2020学年高二数学上学期第二次阶段性考试试题 文（含解析）

2020学年高二数学上学期第二次阶段性考试试题 文（含解析）

‎2017～2019年度高二年级第一学期第二次阶段检测 数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )‎ A. B. C. D. a|c|>b|c|‎ ‎【答案】C ‎【解析】A．取a=1，b=﹣2，则不成立；‎ B．取a=1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；‎ C．∵a＞b，c2+1＞0，∴，成立．‎ D．取c=0时，a|c|＞b|c|不成立．．‎ 故选：C．‎ ‎2. 已知“，”的否定是( )‎ A. ，， B. ，，‎ C. ，， D. ，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】特称命题的否定是全称命题，则“，”的否定是，.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3. 不等式的解集为（ ）‎ A. [-1,+ B. [-1,0) C. ( -,-1] D. (-,-1](0 ,+‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用排除法：‎ 当时，，不合题意，排除AD选项，‎ ‎........................‎ - 13 -‎ 本题选择B选项.‎ ‎4. 下列说法正确的是( )‎ A. ，yR，若x+y0，则x且y B. aR，“”是“a>1”的必要不充分条件 C. 命题“aR，使得”的否定是“R，都有”‎ D. “若，则a1则 的取值范围是（ ）‎ - 13 -‎ A. (-1,-] B. (-2, -] C. (-2, -] D. (-2, -)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意结合二次方程根的分布理论，满足题意时应有：‎ ‎，绘制不等式表示的平面区域如图所示，其中，‎ 目标函数的几何意义为可行域内的点与坐标原点之间连线的斜率，‎ 且，注意到可行域不包括边界区域，结合目标函数的几何意义可得：‎ 的取值范围是.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎12. 若关于x的不等式至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵关于x的不等式3−|x−a|>x2至少有一个负数解，‎ ‎∴关于x的不等式3−x2>|x−a|至少有一个负数解，‎ - 13 -‎ 作函数y=3−x2与y=|x−a|的图象如下，‎ 结合图象可知，‎ 关于x的不等式3−x2>|x−a|至少有一个负数解可化为：‎ 在y轴左侧,函数y=|x−a|的图象有在函数y=3−x2的图象的下方的部分，‎ 当y=|x−a|过点(0,3)，即a=3时，是临界值，‎ 当y=|x−a|在y轴左侧与y=3−x2的图象相切，‎ 即y′=−2x=1,即过点,即时，是临界值，‎ 结合图象可知，实数a的取值范围是.‎ 本题选择D选项.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13. 命题：“若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题是 ______.‎ ‎【答案】若a≠0且b≠0，则ab≠0‎ ‎【解析】“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是：若a≠0且b≠0，则ab≠0‎ ‎14. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】整理所给的方程即：，‎ 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则：，‎ 求解关于实数的不等式可得：.‎ ‎15. 设命题p：“已知函数对，f(x)恒成立”，命题q：“关于x的不等式有实数解”，若-p且q为真命题，则实数m的取值范围为 ______.‎ - 13 -‎ ‎【答案】(-3,-2][2,3)‎ ‎【解析】若命题真：，解得；‎ 若命题真：，解得；‎ ‎∵且为真，则假真，‎ ‎∴，解得，或；‎ ‎∴实数m的取值范围为.‎ ‎16. 若两个正实数x,y满足，且恒成立，则实数m的最大值是 ______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由题意可得：‎ 当且仅当时等号成立。‎ 要使恒成立,则16⩾m2−6m，解得−2⩽m⩽8，‎ 则实数m的最大值是8.‎ 故答案为：8.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程.‎ ‎（1）焦点在坐标轴上，且经过点A (,-2),B(-2,1)；‎ ‎（2）与椭圆有相同焦点且经过点M(,1).‎ - 13 -‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意利用待定系数法设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1，结合题意列出方程组可得椭圆方程为：；‎ ‎(2)由题意可得：椭圆的焦点为，设椭圆C的方程为:，利用待定系数法可得椭圆的标准方程为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n），根据题意可得：‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎∴所求椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎（2）由椭圆,可以知道焦点在x轴上,‎ ‎,,,则 椭圆C的两焦点分别为:和,‎ 设椭圆C的方程为:,‎ 把代入方程,得, ‎ 即, ‎ 或(舍), ‎ - 13 -‎ ‎ 椭圆C的方程为:.‎ 点睛：求椭圆的标准方程有两种方法 ‎①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．