2018-2019学年江西省南昌市第二中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市第二中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，若，则实数a的值为　　‎ A．2 B．3 C．1或2或3 D．2或3‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出集合A＝{1，2，3}，由B＝{a，1}，A∩B＝B，得B⊆A，由此能求出实数a的值．‎ ‎【详解】‎ 解：集合2，，，，‎ ‎，‎ 实数a的值为2或3．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．下列等式恒成立的是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据两角和的正弦公式判断sinαcosβ＝sin（α+β）不一定成立；‎ 根据平面向量的数量积运算与线性运算判断•不成立；‎ 根据幂的运算法则判断ea•eb＝ea+b恒成立；‎ 根据对数的运算法则判断lna•lnb＝ln（a+b）不成立．‎ ‎【详解】‎ 解：对于A，，右边展开是，两边不一定相等；‎ 对于B，，左边是数量积，为实数，右边是向量线性运算，是向量，不相等，‎ 对于C，根据幂的运算法则知，，等式恒成立；‎ 对于D，根据对数的运算法则知，不成立．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题利用命题真假的判断，考查了三角恒等变换、平面向量的运算以及指数、对数的运算问题，是基础题．‎ ‎3．函数在区间的简图是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数解析式可得当x时，y＝sin[（2]＞0，故排除A，D；‎ 当x时，y＝sin0＝0，故排除C，从而得解．‎ ‎【详解】‎ 解：当时，，故排除A，D；‎ 当时，，故排除C；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了五点法作图，特值法，属于基础题．‎ ‎4．下列结论正确的是　　‎ A．若向量，共线，则向量，的方向相同 B．中，D是BC中点，则 C．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上 D．若，则使 ‎【答案】B ‎【解析】根据平面向量的线性运算与共线定理，对选项中的命题判断正误即可．‎ ‎【详解】‎ 解：对于A，若向量，共线，则向量，的方向相同或相反，A错误；‎ 对于B，中，D是BC中点，延长AD至E，使，连接CE、BE，‎ 则四边形ABEC是平行四边形，如图所示；‎ 所以，B正确；‎ 对于C，向量与向量是共线向量，但A，B，C，D四点不一定在一条直线上，‎ 如平行四边形的对边是共线向量，但四点不共线；C错误；‎ 对于D，时，满足，但不一定存在，使，D错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是基础题．‎ ‎5．已知向量，，若与平行，则实数x的值是　　‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：,,因为与平行,所以,解得,故选A.‎ ‎【考点】1.向量坐标运算；2.两向量平行的条件.‎ ‎6．若，且，则的值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα ‎，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．‎ ‎【详解】‎ 解：，且，‎ ‎，则，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．‎ ‎7．已知向量，，，则　　‎ A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 ‎【答案】B ‎【解析】利用向量共线定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 即 ‎、B、D三点共线．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量共线定理，考查了运算能力，属于基础题．‎ ‎8．如图所示，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则的值为　　‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，又,所以,又,那么 ‎.故本题选A．‎ ‎【考点】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.‎ ‎9．已知函数，设在上的最大、小值分别为M、N，则的值为　　‎ A．2 B．1 C．0 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简函数f（x），设g（x）＝x2•3sinx，判断奇偶性，可得g（x）的最值之和为0，即可得到M+N的值．‎ ‎【详解】‎ 解：函数，‎ 设，可得，即在上为奇函数，可得的最大值和最小值的和为0，即有在上的最大值和最小值之和为2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的最值的求法，运用函数的奇偶性的性质是解题的关键，考查推理能力与运算能力，属于中档题．‎ ‎10．若，，则实数的取值范围　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题应将含有sinθ和cosθ的项各自移到等式的一边，然后用函数的思想来处理这类问题．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，‎ ‎，‎ 则有,即．‎ 设，是上的增函数．‎ 原不等式可变形为，‎ ‎，‎ 又 则的取值范围是：，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题如果从三角函数的知识去思考则有一定的难度，如果转化成函数的单调性去解决则显得很容易，本题是一道较好的中档题．‎ ‎11．已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用已知条件推出x+y＝1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值．‎ ‎【详解】‎ 解：D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，可得，x，，‎ 则，当且仅当时取等号，并且，函数的开口向下，对称轴为：，当或时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎12．已知向量，，若方程在有唯一解，则实数a的取值范围　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据向量数量积的定义求出a•，设函数f（x）＝sin2xsin4x﹣sinxsin3x，结合三角函数的图象和性质进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：,‎ 设，‎ 显然关于对称，因此在有唯一解的话，必然只能在或时，‎ 当为解时，此时，方程化为在不止一解，故舍去，‎ 当解时，此时，方程化为，‎ 因为在上，所以只能是，，即为唯一解．‎ 综上所述，．即实数a的取值范围是，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量数量积的应用，结合三角函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．‎ 二、填空题 ‎13．