到任意角吗？你能证明吗？‎ 问题2：你能用不同的方法证明这两条公式吗？‎ 问题3：如何进行公式sin2α+cos2α=1, ‎ tan=的推导及其变形。‎ ‎※ 典型例题 ‎1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，求出其余两个值（知一求二）。‎ 例1：已知，且是第二象限角，求 变式训练：已知，求 的值.‎ ‎2.化简三角函数式 例2: 化简 ‎（1），其中是第二象限角 ‎（2）+ ，其中是第四象限角 ‎（3）‎ ‎3.证明简单的三角恒等式 例3：求证：‎ ‎※ 动手试试 ‎1、已知求的值。‎ ‎2、已知，，求的值.‎ ‎3、化简：‎ ‎4、证明 三、小结反思 ‎1、在三角求值时，应注意：①角所在象限；②一般涉及到开方运算时要分类讨论。‎ 在化简时应注意化简结果：①涉及的三角函数名称较少；②表达形式较简单。‎ ‎2、证明恒等式时常用以下方法：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边等于同一个式子；③分析法，寻找等式成立的条件。证明的指向一般是“由繁到简”。‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、已知，则α所在的象限是（ ）‎ A、第一象限 B、第二象限 ‎ C、第一、三象限 D、第二、四象限 ‎2、的值为 （ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、||‎ ‎3、若是方程的两根，则的值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎4、⑴已知，则 ‎ 。‎ ‎⑵ 。‎ ‎5、已知α是第三象限角，化简 。‎ ‎ 课后作业 ‎6、化简：‎ ‎7、证明下列恒等式：‎ ‎⑴；‎ ‎⑵。‎ ‎§‎1.3.1‎ 诱导公式（1）‎ ‎ 学习目标 ‎1.借助单位圆，推导出正弦，余弦的诱导公式.‎ ‎2.正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值，化简和恒等式证明问题.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P23~ P27，找出疑惑之处）‎ 如何求sin750º，cos1080º，tan780º，sin，cos的值 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1：如何把任一角的三角函数的求值问题转化为0º—360º间三角函数的求值问题？‎ 问题2：已知任意角的终边与单位圆相交于P（x，y），求P关于x轴，y轴，原点对称的三个点的坐标.‎ 问题3：如果角的终边与角的终边关于原点对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？‎ 问题4：如果角的终边与角的终边关于x轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？‎ 问题5：如果角的终边与角的终边关于y轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？‎ 问题6：你能概括上述诱导公式吗？‎ ‎※ 典型例题 例1：求值（1）; （2）;‎ ‎（3）tan(-1560º)‎ 变式训练：求值（1）;‎ ‎（2）; （3）‎ 例2：已知,求的值.‎ 变式训练：已知,求的值。‎ ‎※ 动手试试 ‎1、对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（　）‎ A．一定是锐角 　　　B．0≤＜2π C．一定是正角 D．是使公式有意义的任意角 ‎2、若则 的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3、已知，‎ 则= ．‎ ‎4、求cos（－2640°）+sin1665°的值．‎ 三、小结反思 将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的算法流程为:‎ 任意角 ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、的值是 （ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎2、已知= （ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎3、等于（ ） （ ）‎ A．sin2－cos2 B．cos2－sin2 ‎ C．±（sin2－cos2） D．sin2+cos2‎ ‎4、若，则 ‎＝ ____ ____．‎ ‎5、化简：＝‎ ‎______ ___．‎ ‎ 课后作业 ‎6、已知，求 的值.‎ ‎7、已知，为第三象限角，求的值．‎ ‎8、化简：.‎ ‎§‎1.3.2‎ 诱导公式（2）‎ ‎ 学习目标 ‎1.掌握诱导公式一到六，掌握这三种形式的角的三角函数与角三角函数间的关系.‎ ‎2.利用诱导公式求三角函数值、化简、证明恒等式.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P23~ P27，找出疑惑之处）‎ 若角的终边与角的终边关于直线y=x对称 ‎⑴角的正弦与角的余弦函数值之间有何关系？‎ ‎⑵角的终边与角的终边是否关于直线y=x对称？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1：对角与角的研究，你能得出什么结论？‎ 问题2：利用上述公式五与公式二，推导 ‎ 问题3：利用前面学过的公式，推导 ‎ 问题4：你能概括上述诱导公式五、六吗？‎ ‎※ 典型例题 例1：化简 例2:已知，且，求 变式训练：已知，且，‎ 求的值.‎ 例3：设 （）,求 ‎※ 动手试试 ‎1、已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（ ）‎ A. B. — C. D. —‎ ‎2、如果则的取值范围是（）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎3、设角 的值等于 （ ）‎ A． B．－ C． D．－‎ ‎4、若那么的值为（）‎ A．0 B．1 C．－1 D．‎ 三、小结反思 ‎① 应用诱导公式求三角函数值时的一般步骤为：‎ 负角化正角→大角化小角→查表求值 ‎② 对的诱导公式，简记为“函数名互余，符号看象限”.‎ ‎③应用诱导公式时必须注意符号.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、满足条件的函数为（ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎2、= .‎ ‎3、将下列三角函数转化为锐角三角函数，填在题中横线上：‎ ‎ __ ； ； ； .‎ ‎4、若cos α＝，α是第四象限角，求 的值．‎ ‎5、已知、是关于的方程的两实根，且 求的值.（注：=1/）‎ ‎ 课后作业 ‎6、记，（、、、均为非零实数），若，求的值．‎ ‎7、化简：‎ ‎8、已知，且α是第三象限角.‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵已知α是第四象限角，化简：.‎ ‎§‎1.4.1‎正弦函数、余弦函数的 图象 ‎ 学习目标 ‎1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.‎ ‎2.能熟练运用“五点法”作图.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P30~ P33，找出疑惑之处）‎ 遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，一般采用什么方法画图象？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线.‎ 问题2. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示），把单位圆中12个角的正弦线进行右移.‎ 问题 3. 通过刚才描点（x0,sinx0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，你能得到什么？‎ 问题4. 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？‎ 问题5. 如何作y=sinx,x∈R的图象？‎ 问题6. 用以前学过的诱导公式 cosx=________（用正弦式表示），那么y=cosx的图象怎样作？‎ ‎※ 典型例题 例1：用“五点法”画下列函数的简图 ‎(1) y=2cosx x∈R (2) y=sin2x x∈R 变式训练：（1）函数y=2cosx与y=cosx的图象之间有何联系？能推广y=Acosx(A>0)与y=cosx图象间关系吗？‎ ‎（2）函数y=sin2x与y=sinx的图象之间有何联系？‎ 你能推广y=sinωx(ω>0)与y=sinx图象间关系吗?‎ 例2： 用“五点法”画y=sin() 的简图 ‎※ 动手试试 ‎1、函数 (a0)的定义域为（ ）‎ A．R B. C. D.[-3,3]‎ ‎2、在[0,2]上,满足的x取值范围是( ).‎ A. B C. D.‎ ‎3、 用五点法作的图象.‎ ‎4　结合图象，判断方程的实数解的个数.‎ 三、小结反思 在区间上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.函数的图象可通过描述、平移、伸缩、对称等手段得到.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、观察正弦函数的图象，以下4个命题：‎ ‎（1）关于原点对称 （2）关于x轴对称 ‎（3）关于y轴对称 （4）有无数条对称轴 其中正确的是 （ ）‎ A、（1）、（2） B、（1）、（3） ‎ C、（1）、（4） D、（2）、（3）‎ ‎2、对于下列判断：‎ ‎（1）正弦函数曲线与函数的图象是同一曲线；‎ ‎（2）向左、右平移个单位后，图象都不变的函数一定是正弦函数；‎ ‎（3）直线是正弦函数图象的一条对称轴；‎ ‎（4）点是余弦函数的一个对称中心.‎ 其中不正确的是 （ ）‎ A、（1） B、（2） C、（3） D、（4）‎ ‎3、（1）的图象与的图象关于 ________对称；‎ ‎（2）的图象与的图象关于 ________对称.‎ ‎4、（1）把余弦曲线向______平移______个单位就可以得到正弦曲线；‎ ‎（2）把正弦曲线向______平移______个单位就可以得到余弦曲线.‎ ‎5、由函数如何得到的图象？‎ ‎ 课后作业 ‎6、画出的简图，并说明它与余弦曲线的区别与联系.‎ ‎7、画出的简图，并说明它与正弦曲线的区别与联系.‎ ‎8.结合图象，判断方程的实数解的个数.‎ ‎§‎1.4.2‎ 正弦函数、余弦函数的 周期性 ‎ 学习目标 ‎1.了解周期函数及最小正周期的概念.‎ ‎2.会求一些简单三角函数的周期.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P34~ P36，找出疑惑之处）‎ 自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念——函数周期性.‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1：观察下列图表 x ‎-‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎0‎ sinx ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ 从中发现什么规律？是否具有周期性？‎ 问题1：.如何给周期函数下定义？‎ 问题2：判断下列问题：‎ ‎（1）对于函数y=sinx x∈R 有成立，能说是正弦函数y=sinx的周期？‎ ‎（2）是周期函数吗？为什么？‎ ‎（3）若T为的周期，则对于非零整数也是 的周期吗？