【推荐】专题2-4 二次函数与幂函数-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题2-4 二次函数与幂函数-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

考点分析 ‎ 从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质. ‎ 融会贯通 考点一　幂函数的图象和性质 ‎【例1】幂函数y=‎xα（α是常数）的图象（）‎ A. 一定经过点‎(0,0)‎ B. 一定经过点‎(-1,-1)‎ C. 一定经过点‎(1,1)‎ D. 一定经过点‎(1,-1)‎ ‎【答案】C 考点：幂函数的性质.‎ ‎【变式训练1】幂函数y=f(x)‎的图象经过点‎(3,‎3‎‎3‎)‎，则f(x)‎是（ ）‎ A. 偶函数，且在‎(0,+∞)‎上是增函数 ‎ B. 偶函数，且在‎(0,+∞)‎上是减函数 C. 奇函数，且在‎(0,+∞)‎上是增函数 ‎ D. 非奇非偶函数，且在‎(0,+∞)‎上是增函数 ‎【答案】C ‎【解析】设幂函数为f(x)=‎xα ，代入点‎(3,‎3‎‎3‎)‎，解得α=‎‎1‎‎3‎，所以f(x)=‎x‎1‎‎3‎，可知函数是奇函数，且在‎(0,+∞)‎ 上是增函数，故选C.‎ ‎【变式训练2】【2017届云南曲靖一中高三上月考】已知幂函数的图象过点，且，则的范围是（ ）‎ A. B.或 ‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】因为幂函数的图象过点， 所以，是偶函数，且在上递减，在上递增，由得，解得或，故选B. ‎ 考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.‎ ‎【例2】【2017届福建福州外国语学校高三上学期期中数学】已知函数是幂函数且幂函数是(0,+∞)上的增函数,则的值为（ ）‎ A．2 B．－1 C．－1或2 D．0‎ ‎【答案】B ‎【变式训练】【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学（文）】已知：幂函数在上单调递增； ，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 .0‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由题意，命题幂函数 在上单调递增，则 ，又，故是的充分不必要条件，选A.‎ ‎【知识链接】‎ ‎(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎(2)幂函数的图象比较 ‎(3)幂函数的性质比较 ‎ 函数 特征 ‎ ‎ 性质 y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ 定义域 R R R ‎[0，＋∞)‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ 值域 R R ‎{y|y∈R ‎[0，＋∞)‎ ‎[0，＋∞)‎ 且y≠0}‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减 ‎【解题方法与技巧】‎ ‎1．幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．‎ ‎2．在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ‎ 考点二　二次函数的图象与性质 命题一：二次函数与不等式 ‎【例1】已知函数.‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集是，求实数、的值.‎ ‎【答案】（1）;（2）， .‎ ‎【变式训练】已知函数.‎ ‎（1）若关于的不等式的解集是，求实数的值；‎ ‎（2）若，，解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1），（2）当时，解集为；‎ 当时，解集为. ‎ ‎【解析】（1）由题是方程的两根.‎ 代入有，∴ ‎ ‎（2）当时， ‎ ‎∵，∴化为 ‎①当，即时，解集为或 ‎ ‎②当，即时，解集为或 ‎ 综上，时，解集为；‎ 时，解集为. ‎ ‎【知识链接】‎ ‎1、二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．‎ ‎2、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系 当的图像与x轴无交点无实根 的解集为或者是R; ‎ 当的图像与x轴相切有两个相等的实根 的解集为或者是R;z.xxk 当的图像与x轴有两个不同的交点有两个不等的实根 的解集为或者是.‎ 命题二：二次函数的单调性 ‎【例1】【2017届福建连城县一中高三上期中数学（文）】已知函数，若，则与的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D.与a的值无关 ‎【答案】C 考点：二次函数图象与性质.‎ ‎【例2】如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a的取值范围是（ ）‎ A．a≤3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵抛物线函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2开口向上，‎ 对称轴方程是x=1﹣a，在区间[4，+∞）上递增，‎ ‎∴1﹣a≤4，解得a≥﹣3．‎ 故选B．‎ ‎【变式训练】已知函数且．‎ ‎（1）若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域；‎ ‎（2）若函数在区间上递减，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ 考点：1.二次函数的值域；2.二次函数的单调性..0‎ ‎【例3】【2017届江苏泰州中学高三上学期月考】函数在区间上为单调函数，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数的对称轴为,所以当或时,即或时函数单调,故应填答案.‎ 考点：二次函数的图象和性质及运用．‎ ‎【变式训练1】【江苏省张家港2016-2017学年高二期中数学（文】若函数在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是____.‎ ‎【答案】（1，3）‎ ‎【解析】因为函数的对称轴为 ，函数在 不单调， ，解得： ，故答案为 .