2018届二轮复习数列的概念与简单表示法课件（文）（江苏专用）

2018届二轮复习数列的概念与简单表示法课件（文）（江苏专用）

§6.1 　数列的概念与简单表示 法 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 数列的定义 按照 排列 的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列 的 . 2. 数列的分类 知识梳理 一定次序 项 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数 ____ 无穷数列 项数 ____ 有限 无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 a n ＋ 1 a n 其中 n ∈ N * 递减数列 a n ＋ 1 a n 常数列 a n ＋ 1 ＝ a n 摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 > < 3. 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别 是 、 和 . 4. 数列的通项公式 如果数列 { a n } 的第 n 项 与 之间 的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 . 列表法 图象法 解析法 序号 n 1. 若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，通项公式为 a n ， 知识 拓展 3. 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列 . 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 所有数列的第 n 项都能使用公式表达 .( 　　 ) (2) 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 .( 　　 ) ( 3)1 ， 1 ， 1 ， 1 ， … ，不能构成一个数列 .( 　　 ) (4) 任何一个数列不是递增数列，就是递减数列 .( 　　 ) (5) 如果数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则对 ∀ n ∈ N * ，都有 a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 － S n . ( 　　 ) × √ × × √ 考点自测 1.( 教材改编 ) 下列有四种说法，其中正确的说法是 .( 填序号 ) ① 数列 a ， a ， a ， … 是无穷数列； ② 数列 0 ，－ 1 ，－ 2 ，－ 3 ， … 不一定是递减数列； ③ 数列 { f ( n )} 可以看作是一个定义域为正整数 N * 或它的有限 子集 { 1 ， 2 ， … ， n } 的函数值； ④ 已知数列 { a n } ，则数列 { a n ＋ 1 － a n } 也是一个数列 . 答案 解析 ①②④ 题中 ①④ 显然正确； 对于 ② ，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列； 对于 ③ ，数列可以看作是一个定义域为正整数 N * 或它的有限子集 {1 ， 2 ， … ， n } 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以 ③ 不正确 . 答案 解析 答案 解析 答案 解析 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 2 ，当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ n 2 ＋ 1 － [( n － 1) 2 ＋ 1] ＝ 2 n － 1 ， 5. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 ＋ 1 ，则 a n ＝ . 答案 解析 题型分类　深度剖析 题型一　由数列的前几项求数列的通项公式 例 1 　 (1)(2016· 南京模拟 ) 数列 1 ， 3 ， 6 ， 10 ， … 的通项公式 是 . 答案 解析 观察 数列 1 ， 3 ， 6 ， 10 ， … 可以发现 1 ＝ 1 ， 3 ＝ 1 ＋ 2 ， 6 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ， 10 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ， … 答案 解析 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1) 常用方法：观察 ( 观察规律 ) 、比较 ( 比较已知数列 ) 、归纳、转化 ( 转化为特殊数列 ) 、联想 ( 联想常见的数列 ) 等方法 . (2) 具体策略： ① 分式中分子、分母的特征； ② 相邻项的变化特征； ③ 拆项后的特征； ④ 各项的符号特征和绝对值特征； ⑤ 化异为同，对于 分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间 的关系； ⑥ 对于符号交替出现的情况，可用 ( － 1) k 或 ( － 1) k ＋ 1 ， k ∈ N * 处 理 . 思维 升华 跟踪训练 1 　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式 . (1) － 1 ， 7 ，－ 13 ， 19 ， … ； (2)0.8 ， 0.88 ， 0.888 ， … ； 数列中各项的符号可通过 ( － 1) n 表示，从第 2 项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大 6 ，故通项公式为 a n ＝ ( － 1) n (6 n － 5 ). 解答 解答 解答 各项的分母分别为 2 1 ， 2 2 ， 2 3 ， 2 4 ， … ，易看出第 2 ， 3 ， 4 项的绝对值的分子分别比分母小 3 . 因此把第 1 项 变为 ， 题型二　由 a n 与 S n 的关系求通项公式 例 2 　 (1)(2016· 南通模拟 ) 若数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ ， 则 { a n } 的通项公式 a n ＝ . 