‎ 问题3：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？‎ 问题4：最小正周期的含义；求 的最小正周期？‎ ‎※ 典型例题 例1: 求下列函数的周期：‎ ‎（1）； （2）‎ 变式训练:1. ⑴求 ‎ ‎⑵的周期 ‎2.已知，其中，当自变量x在任何两个整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k的值.‎ 例2：证明函数不是周期函数.‎ ‎※ 动手试试 ‎1、求下列函数的周期：‎ ‎(1)正弦函数的周期是_________.‎ ‎(2)正弦函数的周期是________.‎ ‎(3)余弦函数的周期是__________.‎ ‎(4)余弦函数的周期是______.‎ ‎(5)函数的周期是________.‎ ‎2.函数的周期是,则=____________.‎ ‎3.若函数是以为周期的函数，且,则__________.‎ ‎4.函数是不是周期函数？若是，则它的周期是多少？‎ 三、小结反思 对周期函数概念的理解注意以下几个方面：‎ ‎（1）是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值，仍在定义域内且使等式成立.‎ ‎（2）周期是常数，且使函数值重复出现的自变量的增加值.‎ ‎（3）周期函数并不仅仅局限于三角函数，一般的周期是指它的最小正周期.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、设，则函数的最小正周期为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、函数的周期不大于2，则正整数的最小值是（ ）‎ A、13 B、12 C、11 D、10‎ ‎3、求下列函数的最小正周期：‎ ‎（1） .‎ ‎（2） .‎ ‎4、已知函数的最小正周期为，则 .‎ ‎5、求函数的周期：‎ ‎（1）周期为： .‎ ‎（2）周期为： .‎ ‎（3）周期为： .‎ ‎（4）周期为： .‎ ‎ 课后作业 ‎6、是周期函数吗？如果是,则周期是多少？‎ ‎7、函数（c为常数）是周期函数吗？如果是，则周期是多少？‎ ‎8、已知函数 ‎（1）求最小正整数，使函数周期不大于2；‎ ‎（2）当取上述最小正整数时，求函数取得最大值时相应的值.‎ ‎§‎1.4.3‎ 正、余弦函数的值域、‎ 奇偶性、单调性 ‎ 学习目标 ‎1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用.‎ ‎2.熟记正、余弦函数的单调区间,并利用单调性解题.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P37~ P40，找出疑惑之处）‎ 在已学过的内容中，我们要研究一个函数，往往从哪些方面入手？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1. 在同一直角坐标系中作y=sinx,y=cosx (x∈R)的图象，观察它们的图象，你能得到一些什么性质？分别列出y=sinx, y=cosx x∈R的图象与性质 问题2.观察y=sinx, y=cosx x∈R图象，探求y=sinx, y=cosx的对称中心 及对称轴.‎ ‎※ 典型例题 例1:求下列函数的最大值及取得最大值时x的集合 ‎(1) (2)‎ 变式训练：（1）若呢？‎ 变式训练：（2）若呢？‎ 例2:判断下列函数奇偶性 ‎（1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=x-sinx 变式训练：3、判断下列函数的奇偶性：‎ ‎⑴： ；‎ ‎⑵：‎ ‎⑶： .‎ 例3 .求的单调增区间 变式训练：（1）求的单调增区间 ‎（2）求的单调增区间 ‎（3）求的单调增区间 例4.求下列函数的值域 ‎（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎（3）‎ ‎（4） ‎ ‎（5）‎ 变式训练：已知的定义域为[0，]，函数的最大值为1，最小值为-5，求a,b的值.‎ ‎※ 动手试试 ‎1、函数,时自变量x的集合 是___________.‎ ‎2、将,,,‎ ‎,从小到大排列起来为：__________.‎ ‎3、函数的奇偶数性为（　　　）.‎ A.　奇函数　　　　　B.　偶函数 C．既奇又偶函数　　 D.　非奇非偶函数 ‎4、函数，其单调性是（ ）.‎ A.　在上是增函数，在上是减函数 B. 在上是增函数，在 上分别是减函数 C.　在上是增函数，在上是减函数 D. 在上分别是增函数，在上是减函数 三、小结反思 ‎⑴正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.‎ ‎⑵结合图象解题是数学中常用的方法.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、设，则三角函数的定义域是 ‎（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎2、在上是增函数，又是奇函数的是（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎3、已知函数，其定义域是 .‎ ‎4、已知函数，则其单调增区间是 ；单调减区间是 。‎ ‎5、若的最小值为-6，求a的值.‎ ‎ 课后作业 ‎6、 求下列函数的单调增区间：‎ ‎（1）; （2）‎ ‎7、已知〉，试比较与的大小 ‎8、求函数的周期、单调区间和最值.‎ ‎§‎1.4.3‎ 正切函数的图象与性质 ‎ 学习目标 ‎1.熟练运用正、余弦函数的图象与性质解题.‎ ‎2.能借助正切函数的图象探求其性质.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P42~ P45，找出疑惑之处）‎ ‎1. 结合正、余弦函数的图象，求下列函数的定义域：‎ ‎（1） （2） ‎ ‎（3）‎ ‎2. 结合正、余弦函数的图象，求下列函数的值域 ‎（1） ‎ ‎（2） 为锐角 ‎3.判断下列函数奇偶性 ‎（1） （2） （3）‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1. 回忆图象的由来，你能通过单位圆的正切线作,的图象吗？‎ 问题2. 观察的图象，类比 的性质，你能得到的一些怎样性质？ ‎ 问题3. 正切函数在定义域内是增函数吗？‎ 问题4. 正切函数的对称轴，对称中心是什么？‎ ‎※ 典型例题 例1：求的定义域及周期 ‎ ‎ 变式训练：（1）求的定义域 ‎(2)、函数的周期为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 例2、根据正切函数图象，写出满足下列条件的x的范围： ① ② ‎ ‎③ ④‎ 变式训练：1、求函数的定义域与值域，并作图象.‎ 例3、求函数的单调区间。‎ ‎※ 动手试试 ‎1、在定义域上的单调性为（ ）.‎ A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数 C．在每一个开区间上为增函数 D．在每一个开区间上为增函数 ‎2、下列各式正确的是（ ）.‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．大小关系不确定 ‎3、函数的定义域为（ ）.‎ A．‎ B．‎ D．且 ‎4、直线(a为常数)与正切曲线为常数，且相交的两相邻点间的距离为（ ）.‎ A． B． C． D．与a值有关 三、小结反思 ‎（1）作正切曲线简图的方法：“三点两线”法，即 和直线及，然后根据周期性左右两边扩展.‎ ‎（2）正切函数的定义域是，所以它的递增区间为 ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、函数的最小正周期是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、函数的定义域是（ ）‎ A、{且}‎ B、{且}‎ C、{且}‎ D、{且}‎ ‎3、下列函数不等式中正确的是（ ）.‎ A． B．‎ C． ‎ D．‎ ‎4、在下列函数中，同时满足：①在上递增；②以为周期；③是奇函数的是（ ）.‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5、函数的大小关系是（用不等号连接）：‎ ‎.‎ ‎ 课后作业 ‎6、画出的图象，并指出定义域、值域、最小正周期、单调区间.‎ ‎7、确定函数的奇偶性和单调区间.‎ ‎8、若,试比较 的大小.‎ ‎§‎1.5.1‎ 函数的 图象与性质（1）‎ ‎ 学习目标 ‎1.了解的实际意义，会用五点法画出函数的简图.‎ ‎2.会对函数进行振幅变换，周期变换，相位变换，领会“由简单到复杂，从特殊到一般”的化归思想.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P49~ P56，找出疑惑之处）‎ 物体作简谐运动时，位移s与时间t的关系为你能说出简谐运动的振幅,周期,频率,相位,初相是什么吗?它的图象与有何关系?‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1. 在同一坐标系中,画出,‎ ‎,的简图.‎ 问题2. 与的图象有什么关系?‎ 结论：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点向左(当)或向右(当)平移个单位长度而得到的.‎ 问题3.与的图象有什么关系?‎ 结论： 一般地,函数的图象可以看做将函数 的图象上所有的点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变) 而得到的.‎ 问题4. 与的图象有什么关系?‎ 结论： 一般地,函数的图象可以看做将函数 的图象上所有的点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变) 而得到的.‎ ‎※ 典型例题 例1：求函数的振幅,周期,频率,相位,‎ 初相,用五点法作出该函数的图象 例2: 叙述到的变化过程.‎ 例3: 叙述到的变化过程.‎ 变式训练: ①向_______平移_______个单位得到 ‎②向_______平移_______个单位得到 ‎③向右平移个单位得到,求 ‎※ 动手试试 ‎1.若将某正弦函数的图象向右平移以后，所得到的图象的函数式是,则原来的函数表达式为（　　）.‎ A. 　　B. ‎ C. D. ‎ ‎2.已知函数在同一周期内，当时,y最大＝2，当x＝y最小＝-2，那么函数的解析式为（　　　）.‎ A. 　 B. ‎ C. D. ‎ ‎3. 已知函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，那么已知函数的解析式为（　　）.‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.函数的图象，可由函数的图象经过下述__变换而得到（ ）.‎ A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍 B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍 C. 向右平移个单位，横坐标扩大到原来的 ‎2倍，纵坐标缩小到原来的 D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的 ‎，纵坐标缩小到原来的 三、小结反思 ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，而横坐标不变，可得的图象，则 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2、将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到新的函数图象，那么新函数的解析式为 （ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎3.