高考卷 07 高考数学山东卷（理科）详细解析

高考卷 07 高考数学山东卷（理科）详细解析

2007 年高考数学山东卷（理科）详细解析 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，选择 符合题目要求的选项。 1 若 cos sinz i   （i 为虚数单位），则 2 1z   的 值可能是 （A） 6  （B） 4  （C） 3  （D） 2  【答案】:D【分析】：把 2  代入验证即得。 2 已知集合  1,1M   ， 11 2 4,2 xN x x Z        ，则 M N  （A） 1,1 （B）  1 （C） 0 （D）  1,0 【答案】:B【分析】：求  11 2 4, 1,02 xN x x Z          。 3 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （A） (1),(2) （B） (1),(3) （C） (1),(4) （D） (2),(4) 【答案】:D【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。 4 设 11,1, ,32a      ，则使函数 y x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 值为 （A）1,3 （B） 1,1 （C） 1,3 （D） 1,1,3 【答案】:A【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 5 函数 sin(2 ) cos(2 )6 3y x x     的最小正周期和最大值分别为 （A） ,1 （B） , 2 （C） 2 ,1 （D） 2 , 2 【答案】:A【分析】：化成 sin( )y A x   的形式进行判断即 cos2y x 。 6 给 出 下 列 三 个 等 式 ： ( ) ( ) ( )f xy f x f y  ， ( ) ( ) ( )f x y f x f y  ， ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) f x f yf x y f x f y    。下列函数中不满足其中任何一个等式的是 （A） ( ) 3xf x  （B） ( ) sinf x x （C） 2( ) logf x x （D） ( ) tanf x x 【答案】:B【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现 A，C 满足其中的一个等式，而 D 满足 ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) f x f yf x y f x f y    ，B 不满足其中任何一个等式. 7 命题“对任意的 x R ， 3 2 1 0x x   ”的否定是 （A）不存在 x R ， 3 2 1 0x x   （B）存在 x R ， 3 2 1 0x x   （C）存在 x R ， 3 2 1 0x x   （D）对任意的 x R ， 3 2 1 0x x   【答案】:C【分析】：注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。 8 某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如 下方式分成六组：第一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二组，成绩大于等于 14 秒 且小于 15 秒；……第六组，成绩大于等于 18 秒且小于 19 秒。右图是按上述分组方法得到 的频率分布直方图。设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x ，成绩大于等 于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y ，则从频率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为 （A） 0.9,35 （B） 0.9,45 （C） 0.1,35 （D） 0.1,45 O 13 14 15 16 17 18 19 【答案】: A.【分析】：从频率分布直方图上可以看出 0.9x  ， 35y  . 9 下列各小题中， p 是 q 的充要条件的是 （1） : 2p m   或 6m  ； 2: 3q y x mx m    有两个不同的零点。 （2） ( ): 1;( ) f xp f x   : ( )q y f x 是偶函数。 （3） :cos cos ;p   : tan tanq   。 （4） : ;p A B A  : U Uq C B C A 。 （A） (1),(2) （B） (2),(3) （C） (3),(4) （D） (1),(4) 0.36 0.34 0.18 0.06 0.04 0.02 【答案】: D.【分析】：（2）由 ( ) 1( ) f x f x   可得 ( ) ( )f x f x  ，但 ( )y f x 的定义域不一 定关于原点对称；（3）  是 tan tan  的既不充分也不必要条件。 10 阅读右边的程序框图，若输入的 n 是 100，则输出的变量 S 和 T 的值依次是 （A） 2500,2500 （B） 2550,2550 （C） 2500,2550 （D） 2550,2500 【答案】:D.【试题分析】：依据框图可得 100 98 96 ... 2 2550S       ， 99 97 95 ... 1 2500T       。 11 在直角 ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A） 2 AC AC AB    （B） 2 BC BA BC    （C） 2 AB AC CD    （D） 2 2 ( ) ( )AC AB BA BCCD AB         否 是 开 始 输入n S S n  结束 2?n  输 出 ,S T 0, 0S T  1n n  T T n  1n n  【答案】:C.【分析】： 2 ( ) 0 0AC AC AB AC AC AB AC BC                ，A 是 正确的，同理 B 也正确，对于 D 答案可变形为 2 2 2 2 CD AB AC BC      ，通过等积变换 判断为正确. 12 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为 向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 1 2 .质点 P 移动 5 次后位于点 (2,3) 的概率为 （A） 51( )2 （B） 2 5 5 1( )2C （C） 3 3 5 1( )2C （D） 2 3 5 5 5 1( )2C C 【答案】:B.【分析】：质点在移动过程中向右移动 2 次向上移动 3 次，因此质点 P 移动 5 次后位于点 (2,3) 的概率为 2 2 3 5 1 1( ) (1 )2 2P C  。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，答案须填在题中横线上。 