已知，则与方向相同的单位向量是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量共线以及向量模长公式进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：设与方向相同的单位向量是，则，则，即，‎ 即，则，则，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量共线的应用，结合向量模长公式是解决本题的关键．‎ ‎14．已知菱形ABCD的边长为2，，则______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】选取为基底，则，然后根据向量数量积的定义求解．‎ ‎【详解】‎ 如图，以为基底，则．‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 计算向量数量积的方法有三种：定义法、坐标运算法、数量积的几何意义，解题时要灵活选用方法，对于和图形有关的问题不要忽视数量积的几何意义的应用．‎ ‎15．已知的面积为24，P是所在平面上的一点，满足，则的面积为____；‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】由三角形的重心的向量表示得：点P为△A1B1C1的重心，则SSS，由三角形面积公式得：S△PABS，S△PBCS，S△PACS，所以S△PAB：S△PBC：S△PAC＝3：1：2，又S△PAB+S△PBC+S△PAC＝24，即S△PAB＝12，得解．‎ ‎【详解】‎ 解：设，，，则，即点P为的重心，‎ 则，又，，‎ ‎，所以：：：1：2，又，所以，‎ 故答案为：12‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形面积公式、三角形的重心及平面向量基本定理，属难度较大的题型．‎ ‎16．已知函数是定义域为R的偶函数当时，，则______，若关于x的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】可求得f（1）sin（），作函数的图象，分类讨论即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，作函数的图象如右图，‎ 设方程的两个根为，；‎ 若，，故，故；‎ 若，，故，故；‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用．‎ 三、解答题 ‎17．若角的终边在第三象限，且，求 ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件利用二倍角的正切公式求得tanθ的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．‎ ‎【详解】‎ 解：角的终边在第三象限，，或 舍去，‎ 则 ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角的正切公式，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．‎ ‎18．已知向量，，若与的夹角为钝角，求的取值范围；‎ 平面向量，，不共线，且两两所成的角相等，若，，求：‎ ‎【答案】(1)；（2）1‎ ‎【解析】（1）根据的夹角为钝角即可得出，且与不平行，从而得出，解出λ的范围即可；‎ ‎（2）根据题意可得出两两所成的角都为，再根据即可得出的值，进而求出．‎ ‎【详解】‎ 解：与的夹角为钝角；，且与不共线；；‎ 解得，且；的取值范围为；‎ ‎，，不共线，且两两所成的角相等；，，两两所成的角为；又；‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念，以及平行向量的坐标关系．‎ ‎19．已知，，函数．‎ 求函数图象的对称轴方程；‎ 若方程在上的解为，，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】（1）先根据向量数量积的坐标表示求出f（x）结合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；‎ ‎（2）由方程f（x）在（0，π）上的解为x1，x2，及正弦函数的对称性可求x1+x2，进而可求．‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ 令可得，函数图象的对称轴方程，‎ 方程在上的解为，，由正弦函数的对称性可知，‎ ‎，，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．‎ ‎20．已知向量，，其中．‎ 若，求角；‎ 若，求的值．‎ ‎【答案】（1）或，；（2）‎ ‎【解析】（1）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得角α；‎ ‎（2）运用向量的平方即为模的平方，求得sinα，再由二倍角公式即可得到所求值．‎ ‎【详解】‎ 解：向量，，‎ 若，则，即为，‎ 即，可得或，；‎ 若，即有，‎ 即，‎ 即为，‎ 即有，可得，‎ 即有．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积的性质，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的运用，属于中档题．‎ ‎21．已知函数的最小正周期为．‎ 求函数的单调递增区间；‎ 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上零点的和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的正弦函数的单调性，得出结论；‎ ‎（2）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的零点的定义求出求函数g（x）在区间[0，5π]上零点的和．‎ ‎【详解】‎ 解：函数的最小正周期为，，‎ 令，求得，可得函数的增区间为，．‎ 将函数的图象向左平移个单位长度，可得  的图象；‎ 再向上平移2个单位长度，得到函数的图象．‎ 令，求得，，，．‎ 函数在区间上零点的和为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的正弦函数的单调性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．‎ ‎22．已知立方和公式：‎ 求函数的值域；‎ 求函数，的值域；‎ 若任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）先化简f（x）sin（x），再根据三角函数的性质即可求出，‎ ‎（2）化简g（x），再设sinx+cosx＝tsin（x），可得t∈[1，]，可得g（x）＝h（t）（t），根据函数的单调性即可求出，‎ ‎（3）化简sin6x+cos6x＝1﹣3sin2xcos2x，设sinxcosx＝t，即tsin2x，则t，则原不等式转化为3t2﹣at﹣1≤0在t∈[，]恒成立，即可求出a的范围 ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 故函数的值域为，‎ ‎，‎ 设，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 易知函数在上为减函数，，，‎ 函数的值域为．‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，即，则，‎ 不等式恒成立，‎ ‎，在恒成立，‎ 即在恒成立，‎ ‎，‎ 解得，‎ 故a的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的化简以及三角函数的性质，二次函数的性质，函数的单调性，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．‎