把y=sinx的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是（ ）.‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎4.已知函数，在一个周期内，当时，取得最大值2，当时取得最小值-2，那么（　　）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5.将函数的图象向右平移个单位，所得到的函数图象的解析式是___________；将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象的解析是________________.‎ ‎6、将函数的图象上所以点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，那么新图象对应的函数值域是 ，周期是 .‎ ‎7、函数的定义域是 ，值域是 ，周期 ，振幅 ，‎ 频率 ，初相 .‎ ‎ 课后作业 ‎8、用“五点法”列表作出下列函数的图象：‎ ‎（1）； （2）‎ 分析它们与的关系.‎ ‎9.函数的图象可由的图象经过怎样的变化而得到？‎ ‎§‎1.5.2‎ 函数的 图象与性质（2）‎ ‎ 学习目标 ‎1.熟练掌握由到的图象的变换过程.‎ ‎2.根据三角函数的图象给出的条件求函数解析式.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P49~ P56，找出疑惑之处）‎ 函数的图象可以由经过变换得到吗？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 用五点法作,的图象。‎ 问题1.它们两个图象的关系是什么?‎ 问题2：函数的图象和的图象有怎样的关系。‎ ‎※ 典型例题 例1：用三种方法作函数的图象 变式训练（1）将函数的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向左平移个单位得到的图象，则.‎ 变式训练（2）把函数的图象向_____平移_______个单位可得到的图象 例2:已知函数 图象的一个最高点（2，3）与这个最高点相邻的最低点为（8，-3），求该函数的解析式.‎ 变式训练：若函数 的最小值为-2，周期为，且它的图象过点（0，），求此函数的表达式。‎ ‎※ 动手试试 ‎1.函数的图象可看作是函数的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（　　）.‎ A.向右平移个单位　　B.向左平移个单位 C.向右平移个单位　　D.向左平移个单位 ‎2.函数的图象的对称轴方程为____________________.‎ ‎3.已知函数（A>0，>0，0<）的两个邻近的最值点为（）和（），则这个函数的解析式为_________.‎ ‎4.函数的图象关于y轴对称，则Q的最小值为________________.‎ 三、小结反思 ‎ 到的变换流程图:‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、把函数的图象向下平移1个单位，再把所得图象上点的纵坐标扩大到原来的3倍，然后再把所得图象上点的横坐标扩大到原来的3倍，最后再把所得的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数是 （ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2、要得到的图象，只需将函数的图象 （ ）‎ A、向左平移 B、向右平移 C、向左平移 D、向右平移 ‎3、函数表示一个振动量，其中振幅是，频率是，初相是，则这个函数为 。‎ 初相 。‎ ‎4、已知函数的图象最高点为,由此最高点到相邻最低点的，图象与x轴的交点为.求此函数的一个表达式.‎ ‎ 课后作业 ‎5、设函数在同一周期内，当时，y有最大值为；当，y有最小值。求此函数解析式.‎ ‎6、函数的最小值为-2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差是,又图象过点（0，1），求这个函数的解析式.‎ ‎7、已知函数为常数，的一段图象如图所示，求该函数的解析式 ‎§‎1.6.1‎ 三角函数的应用（1）‎ ‎ 学习目标 ‎1、会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。‎ ‎2、熟悉数学建模的方法与步骤.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P60~ P65，找出疑惑之处）‎ 三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1一半径为‎3cm的水轮如图所示，水轮圆心o距离水面‎2m，设角是以ox为始边，op0为终边的角，求。‎ 问题2. 已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中P0）开始计算时间，将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数。‎ 问题3. 点P第一次到达最高点大约要多长时间？‎ ‎※ 典型例题 例1：在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为‎3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处开始记时。‎ ‎⑴求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系。‎ ‎⑵求该物体在t=5s时的位置。‎ 例2. 某城市一年中12个月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述。已知6月份的月平均气温最高，为‎29.45℃‎，12月份的月平均气温最低，为‎18.3℃‎。求出这个三角函数的表达式，并画出该函数的图象。‎ ‎※ 动手试试 ‎1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.‎ ‎2、是以____________为周期的波浪型曲线.‎ ‎3、设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至 ‎24时记录的时间t与水深y的关系.‎ t ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y ‎12‎ ‎15.1‎ ‎12.1‎ ‎9.1‎ ‎11.9‎ ‎14.9‎ ‎11.9‎ ‎8.9‎ ‎12.1‎ 经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.‎ 根据上述数据，函数的解析式为（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ 三、小结反思 ‎1、利用三角函数建立数学模型一定要熟悉的性质。‎ 实际问题 实际问题 问题 数学问题 实际问题 问题 ‎2、‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间单位：时）的函数，记作,下面是该港口在某季节每天水深的数据：‎ 经长期观察，曲线可以近似地看做函数的图象。‎ ‎⑴根据以上数据，求出函数近似表达式。‎ ‎⑵一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为‎5m或‎5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（航底离水面的距离）为‎6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？‎ ‎ 课后作业 ‎2、如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数的图象。⑴求这段时间的最大温差；‎ ‎⑵写出这段曲线的函数解析式。‎ t(时)‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y(米)‎ ‎10.0‎ ‎13.0‎ ‎9.9‎ ‎7.0‎ ‎10.0‎ ‎13.0‎ ‎10.1‎ ‎7.0‎ ‎10.0‎ ‎3、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.‎ ‎§‎1.6.2‎ 三角函数的应用（2）‎ ‎ 学习目标 ‎1、能准确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，来解决实际问题.‎ ‎2、体会生活即数学的意义.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P60~ P65，找出疑惑之处）‎ 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航区，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋.常用三角函数去模拟相关函数.‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1. 观察下表的数据，作出散点图，观察图形，你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？‎ 给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深：‎ 时刻 水深（m）‎ 时刻 水深（m）‎ 时刻 水深(m)‎ ‎0:00‎ ‎5.0‎ ‎9:00‎ ‎2.5‎ ‎18:00‎ ‎5.0‎ ‎3:00‎ ‎7.5‎ ‎12:00‎ ‎5.0‎ ‎21:00‎ ‎2.5‎ ‎6:00‎ ‎5.0‎ ‎15:00‎ ‎7.5‎ ‎24:00‎ ‎5.0‎ 问题2. 根据所得的函数模型，求出整点时的水深。‎ 问题3一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为‎4m，安全条例规定至少要有‎1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口待多久？‎ 问题4若船的吃水深度为‎4m，安全间隙为‎1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0‎.3m的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？‎ ‎※ 典型例题 例1：某港口相邻两次高潮发生时间间隔12h20min，低潮时入口处水的深度为‎2.8m，高潮时为‎8.4m，一次高潮发生在‎10月3日2:00。‎ ‎（1）若从‎10月3日0:00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这 个港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；‎ ‎（2）求‎10月5日4:00水的深度；‎ ‎（3）求‎10月3日吃水深度为‎5m的轮船能进入港口的时间。‎ 例2. 电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是，，设，A=5。‎ ‎⑴求电流I变化的周期和频率；‎ ‎⑵当时，求电流I。‎ ‎⑶画出电流I(A)随时间t(s)变化的函数图象。‎ ‎※ 动手试试 ‎1、课本第65页练习 ‎2、从高出海面hm的小岛A处看正东方向有一只船B，俯角为看正南方向的一船C的俯角为，则此时两船间的距离为（ ）.‎ A． B． ‎ C． D．‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 平均气温 ‎-5.9‎ ‎-3.3‎ ‎2.2‎ ‎9.3‎ ‎15.1‎ ‎20.3‎ ‎22.8‎ ‎22.2‎ ‎18.2‎ ‎11.9‎ ‎4.3‎ ‎-2.4‎ 三、小结反思 ‎1、用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题，数学模型的建立很重要，实际的取值范围也必须引起注意.