答案 解析 ( － 2) n － 1 两式 相减，整理得 a n ＝－ 2 a n － 1 ， ∴ a 1 ＝ 1 ， ∴ { a n } 是首项为 1 ，公比为－ 2 的等比数列，故 a n ＝ ( － 2) n － 1 . (2) 已知下列数列 { a n } 的前 n 项和 S n ，求 { a n } 的通项公式 . ① S n ＝ 2 n 2 － 3 n ； 解答 a 1 ＝ S 1 ＝ 2 － 3 ＝－ 1 ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ (2 n 2 － 3 n ) － [2( n － 1) 2 － 3( n － 1)] ＝ 4 n － 5 ， 由于 a 1 也适合此等式， ∴ a n ＝ 4 n － 5. ② S n ＝ 3 n ＋ b . 解答 a 1 ＝ S 1 ＝ 3 ＋ b ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ (3 n ＋ b ) － (3 n － 1 ＋ b ) ＝ 2·3 n － 1 . 当 b ＝－ 1 时， a 1 适合此等式； 当 b ≠ － 1 时， a 1 不适合此等式 . ∴ 当 b ＝－ 1 时， a n ＝ 2·3 n － 1 ； 已知 S n ，求 a n 的步骤 (1) 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ； (2) 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ； ( 3) 对 n ＝ 1 时的情况进行检验，若适合 n ≥ 2 的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 2 n － 3 ，则数列 { a n } 的 通项 公式 为 . 答案 解析 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝－ 1 ； 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 n － 1 ， (2) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 － 9 n ，则其通项 a n ＝ ；若它的第 k 项满足 5< a k <8 ，则 k ＝ . 答案 解析 2 n － 10 8 又 ∵ － 8 也适合 a n ＝ 2 n － 10 ， ∴ a n ＝ 2 n － 10 ， n ∈ N * . 由 5<2 k － 10<8 ， ∴ 7.5< k <9 ， ∴ k ＝ 8 . 题型三　由数列的递推关系求通项公式 例 3 　 根据下列条件，确定数列 { a n } 的通项公式 . (1) a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ ln(1 ＋ ) ； ∵ a n ＋ 1 ＝ a n ＋ ln(1 ＋ ) ， ∴ a n ＝ ( a n － a n － 1 ) ＋ ( a n － 1 － a n － 2 ) ＋ … ＋ ( a 2 － a 1 ) ＋ a 1 ＝ 2 ＋ ln n ( n ≥ 2). 又 a 1 ＝ 2 适合上式，故 a n ＝ 2 ＋ ln n ( n ∈ N * ). 解答 ∵ a n ＋ 1 ＝ 2 n a n ， ∴ ＝ 2 n － 1 ( n ≥ 2) ， (2) a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 n a n ； ＝ 2 n － 1 ·2 n － 2 · … ·2·1 ＝ 2 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ ( n － 1) ＝ . 又 a 1 ＝ 1 适合上式，故 a n ＝ . 解答 ∵ a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ， ∴ a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1) ， 又 a 1 ＝ 1 ， ∴ a 1 ＋ 1 ＝ 2 ， 故数列 { a n ＋ 1} 是首项为 2 ，公比为 3 的等比数列， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2·3 n － 1 ，故 a n ＝ 2·3 n － 1 － 1. (3) a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2. 解答 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1) 当出现 a n ＝ a n － 1 ＋ m 时，构造等差数列 . (2) 当出现 a n ＝ xa n － 1 ＋ y 时，构造等比数列 . (3) 当出现 a n ＝ a n － 1 ＋ f ( n ) 时，用累加法求解 . (4) 当 出现 ＝ f ( n ) 时，用累乘法求解 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (1) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a n ＝ · a n － 1 ( n ≥ 2 且 n ∈ N * ) ， 则 a n ＝ . 答案 解析 以上 ( n － 1) 个式子相乘得 当 n ＝ 1 时也满足此等式， ∴ a n ＝ . (2) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n ＝ 2 a n － 1( n ∈ N * ) ，则 a 5 ＝ . 当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ 2 a 1 － 1 ， ∴ a 1 ＝ 1. 当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 － 1 ， ∴ a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ， ∴ a n ＝ 2 a n － 1 . ∴ { a n } 是等比数列且 a 1 ＝ 1 ， q ＝ 2 ， 故 a 5 ＝ a 1 × q 4 ＝ 2 4 ＝ 16. 答案 解析 16 题型四　数列的性质 命题点 1 　数列的单调性 例 4 　 已知 a n ＝ ， 那么数列 { a n } 是 数列 .( 填 “ 递减 ”“ 递增 ” 或 “ 常 ” ) 答案 解析 递增 a n ＝ 1 － ， 将 a n 看作关于 n 的函数， n ∈ N * ，易知 { a n } 是递增数列 . 命题点 2 　数列的周期性 例 5 　 数列 { a n } 满足 a n ＋ 1 ＝ ， a 8 ＝ 2 ，则 a 1 ＝ . 