‎ 命题三：二次函数根的分布 ‎【例1】一元二次方程的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记，由已知得，解得．‎ ‎【变式训练】已知关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【知识链接】‎ 设一元二次方程（）的两实根为，，且.为常数.则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理.‎ ‎【定理1】；‎ ‎【定理2】；‎ ‎【定理3】.‎ 推论1 .‎ 推论2 .‎ ‎【定理4】或 ‎【定理5】或 ‎【定理6】在区间内有且只有一根，则，且检验等号．‎ ‎【解题方法与技巧】‎ 二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． ‎ 命题四：二次函数的最值 ‎【例1】【2016-2017学年江苏省泰州中学高二期中数学（文）】若函数的定义域为 ‎，值域为，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【变式训练1】已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题，对称轴为：.则，。‎ 结合图形 ‎ 考点：二次函数的单调性及数形结合思想。‎ ‎【变式训练2】若函数的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的取值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【例2】函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，1）上有最小值，则a的取值范围是（ ）‎ A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，f（x）=（x﹣a）2﹣a2+a ‎∴函数的对称轴为x=a．‎ 若a≥1，则函数在区间（﹣∞，1）上是减函数，因为是开区间，所以没有最小值 所以a＜1，此时x=a时有最小值 故选A．‎ 考点：二次函数在闭区间上的最值．‎ ‎【变式训练1】已知定义在上的函数在上是减函数，当时，的最大值与最小值之差为，则的最小值为（ ）‎ A． B．1 ‎ C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】 函数的对称轴是,且函数在上单调递减,所以,即,故在区间递减,所以,‎ ‎,,,且函数的对称轴为,所以在上单调递减,,故选B.‎ ‎【变式训练2】【2017届宁夏育才中学高三上月考文数】已知函数.‎ ‎（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数在上的最大值为3，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【知识链接】‎ ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．‎ ‎③零点式：f(x)＝a(x－x1) (x－x2)(a≠0)．‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增 在x∈上单调递减在x∈上单调递增 对称性 函数的图象关于x＝－对称 常用结论 ‎(1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根.‎ ‎(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1−x2|=.‎ ‎(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0(). ‎ 考点三　二次函数的应用(多维探究)‎ 命题角度一　二次函数的恒成立问题 ‎【例1】不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B．[-2,2] C．（-2,2] D．‎ ‎【答案】C ‎【例2】二次函数满足，且.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）在区间上恒成立，试确定实数的范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】（1）由题设 ‎∵ ∴‎ 又 ‎∴‎ ‎∴∴∴‎ ‎∴…………6分 ‎（2）当时，恒成立，即 ‎【变式训练】已知二次函数满足，且.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求函数在区间上的值域；‎ ‎（3）当时，不等式恒成立，求实数的范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ 令，‎ 对称轴在的右边，开口向上，‎ ‎∴在上递减，∴， ‎ ‎【例3】【江苏省泰州中学2016-2017学年高二期中数学（文）】设函数，其中.‎ ‎（1）若，求函数在区间上的取值范围；‎ ‎（2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ 当，即时，由，得，‎ 从而.‎ 综上， 的取值范围为区间.‎ ‎（3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，‎ 所以“对任意的，都有”等价于“”.‎ ‎①当， .‎ 由，得.‎ 从而.‎ ‎【例4】已知二次函数f(x)‎的最小值为‎1‎，且f(0)=f(2)=3‎.‎ ‎（1）求f(x)‎的解析式；‎ ‎（2）若f(x)‎在区间‎[3a,a+1]‎上不单调，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）在区间x∈[-1,1]‎上，y=f(x)‎的图象恒在y=2x+2m+1‎的图象上方，试确定实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(1) f(x)=2x‎2‎-4x+3‎;(2) ‎02x+2m+1‎在区间‎[-1,1]‎上恒成立，‎ 即x‎2‎‎-3x+1-m>0‎在区间‎[-1,1]‎上恒成立，‎ 设g(x)=x‎2‎-3x+1-m，‎ 则只要g‎(x)‎min>0‎，‎ 而g‎(x)‎min=g(1)=-1-m，‎ 得m<-1‎.‎ ‎【变式训练】已知为定义在R上的奇函数，当时，为二次函数，且满足， 在上的两个零点为1和3． ‎ ‎（1）求函数在R上的解析式；‎ ‎（2）若时，函数的图像恒在的上方，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎（2）若时，函数的图像恒在 的上方，则时，函数 的最小值大于．