‎ ‎2、数学建模的过程应完整清晰，实际应用问题并不仅仅局限于三角函数中.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、一个单摆如右图，摆角（弧度）作为时间（秒）的函数满足.‎ ‎(1)求最初位置的摆角（弧度）；‎ ‎(2)求单摆的频率.‎ ‎(3)求多长时间单摆完成5次完整摆动（往复摆动一次称一次完整摆动）？‎ ‎2、大风车叶轮最高顶点离地面‎14.5米，风车轮直径为‎14米，车轮以每分钟2周的速度匀速转动.风叶轮顶点从离地面最低点经16秒后到达最高点.‎ 假设风叶轮离地面高度（米）与风叶轮离地面最低点开始转的时间（秒）建立一个数学模型，用函数来表示，试求出其中四个参数的值.‎ ‎ 课后作业 ‎3、下表是某市1975-2005年月平均气温（℃）‎ ‎(1)下列函数模型中最适合这些数据的是 （ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎（2）请再写出一个与上述所选答案等价的模型来描述这些数据.‎ ‎4、如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数 ‎（1）求这段时间的最大温差.‎ ‎（2）写出这段曲线的函数解析式 三角函数章节复习与小结 ‎ 学习目标 ‎1、对本章知识系统化，网络化。‎ ‎2、通过本章学习，感受三角函数与实际生活的紧密联系，感受数学的价值.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎1、三角函数章节有关知识点：‎ ‎⑴三角函数的定义，符号，任意角三角函数 ‎⑵三角函数线，弧长公式，弧度与角度的互化 ‎⑶同角三角函数关系式 ‎⑷诱导公式 ‎⑸三角函数的性质，定义域，值域，周期性，奇偶性，最值，对称轴，对称中心 本章内容结构图：‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 ‎1 .一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积是：‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎２.设是第二象限角，则必有：‎ Ａ.；Ｂ. ；‎ Ｃ. ；Ｄ. ‎ ‎3. 已知Ｐ（-4k,3k）()是角终边上一点，则 的值等于：‎ Ａ.　Ｂ. 　Ｃ. 　Ｄ.‎ ‎４.将函数的图象沿x轴向左平移个单位，再使图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的２倍，得到的图象，则可能是：‎ Ａ.‎ 同角三角函数 基本关系式 诱导公式 任意角的三角函数 任意角的概念 图象和性质 正弦、余弦、正切函数的图象和性质 已知三角函 数值求角 三角函数式的计算与化简，证明三角恒等式 角度制 弧度制 弧长及面积公式 Ｂ. ‎ Ｃ. ‎ Ｄ. ‎ ‎5 .在中，若，则形状是 A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形 ‎6 .比较大小：‎ ‎___________________.‎ ‎7 .已知则_________.‎ ‎8 .已知为奇函数，且，则.‎ ‎※ 典型例题 例1 已知且，求的值。‎ 例2设是方程的两根，，求和 例3 设，求的值。‎ 例4 已知，‎ ‎（1）求定义域，值域，单调增区间 ‎（2）判断周期性和奇偶性 例5 不等式恒成立，求a的取值范围。‎ 三、小结反思 ‎1、本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数，同角三角函数间的关系、诱导公式及三角函数的图象和性质等。‎ ‎2、三角函数是具有周期变化现象的主要数学模型，三角函数的图象能充分体现其函数的性质.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、已知是角α终边上一点，则的值是 （ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、设θ是第三象限的角，且满足，则是 （ ）‎ A、第一象限角 B、第二象限角 ‎ C、第三象限角 D、第四象限角 ‎3、函数的定义域是 。‎ ‎4、已知函数在同一周期内，当时，取得最小值，当时，取得最大值，则其解析式为 。‎ ‎ 课后作业 ‎5、已知定义在R上的函数满足：‎ ‎①；②对任意属于的，当时都有成立。‎ 试解答下列各题：‎ ‎⑴证明：的周期函数；‎ ‎⑵求m的值；‎ ‎⑶若满足，求满足不等式的x的集合。‎ 第一章三角函数单元测试 班级 姓名 座号 ‎ 一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48分）‎ ‎1.已知A={第一象限角},B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）‎ A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C ‎2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ）‎ A． B．－ C． D．－‎ ‎3、已知的值为 （ ）‎ A．－2 B．2 C． D．－‎ ‎4、已知角的余弦线是单位长度的有向线段;那么角的终边 （ ）‎ A．在轴上 　B．在直线上 C．在轴上 　D．在直线或上 ‎5、若,则等于 ( )‎ A． 　B． 　C． 　D． ‎ ‎6、要得到的图象只需将y=3sin2x的图象 （ ）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎7、如图，曲线对应的函数是 （ ）‎ A．y=|sinx|‎ B．y=sin|x|‎ C．y=－sin|x|‎ D．y=－|sinx|‎ ‎8、化简的结果是 ( )‎ A． B． 　　C． D．‎ ‎9、为三角形ABC的一个内角,若,则这个三角形的形状为 （ ）‎ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形　　　 ‎ C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 ‎10、函数的图象 （ ）‎ A．关于原点对称 B．关于点（－，0）对称 ‎ C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称 ‎11、函数是 （ ）‎ A．上是增函数　B．上是减函数 C．上是减函数 D．上是减函数 ‎12、函数的定义域是（ ）‎ A．　　‎ B．‎ C． ‎ D．‎ 二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．（20分）‎ ‎13、已知的取值范围是 .‎ ‎14、为奇函数，当x>0时, .‎ ‎15、函数的最小值是 ．‎ ‎16、已知则 .‎ 三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17、（8分）求值 ‎18、（8分）已知,求的值.‎ ‎19、（8分）绳子绕在半径为‎50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升‎100cm?‎ ‎20、（10分）已知α是第三角限的角，化简 ‎21、（10分）求函数在时的值域(其中为常数)‎ ‎22、（8分）给出下列6种图像变换方法：‎ ‎①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；‎ ‎②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；‎ ‎③图像向右平移个单位；‎ ‎④图像向左平移个单位；‎ ‎⑤图像向右平移个单位；‎ ‎⑥图像向左平移个单位。‎ 请用上述变换将函数y = sinx的图像变换到函数y = sin (+)的图像．‎ ‎§2.1平面向量的实际背景及 基本概念 ‎【学习目标】1. 通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；‎ ‎2. 掌握向量的几何表示；理解向量的模、零向量与单位向量的概念.‎ ‎3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.‎ ‎【学习过程】‎ 一、课前准备 ‎（预习教材P74-P76）‎ 复习引入：有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有 没有 ，这类量我们称之为数量. 而力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有 又有 的量；那这样的量叫什么呢？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 探究一：向量的概念：数学中，我们把这种既有 ，又有 的量叫做向量. ‎ 问题1：数量和向量的异同点有哪些？‎ 探究二：向量的表示法 问题2：向量有几种表示方法？‎ ‎（1）人们常用 来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.‎ ‎ ⑵以为起点，为终点的有向线段记作 ，线段的长度称为模，记作.有向线段包含三个要素： ‎ ‎（3）有向线段也可用字母如， ，表示.‎ 探究三：几个特殊的向量 零向量：长度为 的向量；‎ 单位向量：长度等于 的向量. ‎ ‎ 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. ‎ 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量. 若向量，平行，记作：. 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量 问题3：如何理解零向量的方向？‎ 探究四：相等向量：长度相等且 的向量叫做相等向量，用有向线段表示的向量与相等，记作：.‎ ‎※ 典型例题 例1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：‎ ‎⑴，点在点的正北方向；‎ ‎⑵，点在点南偏东方向.‎ 例2、教材P75例1‎ 学法指导：请将教材上的空白处填好。先用刻度尺量出图上距离，‎ 再算出实际距离。‎ ‎ ； 。‎ 例3、如右图，设是正六边形的中心，分别写出图中与，， 相等的向量.‎ 变式：（1）与相等的向量有哪些？‎ ‎ （2）与相等吗？与相等吗？‎ 三、学习小结 ‎1、描述向量的两个指标：模和方向.‎ ‎2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.‎ ‎3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.‎ ‎4、 向量与有向线段的区别：‎ ‎（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；‎ ‎（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ‎①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ‎②单位向量都相等； ‎③任一向量与它的相反向量不相等； ‎④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝ ‎ ‎⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ‎⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.‎ ‎2.