高考数学专题复习练习：8-3 专项基础训练

高考数学专题复习练习：8-3 专项基础训练

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．在下列命题中，不是公理的是(　　)‎ A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎【解析】 选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．‎ ‎【答案】 A ‎2．(2017·安徽合肥一模)如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD，则下列结论中错误的是(　　)‎ A．过BD且与PC平行的平面交PA于点M，则M为PA的中点 B．过AC且与PB垂直的平面交PB于点N，则N为PB的中点 C．过AD且与PC垂直的平面交PC于点H，则H为PC的中点 D．过P，B，C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD ‎【解析】 设AC∩BD＝O，∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点．‎ ‎∵过BD且与PC平行的平面交PA于M点，∴OM∥PC，∴M是PA的中点，故A正确．‎ 设N为PB的中点，连接AN，∵PA与AB不相等，∴AN与PB不垂直，∴过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N一定不是PB的中点，故B错误．‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD，∴PA＝AC，PD＝DC，∴过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点，故C正确．‎ ‎∵AD∥BC，平面PAD与平面PCB有公共点P，‎ ‎∴l∥AD∥BC，故D正确．故选B.‎ ‎【答案】 B ‎3．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)‎ A．m∥l　　　　　　　　　　B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【解析】 由题意知，直线m与l以及直线m与n的位置关系不能确定，故A，B，D不正确．又n⊥β且l⊂β，则n⊥l.故选C.‎ ‎【答案】 C ‎4．(2017·江西南昌模拟)设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】 a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，l⊥a，l⊥b，若a∥b，l可以与平面α斜交，推不出l⊥α；若l⊥α，a，b是平面α内两条不同的直线，由线面垂直的性质定理，得l⊥a，l⊥b，∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分条件．故选C.‎ ‎【答案】 C ‎5．(2017·湖南衡阳模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)‎ A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行 ‎【解析】 如图，连接C1D，BD，AC，在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正确；‎ ‎∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，故B正确；∵A1B1与BD不平行，MN∥BD，∴MN与A1B1不平行，故D错误．故选D.‎ ‎【答案】 D ‎6．(2016·课标全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)‎ ‎【解析】 ①不正确．由m⊥n，m⊥α，可知n∥α或n⊂α.‎ 又n∥β，∴α∥β或α∩β＝l(但不一定垂直)．‎ ‎②正确．n∥α，则存在n′⊂α，n∥n′，又m⊥α，则必有m⊥n′，‎ ‎∴m⊥n.‎ ‎③正确．α∥β，则α内任一直线均与β平行，又m⊂α，∴m∥β.‎ ‎④正确．m∥n，∴m，n与α所成的角相等．又α∥β，∴n与α，β所成的角相等．∴m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 故答案为②③④.‎ ‎【答案】 ②③④‎ ‎7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．‎ ‎【解析】 EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的侧面有4个．‎ ‎【答案】 4‎ ‎8．(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．‎ ‎【解析】 如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.‎ ‎∵M为AD的中点，‎ ‎∴MK∥AN，‎ ‎∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．‎ ‎∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，‎ N为BC的中点，‎ 由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2，‎ ‎∴MK＝.‎ 在Rt△CKN中，CK＝＝.‎ 在△CKM中，由余弦定理，得 cos∠KMC＝＝.‎ ‎【答案】 ‎9．(2015·四川高考改编)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．‎ ‎【解析】 如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，‎ 连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中AG＝GP＝AP，所以∠APG＝.‎ ‎【答案】 ‎10．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E，F，G的平面交AD于点H.‎ ‎(1)求AH∶HD；‎ ‎(2)求证：EH，FG，BD三线共点．‎ ‎【解析】 (1)∵＝＝2，∴EF∥AC，‎ ‎∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，‎ 平面EFGH∩平面ACD＝GH，‎ ‎∴EF∥GH，∴AC∥GH.‎ ‎∴＝＝3，∴AH∶HD＝3∶1.‎ ‎(2)证明 ∵EF∥GH，且＝，＝，‎ ‎∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．‎ 令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，‎ 又P∈FG，FG⊂平面BCD，‎ 平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ ‎∴P∈BD.∴EH，FG，BD三线共点．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2016·上海闵行区期末调研)已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】 若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．‎ ‎【答案】 A ‎12．(2017·郑州第二次质量预测)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是(　　)‎ A．|BM|是定值 B．点M在某个球面上运动 C．存在某个位置，使DE⊥A1C D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE ‎【解析】 取DC中点F，连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得A、B正确．由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；A1C在平面ABCD中的射影与AC重合，AC与DE不垂直，可得C不正确．‎ ‎【答案】 C ‎13．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，‎ ‎①GH与EF平行；‎ ‎②BD与MN为异面直线；‎ ‎③GH与MN成60°角；‎ ‎④DE与MN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ ‎【解析】 还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.‎ ‎【答案】 ②③④‎ ‎14．已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．‎ ‎(1)求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ ‎【解析】 (1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．‎ 在Rt△EGF中 ，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，‎ 即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎15．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ ‎【解析】 (1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥PABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．‎ 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，‎ cos∠ADE＝＝.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