答案 解析 ∴ 周期 T ＝ ( n ＋ 1) － ( n － 2) ＝ 3. ∴ a 8 ＝ a 3 × 2 ＋ 2 ＝ a 2 ＝ 2. 命题点 3 　数列的最值 例 6 　 若 数列 { a n } 的通项 a n ＝ ， 则数列 { a n } 中的最大项的 值是 . 答案 解析 (1) 解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ① 用作差比较法，根据 a n ＋ 1 － a n 的符号判断数列 { a n } 是递增数列、递减数列还是常数列 . ② 用作商比较法， 根据 ( a n ＞ 0 或 a n ＜ 0) 与 1 的大小关系进行判断 . ③ 结合相应函数的图象直观判断 . (2) 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值 . (3) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解 . 思维 升华 答案 解析 ∴ { a n } 为周期数列且 T ＝ 4 ， ∴ a 2 015 ＝ a 503 × 4 ＋ 3 ＝ a 3 ＝ . 由 二次函数性质，得当 n ＝ 2 或 3 时， a n 最大，最大值为 0 . (2) 设 a n ＝－ 3 n 2 ＋ 15 n － 18 ，则数列 { a n } 中的最大项的值是 . 0 答案 解析 解决 数列问题的函数思想 思想与方法系列 12 典例 　 (1) 数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ ( n ＋ 1 )·( ) n ，则此数列的最大项是第 项 . (2) 若 a n ＝ n 2 ＋ kn ＋ 4 且对于 n ∈ N * ，都有 a n ＋ 1 > a n 成立，则实数 k 的取值范围是 . 答案 解析 思想方法指 导 9 或 10 ( － 3 ，＋ ∞ ) (1) 可以将数列看成定义域为正整数集上的函数 ； ( 2) 数列的最值可以根据单调性进行分析 . (1) ∵ a n ＋ 1 － a n 当 n <9 时， a n ＋ 1 － a n >0 ，即 a n ＋ 1 > a n ； 当 n ＝ 9 时， a n ＋ 1 － a n ＝ 0 ，即 a n ＋ 1 ＝ a n ； 当 n >9 时， a n ＋ 1 － a n <0 ，即 a n ＋ 1 < a n ， ∴ 该数列中有最大项，且最大项为第 9 、 10 项 . (2) 由 a n ＋ 1 > a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式 a n ＝ n 2 ＋ kn ＋ 4 ， 所以 ( n ＋ 1) 2 ＋ k ( n ＋ 1) ＋ 4> n 2 ＋ kn ＋ 4 ， 即 k > － 1 － 2 n ，又 n ∈ N * ，所以 k > － 3 . 课时作业 所 给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子 . 很容易归纳出数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ( － 1) n ＋ 1 · ， 故 a 10 ＝ . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016· 苏州模拟 ) 已知函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 R . 当 x <0 ， f ( x )>1 ，且对任意的实数 x ， y ∈ R ，等式 f ( x ) f ( y ) ＝ f ( x ＋ y ) 恒成立 . 若数列 { a n } 满足 a 1 ＝ f (0) ，且 f ( a n ＋ 1 ) ＝ ( n ∈ N * ) ，则 a 2 015 的值为 . 根据题意，不妨设 f ( x ) ＝ ( ) x ，则 a 1 ＝ f (0) ＝ 1 ， ∵ f ( a n ＋ 1 ) ＝ ， ∴ a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 2 ， ∴ 数列 { a n } 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列 ， ∴ a n ＝ 2 n － 1 ， ∴ a 2 015 ＝ 4 029 . 答案 解析 4 029 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(2016· 无锡月考 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 则 其前 6 项之和为 . 答案 解析 a 2 ＝ 2 a 1 ＝ 2 ， a 3 ＝ a 2 ＋ 1 ＝ 3 ， a 4 ＝ 2 a 3 ＝ 6 ， a 5 ＝ a 4 ＋ 1 ＝ 7 ， a 6 ＝ 2 a 5 ＝ 14 ， 所 以前 6 项和 S 6 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 7 ＋ 14 ＝ 33. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 33 4. 若数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 2 ， a 2 ＝ 3 ， a n ＝ ( n ≥ 3 且 n ∈ N * ) ，则 a 2 018 ＝ . ∴ 数列 { a n } 具有周期性， T ＝ 6 ， ∴ a 2 018 ＝ a 336 × 6 ＋ 2 ＝ a 2 ＝ 3. 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ a n ＋ a n ＋ 1 ＝ ， a 2 ＝ 2 ， 5. 数列 { a n } 满足 a n ＋ a n ＋ 1 ＝ ( n ∈ N * ) ， a 2 ＝ 2 ， S n 是数列 { a n } 的前 n 项和 ， 则 S 21 ＝ . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n ＝ 2 n 2 － 1 ，则 a 3 ＝ . a 3 ＝ S 3 － S 2 ＝ 2 × 3 2 － 1 － (2 × 2 2 － 1) ＝ 10. 答案 解析 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 数列 { a n } 中，已知 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ( n ∈ N * ) ，则 a 7 ＝ . 