下列说法中错误的是（ ）‎ A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0‎ C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 ‎3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 ‎ C.圆上一群孤立点  D.一个单位圆 ‎ 课后作业 ‎1．已知非零向量,若非零向量，则与必定 .‎ ‎2．已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定 .‎ ‎§‎2.2.1‎向量的加法运算及其 几何意义 ‎ 学习目标 ‎1. 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则及其几何意义。‎ ‎2. 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P80—P84）‎ ‎1、复习：向量的定义以及有关概念。‎ ‎2、引入：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1：在复习中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？‎ ‎1、向量加法的三角形法则（首尾相接，首尾连）：‎ O A B a a a b b b 已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量__________叫做与的和，记作___________，即=_______=________。这个法则就叫做向量求和的三角形法则。‎ ‎2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O两个向量，（）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是与的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。‎ 问题2：想想两个法则有没有共同的地方？‎ ‎3、对于零向量与任一向量，我们规定+=___________=_______.‎ 探究二：向量加法的交换律和结合律 问题3：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？‎ ‎4、对于任意向量，，向量加法的 交换律是：_____________；‎ 结合律是：_____________。‎ ‎※ 典型例题 例1、已知向量、，求作向量.‎ 思考：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？‎ 小结1：在三角形法则中 “首尾相接”，是第二个向量的 与第一个向量的 重合.‎ 小结2：‎ ‎（1）两相向量的和仍是 ；‎ ‎（2）当向量与不共线时，+的方向 ，且|+| ||+||；‎ ‎（3）当与同向时，则+、、 ，‎ 且|+| ||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+| ||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b| ||-||.‎ 例2、一架飞机向北飞行‎400km，然后改变方向向东飞行‎300km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.‎ 例3、教材P83例2. ‎ 三、小结反思 ‎1、向量加法的几何意义；2、交换律和结合律；‎ ‎3、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、化简 ‎ ‎ ‎2、若C是线段AB的中点，则=（ ）‎ A、 B、 C、 D、0‎ ‎3、已知△ABC中，D是BC的中点，则=（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4、已知正方形ABCD的边长为1，‎ ‎，则为（ ）‎ A．0 B．3 C． D．‎ ‎5、在矩形ABCD，，则向量的长度等于（ ）‎ A． B． C．12 D．6‎ ‎ 课后作业 ‎1、已知||＝8，||＝5，则||的取值范围？‎ ‎2、若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：＝.‎ ‎§‎2.2.2‎向量的减法运算及其 几何意义 ‎ 学习目标 ‎1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；‎ ‎2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P85—P87）‎ 复习：求作两个向量和的方法有 法则和 法则.‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 探究：向量减法——三角形法则 问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？‎ ‎1、相反向量：与 的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 .‎ 问题2：任一向量与其相反向量的和是什么？‎ 如果、是互为相反的向量，那么 ， ， .‎ 1、 向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加 上这个向量的相反向量，即是互为相反的向量，那么=____________，=____________，=____________。‎ 问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考的作图方法.‎ ‎3、已知，，在平面内任取一点O，作，则__________=，即可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量的终点到的终点作向量，那么所得向量是________。这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“‎ 起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.‎ ‎※ 典型例题 例1、阅读并讨论P86例3和例4‎ 变式：如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　)‎ A. ＝ B. ＋＝ C. －＝ D. ＋＝‎ 例2、在△ABC中，是重心，、、分别是、、的中点，化简下列两式：‎ ‎⑴；‎ ‎⑵.‎ ‎ ‎ 变式：化简.‎ 三、小结反思 ‎1、向量减法的含义；‎ ‎2、求两向量的差；‎ ‎3、两向量与的差起点，终点和指向。‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、化简下列各式：‎ ‎ ①； ‎ ‎ ②.‎ ‎2、在平行四边形ABCD中，等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3、下列各式中结果为的有（ ）‎ ‎① ‎ ‎② ‎ ‎③ ‎ ‎④‎ A．①② B．①③ ‎ C．①③④ D．①②③‎ ‎4、下列四式中可以化简为的是（ ）‎ ‎① ② ‎ ‎ ③ ④‎ A．①④ B．①② C．②③ D．③④‎ ‎5、已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中则=（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎ 课后作业 ‎1、化简：=_______________。‎ ‎2. 已知、是非零向量，则时，应满足条件 .‎ ‎3、在△ABC中，向量可表示为（ ）‎ ‎① ② ‎ ‎③ ④‎ A．①②③ B．①③④ ‎ ‎ C．②③④ D．①②④‎ ‎§‎2.2.3‎向量数乘运算及其 几何意义 ‎ 学习目标 ‎1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；‎ ‎2. 理解两个向量共线的含义；掌握向量的线性运算性质及其几何意义.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P87—P90）‎ 复习： 向量减法的几何意义是什么？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 探究：向量数乘运算与几何意义 问题1：已知非零向量，作出：‎ ‎①；②.‎ 通过作出图形，同学们能否说明它们的几何意义？ ‎ ‎ ‎ ‎1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作，它的长度与方向规定如下：‎ ‎（1）=___________________________________; ‎ ‎（2）当_________时，的方向与的方向相同；当_______时，的方向与方向相反，当_________时，=。‎ 问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.‎ ‎2、向量数乘运算律，设为实数。‎ ‎（1）_______； ‎ ‎（2）_________； ‎ ‎（3）_________；‎ ‎（4）________=___________； ‎ ‎（5）______________；‎ ‎（6）对于任意向量,，任意实数恒有=_______________。‎ 问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？‎ ‎3、两个向量共线（平行）的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得 。‎ ‎　 对此定理的证明，是两层来说明的：‎ ‎　　其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.‎ 其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.‎ ‎※ 典型例题 例1、计算：‎ ‎⑴； ‎ ‎⑵； ‎ ‎⑶.‎ 例2：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：‎ 例3、已知两个向量和不共线，，，，求证：、、三点共线.‎ 例4、如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，你能用、表示、、、吗？‎ ‎ ‎ 三、小结反思 ‎（1）与的积还是向量，与是共线的；‎ ‎（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；‎ ‎（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、=___________。 =________ _。‎ ‎= ； =______ ___。‎ ‎2、在中，、分别是、的中点，若，，则等于（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎3、点C在线段AB上，且，则。‎ ‎4、设是两个不共线向量，若，与共线，则实数的值为 .‎ ‎5、设两非零向量不共线，且，则实数k的值为 ‎ ‎ 课后作业 ‎1. 中，，，且与边相交于点，的中线与相交于点.设，，用、分别表示向量.‎ ‎2、若，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎§‎2.3.1‎平面向量基本定理 ‎§‎2.3.2‎平面向量正交分解及坐标表示 ‎ 学习目标 ‎1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；‎ ‎2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P93—P96）‎ 复习1：向量、是共线的两个向量，则、之间的关系可以表示为 .‎ 复习2：给定平面内任意两个向量、，请同学们作出向量、.‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 探究：平面向量基本定理 问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？‎ 1. 平面向量的基本定理:‎ 如果,是同一平面内两个 的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使 。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。‎ 注意：‎ ‎(1) 我们把不共线向量，叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底； ‎(2) 基底不惟一，关键是不共线； ‎(3) 由定理可将任一向量在给出基底，的条件下进行分解；‎ ‎ (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，‎ ‎，唯一确定的数量 问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？‎ ‎2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量，作，则 叫做向量与的夹角。如果则的取值范围是 。‎ 当 时，表示与同向；‎ 当 时，表示与反向；‎ 当 时，表示与垂直。记作：.‎ 在不共线的两个向量中，，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。‎ 问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？‎ ‎3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示 ‎※ 典型例题 学法引领：首先画图分析，然后寻找表示。‎ 例1、已知梯形中，，且，、分别是、的中点，设，。试用为基底表示、.‎ 例2、已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标.‎ 三、小结反思 ‎1、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；‎ ‎ 2、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示 ‎3、向量的坐标表示的理解及运算的准确性.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、已知点A的坐标为（2，3），点B的坐标为 ‎（6，5），O为原点，则=________，=_______。‎ ‎2、已知向量的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且，则的坐标为__________。‎ ‎3、已知两向量、不共线，，‎ ‎，若与共线，则实数= .‎ ‎4. 设是平行四边形两对角线与的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（ ）‎ ‎①与②与③与④与 ‎ A.①② B.③④ C.①③ D.①④‎ ‎5、已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝，＝，则＝（　　）‎ Ａ．（ － ） Ｂ．　－（ － ）‎ Ｃ．－（ ＋） Ｄ．（ ＋）‎ ‎ 课后作业 ‎1、在矩形中，与交于点，若，，则等于多少？‎ 2． 已知点A（2，2）， B（-2，2）， C（4，6） ， ‎ D（-5，6）， E（-2，-2）， F（-5，-6）‎ 在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。‎ ‎§‎2.3.3‎ 平面向量的坐标运算 ‎ 学习目标 ‎1. 会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；‎ ‎2. 体会向量是处理几何问题的工具. 培养细心、耐心的学习习惯，提高分析问题的能力。‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P96—P98）‎ 复习：‎ ‎⑴向量是共线的两个向量，则之间的关系可表示为 .‎ ‎⑵向量是同一平面内两个不共线的向量，为这个平面内任一向量，则向量可用表示为 。‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 探究：平面向量的坐标运算 问题1：已知，，你能得出，，的坐标吗？ ‎ ‎1、已知：，，为一实数 ‎=__________________________ _。=___________ 。‎ 这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于__________________ ____。‎ ‎=_______________‎ 这就是说，实数与向量的积的坐标等于：_____________________。‎ 问题2：如图，已知，，则怎样用坐标表示向量呢？‎ ‎2、若已知,，‎ 则=_______________=_____________‎ 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________________________。‎ 问题3：你能在上图中标出坐标为的点吗？标出点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？ ‎ ‎※ 典型例题 例1、已知，，求和.‎ 例2、已知平行四边形的顶点，，，试求：‎ ‎（1）顶点的坐标.‎ ‎（2）若与的交点为，试求点的坐标.‎ 例3、已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.‎ 三、小结反思 ‎（1）两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和； （2）两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差； （3）实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数；‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、已知向量的坐标，求，的坐标.‎ ‎⑴ ‎ ‎⑵‎ ‎⑶ ‎ ‎⑷‎ ‎2、已知、两点的坐标，求，的坐标.‎ ‎⑴ ‎ ‎⑵‎ ‎⑶ ‎ ‎⑷‎ ‎3. 设点，，且，求点的坐标。‎ ‎4、已知点A(－1，－5)和向量＝(2,3)，若＝3，则点B的坐标为(　　)‎ A．(6,9) B．(5,4) ‎ ‎ C．(7,14) D．(9,24)‎ ‎5、已知，且，求P点的坐标。‎ ‎ 课后作业 ‎1、已知向量，，，试用来表示.‎ ‎2、已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程。‎ ‎§‎2.3.4‎ 平面向量共线的坐标表示 ‎ 学习目标 ‎1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。‎ ‎2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P98—P100）‎ 复习：‎ ‎⑴若点、的坐标分别为，那么向量的坐标为 .‎ ‎⑵若，则 ， ， ‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 探究：平面向量共线的坐标表示 问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？‎ 若（）共线，当且仅当存在实数，使 。‎ 问题2：假设（），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？‎ ‎2、设，其中，则等价于______________________。‎ ‎※ 典型例题 例1、已知，，且，求.‎ 变式：判断下列向量与是否共线 ‎① ‎ ‎②‎ 例2、向量，，，‎ 当为何值时，三点共线.‎ 变式：证明下列各组点共线：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）‎ 例3、设点是线段上的一点，的坐标分别是，.‎ ‎⑴当点是线段的中点时，求点的坐标；‎ ‎⑵当点是线段的一个三等分点时，求点的坐标.‎ ‎*变式： 当，点的坐标是什么？‎ 三、小结反思 ‎1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；‎ ‎2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；‎ ‎3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1已知判断与是否共线？‎ ‎2、已知，且，求的值.‎ ‎3、平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)，求：‎ ‎(1)求3＋－2；‎ ‎(2)求满足＝m＋n的实数m，n；‎ ‎(3)若(＋k) (2－)，求实数k.‎ ‎ 课后作业 ‎1. 已知，，若与平行，则的值为 . ‎ ‎2、已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 ‎3、已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．‎ ‎(1)求实数x，使两向量、共线．‎ ‎(2)当两向量与共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？‎ ‎§‎2.4.1‎平面向量的数量积的 物理背景及含义 ‎ 学习目标 ‎1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；‎ ‎2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P103—P105）‎ 复习：如右图，如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W= ，其中是与的夹角.‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 探究：平面向量数量积的含义 问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？‎ ‎1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量，我们把______________叫的数量积。（或________）记作_________即＝___________________其中是的夹角。__________叫做向量方向上的______。‎ 我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。‎ 问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？‎ ‎2、平面向量数量积的性质：设均为非零向量：‎ ‎①___________‎ ‎②当同向时，＝________　当反向时，‎ ‎＝_______ _，‎ 特别地，=______或___________。‎ ‎③___________ _ ‎ ‎ ④_______ ____‎ ‎⑤.的几何意义：_____________ ________。‎ 问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？‎ ‎3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量与实数。‎ ‎①＝___________；‎ ‎②＝___________；‎ ‎③＝___________。‎ 问题4：我们知道，对任意，恒有， ‎ 对任意向量，是否也有下面类似的结论？‎ ‎⑴ ； ‎ ‎⑵ .‎ ‎※ 典型例题 例1、已知，，且与的夹角，求.