甘肃省武威市第一中学2019年高三上学期10月月考数学（理）试题

甘肃省武威市第一中学2019年高三上学期10月月考数学（理）试题

武威一中2019年秋季学期阶段性考试 高三年级数学（理科）试卷 命题人：杨仑元 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝（ ）‎ A. {0，1，2} B. {－1，0，1，2} C. {－1，0，2，3} D. {0，1，2，3}‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．‎ 解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，‎ ‎∵N={﹣1，0，1，2，3}，‎ ‎∴M∩N={0，1，2}．‎ 故选A 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集定义是解本题的关键．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎2.已知命题p：x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,则p是 A. x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0‎ B. x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0‎ C. x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0‎ D. x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】全称命题的的否定是存在性命题,因为，命题p：x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,所以，p是x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0，故选C.‎ 考点：全称命题与存在性命题.‎ 点评：简单题，全称命题的的否定是存在性命题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 (　　)．‎ A. c>b>a B. b>c>a C. a>c>b D. a>b>c ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，，；且；.‎ 考点：对数函数的单调性.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得，所以，选C.‎ ‎5.已知，，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为所以选C．‎ 考点：比较大小 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.设函数,（ ）‎ A. 3 B. ‎6 ‎C. 9 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎.故选C.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.设，都是不等于的正数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.‎ 考点：命题与逻辑.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎8.已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由为偶函数得,所以,,所以,故选B.‎ 考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎9.如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．‎ ‎【详解】解：当时，，‎ 此时，，此时单调递增， 当在边上运动时，且时， 如图所示，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 当时，， 当在边上运动时，‎ 由对称性可知函数关于对称， 且，且轨迹为非线型， 排除A，C，D， ‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出时的解析式是解决本题的关键．‎ ‎10.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）‎ A. ，，‎ B. ，，‎ C. ，，‎ D. ，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C．‎ 考点：函数的图像 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11.设函数一定正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的是将的图象关于y轴对称，所以是其极大值点,错误；对于C中的是将的图象关x轴对称，所以才是其极小值点，错误；而对于D中的是将的图象关原点对称，故是其极小值点，正确.‎ 故选D.‎ ‎12.已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图像，根据对数函数的运算得到，再根据图像看出的范围，也即是的范围.‎ ‎【详解】画出函数图像如下图所示，由于，故，即，由推向可知，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查对数的运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若 .‎ ‎【答案】3；‎ ‎【解析】‎ 依题意，所以 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎14.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设切点，则由得：，所以点的坐标是.‎ 考点：利用导数求切点.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由有两个零点可得有两个根，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围 ‎【详解】解：∵有两个零点， ∴有两个根，即与的图象有两个交点， ‎ 由可得，或 ①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意 ②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意 ③当时，函数单调递增，故不符合题意 ④当时，函数单调递增，故不符合题意 ⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点 综上可得，或 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．‎ ‎16.已知函数，若对任意实数都有，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，则函数是奇函数，在上单调递减，，等价于，再利用奇偶性和单调性，得到关于的不等式，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：构造函数，则函数是奇函数，在上单调递减， ，等价于， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、考查学生解不等式的能力，正确构造函数是关键．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知.‎ ‎（1）求的定义域； ‎ ‎（2）求使成立的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2)答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用使对数有意义的条件，真数大于0，得到关于的不等式解之即可；‎ ‎（2）对和讨论，得到关于的不等式，解不等式即可．‎ ‎【详解】解：（1）由，得，故的定义域为.‎ ‎（2）①当时，由，‎ 得，‎ ‎∴.‎ ‎②当时，由，‎ 得，‎ ‎∴.‎ 故当时，所求的取值范围为；‎ 当时，所求的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数定义域求法，以及不等式解法；熟练掌握对数函数的性质是解答本题的关键.‎ ‎18.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．根据非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要条件，可得，1﹣m≤1+m，解得m范围．‎ ‎【详解】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．∴P=[﹣2，10]．‎ 非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S必要条件，‎ ‎∴，1﹣m≤1+m，解得0≤m≤3．‎ ‎∴m的取值范围是[0，3]．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19.已知函数的定义域为，并且满足，，且当时，． ‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）判断函数的奇偶性并证明；‎ ‎（3）判断函数的单调性，并解不等式．‎ ‎【答案】(1) (2) 是上的奇函数.证明见解析；(3) 是上的增函数，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）赋值令，则可求的值； （2）令，结合的值，可得结论； （3）利用单调性的定义，结合足，可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．‎ ‎【详解】（1）解：令，则，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解：令，得，‎ ‎∴，‎ 故函数是上的奇函数.‎ ‎（3）解：是上的增函数，证明如下：‎ 任取，，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故是上的增函数.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又由是定义在上的增函数，得，‎ 解之得，故．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数进行求解，即在上有解．可得在正数范围内至少有一个解，通过参变分离，转化为最值问题求解；‎ ‎（2）函数在上单调递减转化为的导函数在上小于等于零恒成立，进而转化为最值求解．‎ ‎【详解】解：（1）因为，，‎ 所以，.‎ 因为在上存在单调递减区间，‎ 所以当时，有解，即有解.‎ 设，所以只要即可.‎ 而，所以.所以.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎（2）因为在上单调递减，‎ 所以当时，恒成立，即恒成立.‎ 由（1）知，所以，‎ 而，‎ 因为，所以，所以（此时），所以，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解，考查同学们灵活运用知识解决问题的能力．‎ ‎21.设函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意，都有，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在单调递减，在单调递增（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的导函数，对的正负分类讨论来研究函数的单调性；‎ ‎（2）利用（1）的结论，将问题转化为，构造函数，研究其单调性及最值，可求出的取值范围．‎ ‎【详解】（1）．‎ 若，则当时，，；‎ 当时，，．‎ 若，则当时，，；‎ 当时，，．‎ 所以，在单调递减，在单调递增．‎ ‎（2）由（1）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值.‎ 所以对于任意，的充要条件是：，即①，‎ 设函数，则.‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 故在单调递减，在单调递增.‎ 又，，‎ 故当时，.‎ 即当时，，，即①式成立.‎ 当时，由的单调性，，即；‎ 当时，，即.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的作用以及转化思想，关键是观察的结构，构造函数，是一道难度较大题．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）和 ‎（Ⅱ）见解析；‎ ‎（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；‎ ‎(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；‎ ‎(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ），令得或者.‎ 当时，，此时切线方程为，即；‎ 当时，，此时切线方程为，即；‎ 综上可得所求切线方程为和.‎ ‎（Ⅱ）设，，令得 或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；‎ 而，所以，即；‎ 同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，‎ 所以是中的较大者，‎ 若，即时，；‎ 若，即时，；‎ 所以当最小时，，此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