‎ ‎②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．‎ ‎18. 已知命题p：实数x满足，其中；和命题q：实数x满足.‎ ‎(1)若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若-p是-q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求解对数不等式和二次不等式可得：,；结合题意可得2 ‎ ‎(2)由题意可得,，且q是p的充分不必要条件，利用子集关系得到关于实数a的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围是 .‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，命题即：，求解一元二次不等式可得：,‎ 命题即：，求对数不等式可得；‎ ‎∵p∧q为真.∴2 ‎ ‎（2）,‎ ‎∵-p是-q的充分不必要条件，‎ ‎∴q是p的充分不必要条件，‎ ‎∴（2,3]⊊ (a,3a)‎ ‎∴ 即 .‎ ‎19. 在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b=，求△ABC的面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ - 13 -‎ ‎(1)利用正弦定理边化角结合三角函数的性质可得，则 . ‎ ‎(2)利用(1)的结论和余弦定理、均值不等式可得 ，结合面积公式可知的最大值为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵,‎ 由正弦定理得：‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴ . ‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ ‎∵,‎ ‎ ∴ 即 (当且仅当时取等号)‎ ‎∴‎ 的最大值为.‎ ‎20. 已知函数f(x)=.‎ ‎(1)当a>0时，解关于x的不等式f(x)<0；‎ ‎(2)若当a>0时，f(x)<0在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)分解因式，原不等式即，分类讨论可得：‎ ‎①当时，解集为{x|}；‎ ‎②当时，解集为；‎ ‎③当时，解集为{ x|}. ‎ ‎(2)结合题意分类讨论， ，三种情况可得实数a的取值范围是或 试题解析：‎ - 13 -‎ ‎（1）f(x)<0即即 ‎①当时，，不等式的解集为{x|}；‎ ‎②当时，，不等式的解集为；‎ ‎③当时，，不等式的解集为{ x|}. ‎ ‎（2）①当时，[1,2]⊆即；‎ ‎②当时，f(x)在[1,2]上恒成立，舍去；‎ ‎③当时，[1,2]⊆即，‎ 综上：或 ‎21. 设公差大于0的等差数列{}的前n项和为.已知，且，，成等比数列.记数列的前n项和为.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若对于任意的n，k恒成立，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得数列的通项公式为，裂项求和可得 ‎ ‎(2)结合(1)的结论有，利用均值不等式的结论可得，则实数k的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎(1)设公差为d，即即①‎ ‎∵,,成等比数列， ∴即即3d=2②‎ 由①②得,d=2‎ ‎∴，n ‎∴‎ - 13 -‎ ‎∴ ‎ ‎(2)k即 ‎∵，当且仅当n=3时取等号 ‎∴，当且仅当n=3时取等号 ‎∴.‎ 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎22. 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-（其中0xa，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元（不含促销费用），产品的销售价格定为5+万元/万件.‎ ‎(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；‎ ‎(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．‎ ‎【答案】（1）y=25-(+x)（其中， a为正常数）;（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）利润为总销售所得减去投入成本和促销费用，得y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x，又销售量t万件满足t=5－，整理化简可得y=25－（+x）；（2）将函数方程整理为对勾函数形式y =28－（+x+3），利用基本不等式得到= x +3，即x =3时，得到利润最大值为。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知，利润y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x 由销售量t万件满足t=5－（其中0≤x≤a，a为正常数）．‎ 代入化简可得：y=25－（+x），（0≤x≤a，a为正常数）‎ ‎（2）由（1）知y =28－（+x+3），‎ 当且仅当= x +3，即x =3时，上式取等号．‎ 当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大； ‎ - 13 -‎ 当0＜a＜3时，y在0≤x≤a上单调递增，‎ x = a，函数有最大值．促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大． ‎ 综上述，当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；‎ 当0＜a＜3时，促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大．‎ ‎ ‎ - 13 -‎