‎ 变式1：若，，且，则是多少？‎ 变式2：若，，且，则是多少？‎ 变式3：若，，且与的夹角，求。‎ 变式4：若，，且，求与的夹角。‎ ‎2、在平行四边形中，，，，求.‎ 变式：判断下列命题的真假，并说明理由.‎ ‎（1）中，若，则是锐角三角形；‎ ‎（2）中，若，则是钝角三角形；‎ ‎（3）为直角三角形，则.‎ 三、小结反思 ‎1、平面向量数量积的含义与物理意义，‎ ‎2、性质与运算律及其应用。‎ ‎3、平面向量数量积的概念 ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、已知，，与的夹角为，求：‎ ‎⑴；‎ ‎⑵；‎ ‎⑶；‎ ⑵ ‎.‎ ‎2. 已知与的夹角为，且，则为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3 已知，且与垂直，则与的夹角为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 已知，则= ， = .‎ ‎ 课后作业 ‎1、已知，且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？‎ ‎2. 设是两个单位向量，其夹角为，求向量与的夹角.‎ ‎§‎2.4.2‎平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 ‎ 学习目标 ‎1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；‎ ‎2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P106—P107）‎ 复习：1.向量与的数量积= .‎ ‎2.设、是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ‎① ；‎ ‎② ；‎ ‎③ .‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 探究：平面向量数量积的坐标表示 问题1：已知两个非零向量，怎样用与的坐标表示呢？‎ ‎1.　平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量　　　　 　　　　　　　　　 　　（坐标形式）。‎ 这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于　　　　　　　　 　　。‎ 问题2：如何求向量的模和两点，间的距离？‎ ‎2.平面内两点间的距离公式 ‎（1）设则________________或________________。‎ ‎（2）若，，则=___________________（平面内两点间的距离公式）。‎ 问题3：如何求的夹角和判断两个向量垂直？‎ ‎3．两向量夹角的余弦：设是与的夹角，则＝_________＝_______________‎ 向量垂直的判定：设则_________________‎ ‎※ 典型例题 例1、已知 ‎（1）试判断的形状，并给出证明. ‎ ‎（2）若ABDC是矩形，求D点的坐标。‎ 例2、已知，求与的夹角.‎ 变式：已知______________.‎ 三、小结反思 ‎1、平面向量数量积的坐标表示.‎ ‎2、向量数量积的坐标表示的应用.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、若，，则= ‎ ‎2、已知，，若，试求的值.‎ ‎3、已知，当k为何值时，‎ ‎（1）垂直？‎ ‎（2）平行吗？它们是同向还是反向？‎ ‎4、 已知，，，且，，求：‎ ‎（1）； （2）、的夹角.‎ ‎ 课后作业 ‎1. 已知点和，问能否在轴上找到一点，使，若不能，说明理由；若能，求点坐标.‎ ‎2. 已知＝(，－1)，＝. ‎ ‎(1)求证： ；‎ ‎(2)若存在不同时为0的实数k和t，使＝＋(t－3) ，＝－k＋t，且 ，试求函数关系式k＝f(t)；‎ ‎(3)求函数k＝f(t)的最小值．‎ ‎§‎2.5.1‎平面几何中的向量方法 ‎ 学习目标 ‎1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；‎ ‎2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P109—P111）‎ 复习：‎ ‎（1）若O为重心,则++= ‎ ‎（2）水渠横断面是四边形,= ,且|=|,则这个四边形为 .类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?‎ ‎（3）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如下图，，，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ ‎ 结论： ‎ 问题2：平行四边形中，点、分别是、边的中点，、分别与交于、两点，你能发现、、之间的关系吗？‎ 结论： ‎ 问题3：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？‎ ⑴ ‎ ‎ ⑵ ‎ ‎ ⑶ ‎ ‎ ‎※ 典型例题 ‎1、在中，若，判断的形状.‎ ‎2、设是四边形，若，证明： ‎ 三、小结反思 ‎1、理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题. ‎ ‎2、选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、在梯形ABCD中，CD AB,E、F分别是AD、BC的中点，且EF＝（AB＋CD）.‎ 求证：EF AB CD.‎ ‎2、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。‎ ‎ 课后作业 ‎1. 已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且|AB|＝2，则·＝________.‎ ‎2. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)，B(2,3)， C(－2,－1)‎ ‎(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；‎ ‎(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ ‎§‎2.5.2‎向量在物理中的应用举例 ‎ 学习目标 掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，实现向量与物理之间的融合，会用向量知识解决一些物理问题.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P111—P112）‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1：向量与力有什么相同点和不同点？ ‎ 结论：向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一 的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量 到同一作用点上.‎ 问题2：向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？‎ 结论：速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.‎ 问题3：向量的数量积与功、动量有什么联系？‎ 结论：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.‎ ‎⑴力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即，功是一个实数，它可正，也可负.‎ ‎⑵在解决问题时要注意数形结合.‎ ‎※ 典型例题 例1、用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量，则每根绳子的拉力大小是多少？‎ 例2、一条河宽为，一船从出发航行垂直到达河正对岸的处，船速为.水速为，则船到达处所需时间为多少分钟？‎ 例3、已知两恒力、作用于同一质点，使之由点移动到点，试求：‎ ‎⑴分别对质点所做的功；‎ ‎⑵的合力对质点所做的功 三、小结反思 ‎1、理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决物理问题. ‎ ‎2、选择适当的方法，将物理问题转化为向量问题加以解决.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、点P在平面上作匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)(　　)‎ A．(－2,4) B．(－30,25) ‎ ‎ C．(10，－5) D．(5，－10)‎ ‎2、作用于原点的两个力，为使它们平衡，需要加力=_______‎ ‎3、已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为(　　)‎ A．lg2 B．lg5 C．1 D．2‎ ‎ 课后作业 ‎1. 一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为(　　)‎ A．10N 　 　 B．0N 　 ‎ ‎　C．5N 　 　 D.N ‎2. 一条宽为km的河，水流速度为‎2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速为‎4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？‎ 第二章 平面向量（复习）‎ ‎ 学习目标 ‎1、理解和掌握平面向量有关的概念；熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；‎ ‎2、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P116—P121）‎ 二、新课导学 ‎※复习 ‎1、平面向量有关的概念：‎ ‎（1）向量；‎ ‎（2）向量模；‎ ‎（3）相等向量；‎ ‎（4）相反向量；‎ ‎（5）零向量；‎ ‎（6）单位向量；‎ ‎（7）平行向量；‎ ‎（8）向量的夹角；‎ ‎（9）向量的坐标。‎ ‎2、向量的运算：‎ ‎（1）加减法；‎ ‎（2）实数与向量的乘积；‎ ‎（3）向量的数量积。‎ ‎3、几个重要的结论：‎ 设，，为一实数。‎ ‎（1）=________；‎ ‎=__________ ；‎ ‎=__________；‎ ‎= .‎ ‎（2）设则_____________或_______________；‎ ‎（3）设是与的夹角，则＝_________＝_______________；‎ ‎（4） ；‎ ‎（5） 存在，使得 ‎ ‎※ 典型例题 例1、设、是两个不共线的向量，已知，，，若三点共线，求的值.‎ 例2、已知向量，求 ‎⑴求与的夹角；‎ ‎⑵若向量与垂直，求的值.‎ 例3、向量，且与方向相同，求的取值范围。‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、已知正方形的边长为，，，，则为多少？‎ ‎2、若是夹角为的两个单位向量，则；的夹角为多少？‎ ‎3、已知向量，，若不超过，则的取值范围是多少？‎ ‎ 课后作业 ‎1. 已知＝(2,3)，＝(－4,7)，则在方向上的投影为________．‎ ‎2. 已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．‎ ‎3.已知||＝4，||＝3，(2－3)·(2＋)＝61，求与的夹角θ.‎ ‎3.1.1‎两角差的余弦公式 ‎ 学习目标 ‎1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。‎ ‎2.