数学理卷·2018届福建省闽侯第六中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届福建省闽侯第六中学高三上学期期中考试（2017

福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期中考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3. 对于直线和平面，下列条件中能得出的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4.执行如图的程序框图，如果输入，则输出的值为（ ）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎5.已知为等差数列，，则的前9项和（ ）‎ A．9 B．17 C．36 D．81‎ ‎6.已知函数，则函数的图象为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数,‎ 则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）‎ A．64 B． C．16 D．‎ ‎9.是所在平面内一点，，则是点在内部（不含边界）的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 ‎10. 命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 数列满足，且，记为数列的前项和，则（ ）‎ A．294 B．174 C．470 D．304‎ ‎12.已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中为自然对数的底数，‎ 则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．或 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有 种.（用数字作答）‎ ‎14.设分别是双曲线的左、右焦点，点，若，‎ 则双曲线的离心率为 .‎ ‎15.已知函数，若曲线在点，（，其中 互不相等）处的切线互相平行，则的取值范围是 .‎ ‎16. 若数列满足：，且，数列满足 ‎，则数列的最大项为第 项．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知分别为三个内角的对边，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎18. 甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，‎ 乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）.‎ ‎（1）求甲获得比赛胜利的概率；‎ ‎（2）设比赛结束时的局数为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎19.如图，在直三棱柱中，，是的中点，是的中点，点在线段上，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若直线与平面成角的正弦值为，求的大小.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，设点为椭圆上任意一点，直线和椭圆交于两点，且直线与轴分别交于两点，试探究和之间的等量关系并加以证明.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的极值点；‎ ‎（2）当时，若恒成立，试求的最大值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当取最大值时，设，并设函数有两个零点，求证：.‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.已知点在圆直径的延长线上，切圆于点，分别交于点，.‎ ‎（1）求证：为的平分线；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎23. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，从极点作圆的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求的极坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线的参数方程为（为参数，且)，与交于点，与交于点，且，求的值.‎ ‎24. 已知均为正实数，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CBCBD 6-10: DCDBD 11、12：DB 二、填空题 ‎13. 48 14. 2 15. 16. 6‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 即 又 ∴ ‎ 即 ∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，即 又由题意知，‎ ‎∴.(当时等式成立.）‎ ‎∴‎ ‎18.解：（1）设比赛局数分别为3,4,5时，甲获胜分别为事件，‎ 则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得:‎ ‎,‎ 所以由互斥事件的概率加法公式可得，‎ 甲获胜的概率为 ‎（2）由题意可知，的取值为3,4,5，‎ 则,,‎ 所以，的分布列为 ‎∴的数学期望 ‎19.证明：（1）取中点，记为点，连结 ‎∵为中点，为中点 ‎∴‎ 又∵,‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴平面平面 又平面 ‎∴平面 ‎（2）∵两互相垂直，‎ ‎∴建立如图所示空间直角坐标系，‎ 设，则各点的坐标分别为:‎ ‎，‎ ‎∴‎ 设平面的法向量为，则，∴，‎ 取， 则可得平面的一组法向量 ‎∴，‎ 又因为，∴，∴或（舍）‎ 即，∴，∴‎ ‎20.解：∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆方程为 ‎（2）， ‎ 证明如下：‎ 设，则，‎ 直线方程为 令,则 ‎∴‎ 同理 ‎∵和均为锐角，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴与互余，‎ ‎∴‎ ‎ 21.解：（1）时，，∴在单调递增，在 单调递减，故函数有唯一的极大值点，无极小值点 ‎（2）时，，设，‎ 则.‎ 当时，则，所以在单调递増，又且时，与题意矛盾， 舍.‎ 当时，则，所以在单调递増，单调递减，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故的最大值为1.‎ ‎（3）由（2）知，当取最大值1时，‎ ‎，‎ 记 方法一 ：，设，则，‎ 若，则恒成立，所以函数在单调递增，与题意不符，舍.‎ 若，则，∴在单调递増，在单调递减，所以若函数有两个零点，则只需，解得.‎ 不妨设，则，‎ 设，则，‎ 化简可得，所以函数在单调递增，‎ ‎∴时，，∴，又因为，且 函数在单调递减，∴，∴，即，‎ 所以成立.‎ 方法二：不妨设，由题意，‎ 则，‎ 欲证，只需证明：，只需证明：，即证：，‎ 即证，设，只需证明：，‎ 也就是证明：‎ 记，∴，‎ ‎∴在 单调递増，‎ ‎∴，所以原不等式成立. ‎ ‎22.（1）证明：∵为圆的切线，∴，‎ 又∵为直径，∴，∴.‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴为的平分线 ‎ ‎（2）解：，∴，又，‎ ‎∴，‎ 所以 ‎23.解：（1）设上任意一点的极坐标为 则点在圆上，故，‎ 所以的极坐标方程为 ‎ ‎（2）两点的极坐标分别为，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 故，所以或 ‎ ‎24.证明：（1）∵，‎ ‎∴‎ 又∵‎ 由题中条件知，‎ ‎∴‎ 即 ‎（2）∵‎ 同理：‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