西藏山南市第二高级中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题
数学（文科）试卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将答题卡收回。
第Ⅰ卷 选择题
一．单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合A={x|–1
1}，则A∪B=（ ）
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞）
2.复数 (为虚数单位)的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3.函数的定义域为（ ）
A. （-∞，3）∪（3，+∞） B. [，3）∪（3，+∞）
C. [，+∞） D. （3，+∞）
4.在等差数列中，若，则（ ）
A. 8 B. 12 C. 14 D. 10
5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6.设且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
7.若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 0
8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
9.若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是（ ）
A. 1 B. -3 C. 1或 D. -3或
10.根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（ ）
A. 1 B. C. D.
11.已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 第10题图
12.关于x的不等式的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. (－∞,－1)∪(3,+∞) B. (－1,3) C. (1,3) D. (－∞,1)∪(3,+∞)
第Ⅱ卷 非选择题
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.若，且，则的最小值是__________.
14.已知向量，，若，则实数m=__________.
15.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取__________人．
16.已知函数，则曲线在处的切线斜率为__________.
三． 解答题（共70分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17.（本题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知，角为锐角，的面积为.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
18.（本题满分12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
19.（本题满分12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（2）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（3）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
20.（本题满分12分）已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，.
（1）求抛物线的方程；
（2）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程.
21.（本题满分12分）已知函数，当时，有极大值3；
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的极小值及单调区间.
（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）
已知直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）
已知．
（1）已知关于x的不等式有实数解，求a的取值范围；
（2）求不等式的解集．
数学（文科）答案
时间：150分钟 分值：150分
第Ⅰ卷 选择题
一．单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合A={x|–11}，则A∪B=（ C ）
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞）
2.复数 (为虚数单位)的共轭复数是（ A ）
A. B. C. D.
3.函数的定义域为（ B ）
A. （-∞，3）∪（3，+∞） B. [，3）∪（3，+∞）
C. [，+∞） D. （3，+∞）
4.在等差数列中，若，则（ C ）
A. 8 B. 12 C. 14 D. 10
5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ D ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6.设且，则下列不等式成立的是（ A ）
A. B. C. D.
7.若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( C )
A. B. 1 C. 2 D. 0
8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
9.若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( D )
A. 1 B. -3 C. 1或 D. -3或
10.根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（ C ）
A. 1 B. C. D.
11.已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ C ）
A. B. C. D.
12.关于x的不等式的解集是(1,+∞)，则关于x的不等式的解集是 （ A ）
A. (－∞,－1)∪(3,+∞) B. (－1,3) C. (1,3) D. (－∞,1)∪(3,+∞)
解析：由的解集为(1,+∞)可知：且
令，解得：，
的解集为：.
第Ⅱ卷 非选择题
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若，且，则的最小值是____8__.
14.已知向量，，若，则实数m=__-2____.
15.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取___300__人．
16.已知函数，则曲线在处的切线斜率为__-2______.
三． 解答题（共70分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17.（本题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知，角为锐角，的面积为.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
解析：（1）∴，
∵为锐角，∴；…………………………………………………………………6分
（2）由余弦定理得： .………………………………12分
18.（本题满分12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
解析：（1）证明：取PD中点G，连结
为的中位线，且，
又且，且，
∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，
又面，面，面；………………………………5分
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面面，为正三角形，
面，且，
连交于，可得，
，则，即．
连，又，
可得平面，则，
即是二面角的平面角，……………………………………………9分
在中，
∴，即二面角的正切值为．…………12分
19. （本题满分12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（2）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（3）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
解析：（1）设这名学生考核优秀为事件，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率约为…………………………………………………………………3分
（2） 设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件，
因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，
所以……………………………………………………………………………7分
（3）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．……………………………………………………12分
20.（本题满分12分）已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，.
（1）求抛物线的方程；
（2）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程.
解析：（1）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．（*）
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．……………2分
因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x．…………………………………………………………5分
（2）由（1）（*）化为y2－4my＋8＝0．
y1＋y2＝4m，y1y2＝8．…………………………………………………………………………6分
设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ①
又， ②………………………………8分
由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，．……………………………………………………………………10分
所以，直线的方程为，或． ………………………12分
21.（本题满分12分）已知函数，当时，有极大值3；
（1）求a，b的值；
（2）求函数f(x)的极小值及单调区间.
解析：（1）由题意，函数，则，
由当时，有极大值，则，……………………………………4分
解得.……………………………………………………………………………5分
（2）由（1）可得函数的解析式为，
则，………………………………………………………7分
令，解得，
令，解得或，………………………………………………………10分
所以函数的单调减区间为，递增区间为，
当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.……12分
（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）
已知直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值.
解析：（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：………………2分
曲线极坐标方程可化为：
则曲线的直角坐标方程为：，即.………………………5分
（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：
设两点对应的参数分别为：，则，
.………………………10分
23. [选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）
已知．
（1）已知关于x的不等式有实数解，求a的取值范围；
（2）求不等式的解集．
解析：(1)因为不等式有实数解，所以………………………2分
因为，所以………………4分
故.……………………………………………………………………………………5分
（2）…………………………………………………………6分
①当时，，所以，故
②当时，，所以，故
③当时，，所以，故…………………9分
综上，原不等式的解集为.……………………………………………………10分
