重庆市西南大学附属中学2020届高三上学期第五次月考数学（文）试题 含解析

重庆市西南大学附属中学2020届高三上学期第五次月考数学（文）试题 含解析

绝密★启用前 西南大学附属中学校高2020级第五次月考 文科数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 D ‎【解析】由题意可得，则，故选D．‎ ‎2．已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 D. 既不充分也必要条件 ‎【答案】：C. ‎ ‎【解析】：，当时，，点在第四象限，当点在第四象限时有，故“”是“点在第四象限”的充要条件，选C选项。‎ ‎3.本次高三数学考试有1万人次参加，成绩 服从正太分布，平均成绩为118分，标准差为10分，则分数在内的人数约为（ ）‎ ‎(参考数据 ‎)‎ ‎ (A).6667人 (B) .6827人 (C) .9545人 (D) .9973人 ‎【答案】：C ‎【解析】：‎ ‎4．已知的图象关于直线对称若存在使得恒成立且的最小值为则等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由题意得：恒成立且的最小值为 根据三角函数的图像对称轴方程为，因为 已知由不等式组确定的平面区域的面积为则的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 6. 已知A,B,C在圆上运动，且.若P的坐标为，则的最大值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得：设，‎ ‎，所以最大值是7‎ ‎7.一个三位数：个位，十位，百位上的数字为，当且仅当时，称这样的数为凸数，现从集合中取出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是凸数的概率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得：‎ 8. ‎《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵中，已知, ,,若阳马的外接球的表面积等于，则鳖臑的所有棱中，最长的棱的棱长为（ ） A.5   B. C.   D.8‎ ‎【答案】：C. ‎ ‎【解析】：解法一：设线段，外接求的半径为，由于已知得,所以 ‎，所以外接球的表面积为 ，解得.由于，所以鳖臑的所有棱中，最长的棱的棱长为，.故选C.‎ 解法二：……通过割补法知为外球球的直径，所以最长，因为,‎ 所以.‎ ‎【点评】 通过外接球的直径最长，直接求值.‎ ‎9.设函数，已知，则( )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】：B ‎【解析】：为R上的偶函数，且在上是增函数，‎ 又，‎ 所以 ‎10.已知正项数列的前n项和，且 ，若数列，数列的前2020项和为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】：由得，整理得 因为所以当时 所以，‎ ‎11．设函数在R上存在导函数，对任意的实数x都有，若．则实数m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】：令，则不增 又 故所求不等式即，故选A．‎ ‎12．在△ABC中，A>B，BC=10，，，若点P是△ABC所在平面内任意一点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】：如图，作，D在边BC上，则 在△ACD中，，则 由正弦定理知：CD=4AD=4BD，则BC=CD+BD=5BD=10‎ 故BD=AD=2，CD=8，又，故，则 又，即，故选D．‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．曲线与直线所围成的封闭图形的面积是 ‎【答案】‎ ‎【解析】考查定积分：‎ ‎14．已知函数，若有4个零点，则m的取值范围是 ‎【答案】‎ ‎【解析】：‎ 令，则等价于；‎ 由图像可知，当，有两个解，因为有4个零点；‎ 所以在上有两个不相等的实数根，‎ ‎，所以m 的取值范围是 ‎15．已知函数下列说法中正确的是 ‎①的值域是；‎ ‎②当时，方程有两个不等的实根；‎ ‎③若函数有三个零点时，则；‎ ‎④经过有三条直线与相切.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】：由图可得 16. 如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为.若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为.则 （1） 双曲线的离心率；‎ （2） 菱形的面积与矩形的面积的比值.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）；（2） . ‎ ‎【解析】【方法一】（1）直线的方程为，点到直线的距离为，所以， ‎ ‎（2），设 ‎【方法二】（1）直线的方程为，点到直线的距离为，所以， ‎ ‎（2），设 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知等比数列的前项和为，且当时，是与的等差中项（为实数）.‎ 求的值及数列的通项公式；‎ 令是否存在正整数,使得对任意正整数均成立？若存在,求出的最大值,若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】,.4.‎ ‎【解析】‎ ‎18.如图，是平面四边形的一条对角线，已知,且.‎ ‎（1）求证：是等腰直角三角形；‎ ‎（2）若,求四边形面积的最大值。‎ ‎【解析】‎ ‎，,即：‎ 又 ‎,即 是等腰直角三角形.‎ ‎（2）记,‎ ‎ 在中，‎ 又由（1）可知是等腰直角三角形.‎ 四边形的面积 ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时，等号成立。‎ ‎19.设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的的概率均为。假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立。‎ ‎（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多天”为事件，求事件发生的概率。‎ ‎【解析】（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天之前到校的的概率均为，故,从而 所以，随机变量的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 随机变量的数学期望 ‎（2）设乙同学上学期间的每周五天中之前到校的天数为,则,‎ 且事件 由题意知，事件与与互斥，‎ 且事件与，与，与均相互独立，从而由（1）知：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.已知函数 ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，对任意的，存在，使得成立，试确定实数的取值范围。‎ ‎【解析】（1）‎ 当时，恒成立，此时在上为增函数；‎ 当时，令，‎ 令，‎ 综上所述，当时，函数的增区间为；‎ 当时，函数的增区间为，减区间为。‎ ‎（2） 对任意的，存在，使得成立 ‎ 对任意的，存在，使得成立 设 ，则 ‎ 问题转化为：对任意的，存在，使得成立 ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ 而恒成立，‎ 上是增函数， ‎ ‎ ‎ ‎ 有（1）可知道，当，在上是增函数， ‎ 当，在上是减函数， ‎ 当，在上是增函数，上是减函数，或，或或 ‎ 综上所述，的取值范围是 ‎21.已知椭圆的左右焦点分别是点若三角形的内切圆的半径与外接圆的半径之比是 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）点是椭圆的左顶点，是椭圆上异与左右顶点的两点，设直线的斜率分别为若，试问直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标;若不过，请说明理由.‎ ‎【答案】：（1） （2） ‎ ‎【解析】： ‎ （1） 由题可得 令内切圆半径为 所以 ‎ ‎ ‎ 解得椭圆方程为 ‎(2)当斜率不存在时 ‎ 当斜率存在时令为，‎ ‎ 得 ‎ ‎ 所以 ‎ 又所以 ‎ 所以 ‎ 整理可得 所以或 ‎ 当时直线过定点舍去 当时直线过定点 ‎ 综上所述过定点 ‎【点评】注意斜率存在与不存在的讨论，题为常见的联立使用韦达定理.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．‎ 本小题满分分选修坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中直线的参数方程为为参数以坐标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为 求直线的普通方程以及曲线的参数方程 过曲线上任意一点作与直线的夹角为的直线交于点求的最小值 ‎【解析】(1).直线l的普通方程为，曲线C的参数方程为，‎ ‎（2），最小值为，‎ ‎23．选修4-5 不等式选讲．‎ 已知实数，，．‎ ‎（1）若，求的最小值．‎ ‎（2）若，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）略 ‎【解析】（1）由，可得，‎ 又.‎ ‎（2）证：，当且仅当 时取等号，得证.‎