13． 设O 是坐标原点，F 是抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点，A 是抛物线上的一点，FA  与 x 轴正向的夹角为 60 ，则 OA  为________. 【答案】: 21 2 p【分析】：过 A 作 AD x 轴于 D，令 FD m ，则 2FA m ， 2p m m  ， m p 。 2 2 21( ) ( 3 ) .2 2 pOA p p p     14．设 D 是不等式组 2 10 2 3 0 4 1 x y x y x y          表示的平面区域,则 D 中的点 ( , )P x y 到直线 10x y  距 离的最大值是_______. 8 6 4 2 -10 -5 5 10 【答案】: 4 2.【分析】：画图确定可行域，从而确定 (1,1) 到直线直线 10x y  距离的最 大为 4 2. 15．与直线 2 0x y   和曲线 2 2 12 12 54 0x y x y     都相切的半径最小的圆的标准 方程是_________. 【答案】:. 2 2( 2) ( 2) 2x y    【分析】：曲线化为 2 2( 6) ( 6) 18x y    ，其圆心到 直线 2 0x y   的距离为 6 6 2 5 2. 2 d    所求的最小圆的圆心在直线 y x 上，其 到直线的距离为 2 ，圆心坐标为 (2,2). 标准方程为 2 2( 2) ( 2) 2x y    。 14 12 10 8 6 4 2 -2 -10 -5 5 10 16．函数 log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a     的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 1 0mx ny   上,其中 0mn  ,则 1 2 m n  的最小值为_______. 【答案】: 8。【分析】：函数 log ( 3) 1( 0, 1)ay x a a     的图象恒过定点 ( 2, 1)A   ， ( 2) ( 1) 1 0m n       ， 2 1m n  ， , 0m n  ， 1 2 1 2 4 4( ) (2 ) 4 4 2 8.n m n mm nm n m n m n m n             三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)（本小题满分 12 分）设数列 na 满足 2 1 * 1 2 33 3 ...3 , .3 n n na a a a n N     (I)求数列 na 的通项; (II)设 ,n n nb a  求数列 nb 的前 n 项和 nS . 解：: (I) 2 1 1 2 33 3 ...3 ,3 n n na a a a    2 2 1 2 3 1 13 3 ...3 ( 2),3 n n na a a a n       1 1 13 ( 2).3 3 3 n n n na n     1 ( 2).3n na n  验证 1n  时也满足上式， *1 ( ).3n na n N  (II) 3n nb n  ， 2 31 3 2 3 3 3 ... 3n nS n        2 3 12 3 3 3 3 3n n nS n        1 13 32 31 3 n n nS n      ， 1 11 33 32 4 4 n n n nS        18（本小题满分 12 分）设 b c和 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 表示方 程 2 0x bx c   实根的个数(重根按一个计). (I)求方程 2 0x bx c   有实根的概率; (II) 求 的分布列和数学期望; (III)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 2 0x bx c   有实根的概率. 解：:（I）基本事件总数为 6 6 36  ， 若使方程有实根，则 2 4 0b c    ，即 2b c 。 当 1c  时， 2,3,4,5,6b  ； 当 2c  时， 3,4,5,6b  ； 当 3c  时， 4,5,6b  ； 当 4c  时， 4,5,6b  ； 当 5c  时， 5,6b  ； 当 6c  时， 5,6b  , 目标事件个数为5 4 3 3 2 2 19,      因此方程 2 0x bx c   有实根的概率为 19 .36 (II)由题意知， 0,1,2  ，则 17( 0) 36P    ， 2 1( 1) ,36 18P     17( 2) 36P    ， 2 3 4 13 1 3 2 3 3 3 ... 3n nS n         故 的分布列为  0 1 2 P 17 36 1 18 17 36  的数学期望 17 1 170 1 2 1.36 18 36E        (III)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M，“方程 2 0ax bx c   有实根” 为事件 N，则 11( ) 36P M  ， 7( ) 36P MN  ， ( ) 7( ) ( ) 11 P MNP N M P M   . 19（本小题满分 12 分）如图,在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中,已知 1 2 2DC DD AD AB   , AD DC , AB DC . (I)设 E 是 DC 的中点,求证: 1 1D E A BD 平面 ; (II)求二面角 1 1A BD C  的余弦值. E D1 C1 B1 A1 D C B A 解：:(I)连结 BE ，则四边形 DABE 为正方形， 1 1BE AD A D   ，且 1 1BE AD A D  ， 1 1A D EB四边形 为平行四边形， 1 1D E A B  . 1 1 1 1D E A BD A B A BD  平面 ， 平面 ， 1 1 .D E A BD  平面 (II) 以 D 为原点， 1, ,DA DC DD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系， 不妨设 1DA  ，则 1 1(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,2,2), (1,0,2).D A B C A 1 (1,0,2), (1,1,0).DA DB    设 ( , , )n x y z 为平面 1A BD 的一个法向量， 由 1,n DA n DB     得 2 0 0 x y x y      ，取 1z  ，则 ( 2, 2,1)n    . 设 1 1 1( , , )m x y z 为平面 1C BD 的一个法向量， 由 ,m DC m DB     得 1 1 1 1 2 2 0 0 y z x y      ， 取 1 1z  ,则 (1, 1,1)m   . 