【数学】2020届一轮复习北师大版反证法与放缩法学案
三 反证法与放缩法
1．反证法
(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．
(2)反证法证明不等式的一般步骤：
①假设命题不成立；
②依据假设推理论证；
③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．
2．放缩法
(1)放缩法证明的定义：
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．
(2)放缩法的理论依据有：
①不等式的传递性；
②等量加不等量为不等量；
③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
利用反证法证明问题
[例1] 已知f(x)＝x2＋px＋q.
求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
[思路点拨] “至少有一个”的反面是“一个也没有”．
[证明] (1)f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.
(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，
则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.
而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾，
∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性命题、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．
(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．
1．实数a，b，c不全为0的等价条件为( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
解析：选D “不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”．
2．设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
证明：假设4a(1－b)>1,4b(1－c)>1,4c(1－d)>1，
4d(1－a)>1，
则有a(1－b)>，b(1－c)>，
c(1－d)>，d(1－a)>.
∴>，>，
>，>.
又∵≤，≤，
≤，≤，
∴>，>，
>，>.
将上面各式相加得2>2，矛盾．
∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)
b.
当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．
当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)，
于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立．
故a(x＋y＋z)．
[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．
[证明] ＝
≥ ＝≥x＋.
同理可得 ≥y＋，
≥z＋，
由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：
＋＋>＋＋＝(x＋y＋z)．
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．
(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．
4．已知a，b是正实数，且a＋b＝1，求证：＋<.
证明：因为＋<＋
＝＝，
所以原不等式得证．
5．已知n∈N＋，求证：＋＋…＋<2.
证明：因为<＝，<＝，…，
<＝，
所以＋＋…＋<＝n2＋n，
又因为n2＋n<2，
所以原不等式得证．
1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )
A．两个都是偶数
B．一个是奇数，一个是偶数
C．至少一个是偶数
D．恰有一个是偶数
解析：选C 假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．
2．设x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系为( )
A．M＞N B．M＜N
C．M＝N D．不确定
解析：选B N＝＋＞＋＝＝M.
3. 否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．
4．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋，b＋，c＋的值( )
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
解析：选C 假设都大于－2，
则a＋＋b＋＋c＋>－6，
∵a，b，c均小于0，
∴a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2，
∴a＋＋b＋＋c＋≤－6，
这与假设矛盾，则选C.
5．M＝＋＋＋…＋与1的大小关系为________．
解析：M＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
<＋＋＋…＋＝1，即M<1.
共210项
答案：M<1
6．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为____________．
解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n＋1条”．
答案：直径的数目至少为n＋1条
7．A＝1＋＋＋…＋与(n∈N＋)的大小关系是________．
解析：A＝＋＋＋…＋≥＋＋…＋＝ n项
＝.
答案：A≥
8．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，且ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明：假设a，b，c，d都是非负数．
由a＋b＝c＋d＝1，知a，b，c，d∈[0,1]．
从而ac≤≤，bd≤≤.
∴ac＋bd≤＝1.即ac＋bd≤1.
与已知ac＋bd>1矛盾，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
9．求证：＋＋＋…＋<2.
证明：因为<＝－，
所以＋＋＋…＋
<1＋＋＋…＋
＝1＋＋＋…＋
＝2－<2.
10．已知α，β∈， 且sin(α＋β)＝2sin α.求证α<β.
证明：假设α≥β.
①若α＝β，由sin(α＋β)＝2sin α，得sin 2α＝2sin α，
从而cos α＝1，这与α∈矛盾，故α＝β不成立．
②若α>β，则sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α，
所以cos αsin β＝(2－cos β)sin α，即＝.
因为α>β，且α，β∈，所以sin α>sin β.
从而>1，即cos α>2－cos β，
即cos α＋cos β>2，这是不可能的，所以α>β不成立．
由①②可知假设不成立，故原结论成立．