‎ 当时，其最小值为, f（－2）=－1， ‎ 当时，函数的图像开口向下，‎ 令=-3，解得x=0或x=4， 综上可知，. ‎ ‎【例5】【2016-2017学年河北省定州市高二期末文数】已知函数f(x)=x‎2‎-2x,g(x)=ax-1‎，若‎∀x‎1‎∈[-1,2],∃x‎2‎∈[-1,2]‎，使得f(x‎1‎)=g(x‎2‎)‎，求a的取值范围.‎ ‎【答案】详见解析 命题角度二　二次函数的零点问题 ‎【例1】【河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学（文）】已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得 ，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为 ）：‎ ‎，‎ 而 ，所以直线过C取最大值 ，过B点取最小值， 的取值范围是，选A.‎ ‎【变式训练】【江西省瑞昌二中2016-2017学年高二段考数学（文）】已知二次函数，且函数在上恰有一个零点，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C 知识交汇 ‎【例1】是函数在上单调递增的__________条件．‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】若函数是单调递增函数，当时， 是单调递增函数，若 ‎ ，解得 ，综上，若函数在上是单调递增，即 ，所以是函数在上单调递增的充分不必要条件，故填：充分不必要.‎ ‎【变式训练】若命题函数在区间上是减函数，若非是假命题，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为非是假命题，所以命题函数在区间上是减函数，为 真命题，要使函数在区间上是减函数，只需 ，解得 ， 的取值范围是，故答案为. ‎ ‎【例2】【湖北省七市（州）2017届高三第一次联考数学（文）】已知函数，且，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 练习检测 ‎1.【2017届湖南长沙高三统一模拟文数】已知函数，则（ ）‎ A. ，使得 B. ‎ C. ，使得 D. 使得 ‎【答案】B ‎【解析】 ，函数的定义域为 ，函数的值域为 ，并且函数是单调递增函数，这样A不成立， 根据单调性可知也不成立，D.应改为 ，故选B.=‎ ‎2.函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是（ ）‎ A．[2，+∞） B．[2，4] C．（﹣∞，2] D．[0，2]‎ ‎【答案】B ‎3.【2017届福建连城县一中高三上期中数学（文）】已知函数，若，则与的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D.与a的值无关 ‎【答案】C ‎【解析】二次函数开口向下，对称轴为，由于，即关于对称，所以比远离对称轴，所以.‎ ‎4.【2017届福建连城县三中高三文上期中数学】已知函数，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时,,即;当时,,则或,即.‎ 综上可得原不等式的解集为或,故应选D. ‎ ‎5.【2016届江苏省清江中学高三考前一周双练三模】若二次函数（）的值域为，则的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得,且,则,令,则 ‎6.【2016届江苏省淮安市高三5月信息卷（最后一模）】在区间上存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二次函数图像知：当时，，即；当时，，即；综上实数的取值范围是 ‎7.【2016届湖南省师大附中等高三四校联考】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】∵，∴，‎ 又∵在上单调递增，∴，即实数的取值范围是，故填：．‎ ‎8.【2016届浙江省温州市高三一模文数】已知函数．‎ ‎（1）视讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若，对于，不等式都成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1），当时，的单调增区间为，，单调减区间为，当时，的单调增区间为，当时，的单调增区间为，，单调减区间为；（2）设，‎ ‎9.【2016-2017学年江西上饶高二期末考试文数】已知函数f(x)=ax‎2‎+bx+c（a,b,c∈R），当x∈[-1,1]‎时，恒有‎|f(x)|≤1‎，‎ ‎（1）求证：‎|b|≤1‎；‎ ‎（2）f(0)=-1‎，f(1)=1‎，求f(x)‎的表达式.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎f(x)=2x‎2‎-1‎ ‎【解析】（1）证：‎∵f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c ‎ ‎∴b=‎1‎‎2‎[f(1)-f(-1)]‎‎ ‎ ‎∵x∈[-1,1]，|f(x)|≤1‎‎ ‎‎∴f(1)≤1,f(-1)≤1‎ ‎∴b=‎1‎‎2‎[f(1)-f(-1)]≤‎1‎‎2‎[|f(1)|+|f(-1)|]≤1‎‎ ‎ ‎（2）由f(0)=-1,f(1)=1,得c=-1,b=2-a ‎ ‎ ‎‎∴f(x)=ax‎2‎+(2-a)x-1,∵x∈[-1,1]，|f(x)|≤1‎ ‎ ‎‎∴|f(-1)|≤1,|2a-3|≤1,1≤a≤2‎ ‎∴a-2‎‎2a=‎1‎‎2‎-‎1‎a∈[-1,1]‎ ‎:|f(a-2‎‎2a)|=|a‎(a-2‎‎2a)‎‎2‎+(2-a)(a-2‎‎2a)-1|≤1‎‎ ‎ ‎|‎(a-2)‎‎2‎‎4a+1|≤1‎ a>0,‎(a-2)‎‎2‎‎4a≥0,‎(a-2)‎‎2‎‎4a+1≥1‎‎ ‎‎∴‎(a-2)‎‎2‎‎4a=0,a=2,b=0‎ ‎∴f(x)=2x‎2‎-1‎‎ ‎ ‎10.【2015-2016学年广州执信等四校联考高二文】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1．‎ ‎（Ⅰ） 求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ） 若关于x的不等式f（x）﹣t＞0在[﹣1，2]上有解，求实数t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ） 若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）f（x）=x2﹣2x+2．（Ⅱ）（﹣∞，5）（Ⅲ）‎ ‎ ‎