3 3cos , .39 3 m nm n m n             由于该二面角 1 1A BD C  为锐角，所以所求的二面角 1 1A BD C  的余弦值为 3 .3 (20)（本小题满分 12 分）如图,甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定 方向匀速直线航行,当甲船位于 1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105 的方向 1B 处,此时两船相 距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 2B 处,此时 两船相距10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结 1 2A B ， 2 2 10 2A B  ， 1 2 20 30 2 10 260A A    ， 1 2 2A A B 是等边三角形， 1 1 2 105 60 45B A B      ， 在 1 2 1A B B 中，由余弦定理得 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 cos45 220 (10 2) 2 20 10 2 2002 B B A B A B A B A B            ， 北 1B 2B 1A 2A120 105 乙 甲 1 2 10 2.B B  因此乙船的速度的大小为10 2 60 30 2.20   答：乙船每小时航行30 2 海里. (21)（本小题满分 12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦 点的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 :l y kx m  与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆 过椭圆 C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标. 解：(I)由题意设椭圆的标准方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     3, 1a c a c    ， 22, 1, 3a c b   2 2 1.4 3 x y   (II)设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由 2 2 14 3 y kx m x y     得 2 2 2(3 4 ) 8 4( 3) 0k x mkx m     ， 2 2 2 264 16(3 4 )( 3) 0m k k m      ， 2 23 4 0k m   . 2 1 2 1 22 2 8 4( 3), .3 4 3 4 mk mx x x xk k       2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3( 4 )( ) ( ) ( ) .3 4 m ky y kx m kx m k x x mk x x m k            以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2,0),D 1 1 2 2( 2, ) ( 2, ) 0DA DB x y x y        ， 1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x      ， 2 2 2 2 2 2 3( 4 ) 4( 3) 16 4 03 4 3 4 3 4 m k m mk k k k        ， 2 27 16 4 0m mk k   ，解得 1 2 22 , 7 km k m    ，且满足 2 23 4 0k m   . 当 2m k  时， : ( 2)l y k x  ，直线过定点 (2,0), 与已知矛盾； 当 2 7 km   时， 2: ( )7l y k x  ，直线过定点 2( ,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为 2( ,0).7 (22)（本小题满分 14 分）设函数 2( ) ln( 1)f x x b x   ,其中 0b  . (I)当 1 2b  时,判断函数 ( )f x 在定义域上的单调性; (II)求函数 ( )f x 的极值点; (III)证明对任意的正整数 n ,不等式 2 3 1 1 1ln( 1)n n n    都成立. 解：(I) 函数 2( ) ln( 1)f x x b x   的定义域为 1,  . 22 2'( ) 2 1 1 b x x bf x x x x      ， 令 2( ) 2 2g x x x b   ，则 ( )g x 在 1 ,2      上递增，在 11, 2      上递减， min 1 1( ) ( )2 2g x g b     . 当 1 2b  时， min 1( ) 02g x b    ， 2( ) 2 2 0g x x x b    在 1,  上恒成立. ' ( ) 0,f x  即当 1 2b  时,函数 ( )f x 在定义域 1,  上单调递增。 （II）分以下几种情形讨论： （1）由（I）知当 1 2b  时函数 ( )f x 无极值点. （2）当 1 2b  时， 212( )2'( ) 1 x f x x    ， 11, 2x        时， ' ( ) 0,f x  1 ,2x       时， ' ( ) 0,f x  1 2b  时，函数 ( )f x 在 1,  上无极值点。 （3）当 1 2b  时，解 ' ( ) 0f x  得两个不同解 1 1 1 2 2 bx    ， 2 1 1 2 2 bx    . 当 0b  时， 1 1 1 2 12 bx      ， 2 1 1 2 12 bx      ，    1 21, , 1, ,x x       此时 ( )f x 在 1,  上有唯一的极小值点 2 1 1 2 2 bx    . 当 10 2b  时，  1 2, 1, ,x x    ' ( )f x 在   1 21, , ,x x  都大于 0 ， ' ( )f x 在 1 2( , )x x 上小于 0 ， 此时 ( )f x 有一个极大值点 1 1 1 2 2 bx    和一个极小值点 2 1 1 2 2 bx    . 综上可知， 0b  时， ( )f x 在  1,  上有唯一的极小值点 2 1 1 2 2 bx    ； 10 2b  时， ( )f x 有一个极大值点 1 1 1 2 2 bx    和一个极小值点 2 1 1 2 2 bx    ； 1 2b  时，函数 ( )f x 在 1,  上无极值点。 （III） 当 1b   时， 2( ) ln( 1).f x x x   令 3 3 2( ) ( ) ln( 1),h x x f x x x x      则 3 2 ' 3 ( 1)( ) 1 x xh x x    在 0, 上恒正， ( )h x 在 0, 上单调递增，当  0,x  时，恒有 ( ) (0) 0h x h  . 即当  0,x  时，有 3 2 ln( 1) 0,x x x    2 3ln( 1)x x x   ， 对任意正整数 n ，取 1x n  得 2 3 1 1 1ln( 1)n n n   