2017-2018学年福建省长泰县第一中学高二上学期期末考试 数学（理） Word版

2017-2018学年福建省长泰县第一中学高二上学期期末考试 数学（理） Word版

长泰一中2017/2018学年上学期期末考试 ‎ 高二理科数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，合计60分)‎ ‎1．x>2是的 ‎ A. 充分不必要条件 　　 B.必要不充分条件 ‎ C. 既充分也必要条件 　　D.既不充分也不必要条件 ‎2 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，‎ 则的值是（ ）‎ A． B． C．6 D． ‎ ‎３．已知“”，则下列命题正确的是 ‎ A．、都不为 B．、至少有一个为 ‎ C．、至少有一个不为 D．不为且为，或不为且为 ‎４．若不等式的解集为，则a－b的值是 A.－10 B.－14 C.10 D.14‎ ‎５．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则点到平面的距离为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎６．已知等比数列是递增数列，，，则公比 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．若，，，则，2，，中最大的一个是 A．　 B．　2 C． D．　‎ ‎８．在双曲线的右支上过右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么 ‎△F1PQ的周长为 ‎ A．　28 　　B．　　　C．　　　　D．　‎ ‎9.数列{an}的通项公式an＝ncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等于 ‎ ‎(　　) A．1 006 B．2 012 C．503 D．0‎ ‎１０．椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）‎ ‎ A 3 B C D ‎１１．在△ABC中，其面积为，则角A的对边的长为（ ）‎ Ａ．　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ． ‎ ‎ １2.已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。‎ 则的最小值为（ ）‎ ‎ A. 　 B. 　 C. 　 D.　‎ 二．填空题：本大题共4个小题. 每小题4分；共16分．将答案填在题中横线上．‎ ‎13. 已知向量，，则k= ．‎ ‎14．已知 求的最小值_____________．‎ 15． 如果椭圆 的弦被点A（4，2）平分，则这弦所在直线方程的斜率是 ‎ ‎16．已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2.‎ 设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，Tn的最小值为 ．‎ 三．解答题：本大题共6个小题. 共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.，求u＝lg x＋lg y的最大值；‎ ‎(2)求不等式x2－4x－5>0的解集 ‎18.（本小题满分12分）已知，命题 “函数在上单调递减”，‎ 命题 “关于的不等式对一切的恒成立”，若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎19．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为，向量 ，且满足。‎ ‎（1）若，求角；‎ ‎（2）若，△ABC的面积，求△ABC的周长。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面平面，，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎.已知等差数列的前项和为，且，等比数列中，‎ ‎.(1)求；（2）求数列的前项和 ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知双曲线的两条渐近线分别为.‎ ‎（1）求双曲线的离心率；‎ ‎（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，‎ 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。‎ 参考答案 一、选择题：‎ ‎ 1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 6.D 7.A 8.C 9A 10.D 11. D 12.D 二、填空题:‎ ‎13．理或 14．5 15．-0.5 16． ‎16解：因为(an＋1)2＝4Sn，‎ 所以Sn＝，Sn＋1＝.‎ 所以Sn＋1－Sn＝an＋1＝，‎ 即4an＋1＝a－a＋2an＋1－2an，‎ ‎∴2(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．(4分)‎ 因为an＋1＋an≠0，‎ 所以an＋1－an＝2，‎ 即{an}为公差等于2的等差数列．‎ 由(a1＋1)2＝4a1，解得a1＝1，‎ 所以an＝2n－1.(6分)‎ ‎(2)由(1)知bn＝＝，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝ ‎＝ ‎＝－.(10分)‎ ‎∵Tn＋1－Tn＝－－ ‎＝－ ‎＝＞0，‎ ‎∴Tn＋1＞Tn.‎ ‎∴数列{Tn}为递增数列，(13分)‎ ‎∴Tn的最小值为T1＝－＝ 三、 解答题:‎ ‎17.解　(1)∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.‎ ‎∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．‎ 因此有解得 此时xy有最大值10.‎ ‎∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.‎ ‎∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.‎ ‎（2）{x|x<－1或x>5}‎ ‎18. 解：为真：；……2分；‎ 为真：，得，‎ 又，………5分 因为为假命题，为真命题，所以命题一真一假……7分 ‎（1）当真假……………9分 ‎（2）当假真 无解 …………11分 综上，的取值范围是…………………12分 ‎19.（1）…‎ ‎ ……7分 ‎（2） ……9分 ‎ ……12…‎ ‎ 12分 ‎20.解解法一：（Ⅰ）在底面中，，，‎ 所以，，所以， ‎ 所以， 1分 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面， 2分 又平面，所以， 3分 又即，‎ 又， 4分 所以平面.　 5分 ‎（Ⅱ）分别延长和相交于一点，连结，则直线即为所求直线， 6分 在平面内过作（如图），‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，又，‎ 所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），另设， 7分 则，，，，‎ 所以，， 8分 设是平面的法向量，‎ 则即 9分 令，得. 10分 显然是平面的一个法向量. 11分 设二面角的大小为（为锐角）.‎ 所以，‎ 所以二面角的的余弦值为. 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一；　 5分 ‎（Ⅱ）分别延长和相交于一点，连结，则直线即为所求直线， 6分 分别取中点和，连结，，‎ ‎ 所以，又，所以，‎ 又因为，为的中点，所以， ‎ 又平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，‎ 所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），另设， 7分 则，，，，‎ 所以，， 8分 设是平面的法向量，‎ 则即， 9分 令，得. 10分 显然是平面的一个法向量. 11分 设二面角的大小为（为锐角）.‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值为. 12分 ‎21.解：‎ （1） ‎，‎ ‎，‎ （2） ‎22.解：⑴由渐近线可知，由基本量关系式求；⑵设直线，再根据条件建立k,m的两个方程．‎ ‎【解析】解法一：(1)∵双曲线的渐近线分别为，……………1分 ‎∴，有，即，于是双曲线的离心率；…3分 ‎(2)由(1)知，双曲线E的方程为.设直线与轴相交于点，‎ 当轴时，若直线与双曲线E有且只有一个公共点，‎ 则，又因为的面积为8，‎ ‎∴，即，解得，‎ 此时双曲线E的方程为.……………………………………………6分 若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为.‎ 以下证明：当直线不与轴垂直时，双曲线也满足条件，……7分 设直线的方程，依题意，得或，………………………8分 则，记，‎ 由得，同理，‎ 由得，‎ 即，……………………………………………………10分 由得，∵，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，即直线与双曲线E有且只有一个公共点.……………………………12分 因此，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程只能为…………………………………………………… ……………13分 方法二：(1)同方法一；‎ ‎(2)由(1)知，双曲线E的方程为.‎ 设直线的方程为，，依题意得，‎ 由得，同理，‎ 设直线与轴相交于点，则，‎ 由得，∴，‎ 由得，∵，‎ ‎∴直线与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当 ‎，即，‎ ‎∴，即，有，‎ 因此，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程只能为.‎ 方法三：(1)同方法一；‎ ‎(2)当直线不与轴垂直时，设直线，，‎ 依题意得或，‎ 由得，由，，得，‎ 又因为的面积为8，所以，而，‎ ‎∴，化简得，∴，即，‎ 由(1)得双曲线E的方程为，‎ 由得，‎ 因为，直线与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当 ‎，即，有，‎ ‎∴双曲线E的方程为，‎ 当轴时，由的面积为8，可得，又知与双曲线 有且只有一个公共点，‎ 综上，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程只能为.‎