由已知 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a n ＋ 2 ， a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， 能够计算出 a 3 ＝ 1 ， a 4 ＝－ 1 ， a 5 ＝－ 2 ， a 6 ＝－ 1 ， a 7 ＝ 1. 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S n ＝ 2 a n － n ，则 a n ＝ . 当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ a 1 ＝ 2 a 1 － 1 ，得 a 1 ＝ 1 ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － n － 2 a n － 1 ＋ ( n － 1) ， 即 a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 1 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2( a n － 1 ＋ 1) ， ∴ 数列 { a n ＋ 1} 是首项为 a 1 ＋ 1 ＝ 2 ，公比为 2 的等比数列 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2·2 n － 1 ＝ 2 n ， ∴ a n ＝ 2 n － 1. 答案 解析 2 n － 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *9.(2016 · 无锡 期末 ) 对于数列 { a n } ，定义数列 { b n } 满足 b n ＝ a n ＋ 1 － a n ( n ∈ N * ) ，且 b n ＋ 1 － b n ＝ 1 ( n ∈ N * ) ， a 3 ＝ 1 ， a 4 ＝－ 1 ，则 a 1 ＝ . 因为 b 3 ＝ a 4 － a 3 ＝－ 1 － 1 ＝－ 2 ， 所以 b 2 ＝ a 3 － a 2 ＝ b 3 － 1 ＝－ 3 ， 所以 b 1 ＝ a 2 － a 1 ＝ b 2 － 1 ＝－ 4 ， 三式 相加可得 a 4 － a 1 ＝－ 9 ， 所以 a 1 ＝ a 4 ＋ 9 ＝ 8. 答案 解析 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 在一个数列中，如果 ∀ n ∈ N * ，都有 a n a n ＋ 1 a n ＋ 2 ＝ k ( k 为常数 ) ，那么这个 数列叫做等积数列， k 叫做这个数列的公积 . 已知数列 { a n } 是等积数列，且 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ，公积为 8 ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 12 ＝ . 依题意得数列 { a n } 是周期为 3 的数列 ， 且 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， a 3 ＝ 4 ， 因此 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 12 ＝ 4( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ) ＝ 4 × (1 ＋ 2 ＋ 4) ＝ 28 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 28 11. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 ＋ 1 ，数列 { b n } 满足 b n ＝ ， 且前 n 项和为 T n ，设 c n ＝ T 2 n ＋ 1 － T n . (1) 求数列 { b n } 的通项公式； ∵ a 1 ＝ 2 ， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 n － 1( n ≥ 2 ). 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 判断数列 { c n } 的增减性 . ∵ c n ＝ b n ＋ 1 ＋ b n ＋ 2 ＋ … ＋ b 2 n ＋ 1 ∴ { c n } 是递减数列 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知 S n 为正项数列 { a n } 的前 n 项和 ， (1) 求 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 的值 ； 同理， a 3 ＝ 3 ， a 4 ＝ 4 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . ① － ② 得 ( a n － a n － 1 － 1)( a n ＋ a n － 1 ) ＝ 0. 由于 a n ＋ a n － 1 ≠ 0 ，所以 a n － a n － 1 ＝ 1 ， 又由 (1) 知 a 1 ＝ 1 ， 故数列 { a n } 为首项为 1 ，公差为 1 的等差数列 ，故 a n ＝ n . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 已知数列 { a n } 中， a n ＝ 1 ＋ ( n ∈ N * ， a ∈ R 且 a ≠ 0). (1) 若 a ＝－ 7 ，求数列 { a n } 中的最大项和最小项的值； ∵ a n ＝ 1 ＋ ( n ∈ N * ， a ∈ R 且 a ≠ 0) ， 又 a ＝－ 7 ， ∴ a n ＝ 1 ＋ ( n ∈ N * ). 结合函数 f ( x ) ＝ 1 ＋ 的 单调性， 可知 1 ＞ a 1 ＞ a 2 ＞ a 3 ＞ a 4 ， a 5 ＞ a 6 ＞ a 7 ＞ … ＞ a n ＞ 1( n ∈ N * ). ∴ 数列 { a n } 中的最大项为 a 5 ＝ 2 ，最小项为 a 4 ＝ 0 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若对任意的 n ∈ N * ，都有 a n ≤ a 6 成立，求 a 的取值范围 . 已知对任意的 n ∈ N * ，都有 a n ≤ a 6 成立， 结合函数 f ( x ) ＝ 1 ＋ 的 单调性， 可知 5 ＜ ＜ 6 ，即－ 10 ＜ a ＜－ 8 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13