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P124—P127）‎ 复习引入：: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺,测角器)‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 探究一：（1）能不能不用计算器求值 ： ， ，。‎ ‎（2）‎ 探究二：两角差的余弦公式的推导 ‎1.三角函数线法：‎ 问：①怎样作出角、、的终边。‎ ②怎样作出角的余弦线OM ③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。‎ ‎2.向量法：‎ 问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？‎ ②怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。‎ ③对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。‎ A O B x y ‎※ 典型例题 例1、利用差角余弦公式求的值 ‎ 变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）‎ 变式训练：已知，θ是第二象限角，求的值。‎ 三、小结反思 本节主要考察如何用任意角的正弦余弦值来表示，回顾公式 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角，的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用(即要活用).在求值的过程中，还要注意掌握“变角”和“‎ 拆角”的思想方法解决问题.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1.利用两角和（差）的余弦公式，求 ‎2.求值 ‎ ‎3．化简 ‎ ‎ 课后作业 ‎1.化简 ‎3.1.2‎‎ 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎ 学习目标 ‎1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。‎ ‎2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P128—P131）‎ 复习：‎ ‎1、两角差的余弦公式：‎ ‎2、（ ）‎ ‎3、在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，能否用它来推导两角和与差的正弦公式呢？‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题1：由两角差的余弦公式，怎样得到两角和的余弦公式呢？‎ 问题2：由两角和与差的余弦公式，怎样得到两角和与差的正弦公式呢？‎ 探究1、两角和与差的正弦公式的推导. ‎ ‎ 探究2、两角和与差正弦公式的特征？推导两角和的正切公式？‎ 探究3、推导两角差的正切公式呢？‎ 探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？‎ 注意：（1）‎ ‎ （ 2）、将、、称为和角公式，、、称为差角公式。‎ ‎※ 典型例题 例1、已知是第四象限角，求的值.‎ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：‎ ‎（1）、；‎ ‎（2）、；‎ ‎（3）、．‎ 例3、化简 思考：怎样求类型？‎ 总结：= (sinαcosφ+cosαsinφ)= sin(α+φ),其中tanφ=。‎ 变式：（1）： ‎ ‎（2）： ‎ ‎（3）=____________‎ 三、小结反思 ‎1、熟记两角和与差的正弦、余弦和正切公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.‎ ‎2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及类型的变换 ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ A. B. C. D. ‎ A. B. C. D.‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 课后作业 ‎1. 已知求的值．‎ ‎ ‎ ‎§‎3.1.3‎ 二倍角的正弦、余弦和正切公式 ‎ 学习目标 ‎1、以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；‎ ‎2、二倍角的理解及其灵活运用.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P132—P134）‎ 复习引入：请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 问题：由两角和的正弦、余弦和正切公式能否得到的公式呢？‎ 探究1：推导sin‎2a,cos‎2a sin‎2a= ‎ cos‎2a=‎ 思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；‎ cos‎2a=‎ cos‎2a=‎ 探究2：推导tan‎2a 注意： ‎ ‎※ 典型例题 例1、已知求的值．‎ 例２、已知求的值．‎ 变式：已知 例3、在△ABC中，，‎ 三、小结反思 熟记二倍角的正弦、余弦和正切公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1、已知180°＜2α＜270°，化简=（ ） ‎ A、-3cosα B、cosα ‎ ‎ C、-cosα D、sinα-cosα ‎2、已知，化简+= （ ） ‎ A、-2cos B、2cos ‎ ‎ C、-2sin D、2sin ‎3、已知sin=，cos=－，则角是 （ ） ‎ A、第一象限角 B 、第二象限角 ‎ C、第三象限角 D、第四象限角 ‎4、若tan q = 3，求sin2q - cos2q 的值。‎ ‎5、已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值。‎ ‎ 课后作业 ‎1、已知求的值。 ‎ ‎2、已知，，求的值。‎ ‎3．2 简单的三角恒等变换 ‎ 学习目标 ‎1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明。‎ ‎2、会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）。‎ ‎3、进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P139—P142）‎ 复习：‎ Cos(α+β)= ‎ Cos(α-β)=‎ sin(α+β)= ‎ sin(α-β)=‎ tan(α+β)= ‎ tan(α-β)=‎ sin2α= ‎ tan2α=‎ cos2α=‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 探究一：半角公式的推导 ‎ 请同学们阅看p139例1.‎ ‎ .思考1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。‎ ‎ ‎ ‎.思考2、半角公式中的符号如何确定？‎ 思考3、二倍角公式和半角公式有什么联系？‎ ‎.思考4、代数变换与三角变换有什么不同？‎ 变式训练1：求证 探究二：积化和差、和差化积公式的推导.‎ ‎ 请同学们阅看p140例2。‎ ‎.思考 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？‎ ‎.思考2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？‎ ‎.‎ 思考3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？‎ 点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式．‎ 变式训练2：课本p142 2（2）、3（3）‎ 探究三：三角函数式的变换。‎ ‎ 请同学们阅看p140例3。‎ ‎.思考1、例3的过程中应用了哪些公式？ ‎ ‎ ‎ ‎.思考2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．‎ 变式3：已知函数 ‎（1）求的最小正周期，‎ ‎（2）当时，求的最小值及取得最小值时的集合 ‎※ 典型例题 例1．已知，且在第二象限，求的值。‎ 例2： ；．‎ 例3. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP＝a，求当角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.‎ 三、小结反思 常见的三角变形技巧有 ‎①切割化弦；‎ ‎②“1”的变用；‎ ‎③统一角度，统一函数，统一形式等等．‎ ‎ 学习评价 ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1．已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（ ）‎ A．－ B．－ C． D．‎ ‎2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是 A．等边三角形 B．等腰三角形 ‎ C．不等边三角形 D．直角三角形 ‎3．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）‎ A．－ B．－ C． D．‎ ‎4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．‎ ‎ 课后作业 ‎1．已知α－β=，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________．‎ ‎2．已知f（x）=－+，x∈（0，π）．‎ ‎（1）将f（x）表示成cosx的多项式；‎ ‎（2）求f（x）的最小值．‎ 第三章 三角恒等变换复习（一） ‎ 学习目标 ‎1. 通过对本章的知识的复习、总结，使学生对本章形成一个知识框架网络. ‎2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式.‎ ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P145—P147）‎ 二、新课导学 ‎※ 典型例题 ‎1、已知三角函数值求三角函数值 ‎1、已知cosa+cosβ=,sina+sinβ=,求cos(a-β)的值。‎ ‎4.已知，，求的值。‎ 例2、证明恒等式 三、小结反思 1. 给值求角时，先要求所求角的某一三角函数值，需结合角的范围确定角的符号；‎ ‎2. 证明三角恒等式时，要灵活地运用公式.‎ ‎ 课后作业 教材P.146第8题第(3)、(4)问； P.146第1、2、3题； P.146第4题第(1)、(2)、(3)问； P.147第3题；‎ 第三章 三角恒等变换复习（二）‎ ‎ 学习目标 ‎1. 综合运用知识解决相关问题. ‎2. 培养学生分析问题，运用知识解决问题的能力. ‎ 学习过程 一、课前准备 ‎（预习教材P145—P147）‎ 二、新课导学 ‎※ 典型例题 ‎2.已知函数 ‎3. 已知直线，A是，之间的一定点，并且A点到，的距离分别为， B是直线上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线交于点C，求△ABC面积的最小值.‎ ‎4. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.当△APQ的周长为2时，‎ P 求∠PCQ的大小.‎ 三、小结反思 运用公式解决有关问题：最值问题、存在性问题.‎ ‎ 课后作业 教材P‎.147A组第11、12题； P.147B组第6题；‎