【数学】2019届一轮复习人教A版与三角形相关的范围问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版与三角形相关的范围问题学案

一．方法综述 与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解．‎ 二．解题策略 类型一 结合基本不等式求解问题 ‎【例1】在中,若=,则角的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosC的最小值，根据C为三角形的内角，求出C的最大值．‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2018天津市耀华中学模拟】在中，如果边， ， 满足，则（ ）‎ A. 一定是锐角 B. 一定是钝角 C. 一定是直角 D. 以上情况都有可能 ‎【答案】A ‎【解析】已知不等式两边平方得，利用余弦定理 ‎ ‎ 为三角形的内角， ，即一定是锐角． 故选A ‎2、【2018江西省赣州市上高二中模拟】在中，内角所对边分别为，若，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎ 3、【2018河南省漯河市高级中学模拟】在中，内角的对边分别为，已知， ，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 得， ， ，‎ 则，得，‎ 解得，又， ‎ 的范围是。‎ 类型二 利用消元法求解问题 ‎【例2】【2018重庆市第一中学模拟】在中，角， ， 的对边分别是， ‎ ‎， ，若， ，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【指点迷津】利用正弦定理边化角，利用角的关系消元，利用辅助角公式求范围．‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、在中，角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】[ 学 ]‎ ‎【解析】， ， ,  , ,  ‎ ‎ 当且仅当时成立.‎ ‎2、【2018浙江省镇海中学模拟】圆上任意一点，过点作两直线分别交圆于， 两点，且，则的取值范围为__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，由正弦定理得 ,设 又，所以， ‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎..‎ 答案为 .‎ ‎3. 【2018江苏省丹阳高级中学模拟】在锐角三角形ABC中， 的最小值为____．‎ ‎【答案】25‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，当且仅当，即 时取等号. ‎ 类型三 与三角形的周长有关的最值问题 ‎【例3】【河南省豫南豫北 高三第二次联考】已知锐角的内角的对边分别为，其外接圆半径为，则的周长的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是 全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2018四川省宜宾市模拟】在中， ， ， 分别是角， ， 的对边，且， ， 那么周长的最大值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 2、【2018广西联考】在中，角， ， 所对应的边分别为， ， ，若， ，则当角取得最大值时，三角形的周长为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在△ABC中，由正弦定理得 ∵‎ ‎∴A为钝角．∴， ‎ 由，‎ 可得，‎ tanB=﹣==≤=， ‎ 当且仅当tanC=时取等号．∴B取得最大值时，‎ ‎∴．‎ ‎∴a=2×=．∴a+b+c=2+．故答案为 2+．‎ 类型四 与三角形面积有关的最值问题 ‎【例4】【2018湖北省襄阳市四校联考】在中， 分别为内角的对边，若，且，则的面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中要在的基础上在利用正弦定理得到。对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘了基本不等的使用条件。‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2018山东省德州市模拟】在中， 分别为内角的对边， ，则面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 2、中，内角， ， 所对的边分别为， ， ，已知，且，则面积的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据由正弦定理可得， ，可得 ， 中， 根据余弦定理，可得，化简可得， ， ，由此可得，当且仅当时等号成立， 面积，综上所述，当且仅当时， ‎ 面积最大值为，故答案为.‎ ‎3、如图半圆的半径为1， 为直径延长线上一点，且， 为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，则四边形面积最大值为___________.‎ ‎【答案】‎ 类型五 与三角形解的个数有关的最值问题 ‎【例5】在中，角的对边分别为， ，若符合条件的三角形有两解，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 因为，所以，‎ ‎ 又，则，则，‎ ‎ 由，所以.‎ ‎【指点迷津】‎ 本题主要考查了三角形问题的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用，三角形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于基础题，解答中熟记三角形的正弦定理的边角互化和合理应用是解答的关键.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、【2018山东省济南外国语学校模拟】在中，内角所对的边分别为，已知，如果这样的三角形有且只有一个，则的取值范围为________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析 由题意得，在中内角所对的边分别为，由，所以，所以当或时，此时满足条件的三角形只有一个．‎ ‎2、已知分别为的三个内角的对边，已知，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ 三．强化训练 ‎1．在中， ，在边上存在一点，满足，作， 为垂足，若为的最小内角，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎2. 【2018江苏省常州市武进模拟】中，若、、依次成等比数列，则的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，则 即 的取值范围是 故答案为 ‎3. 已知分别为内角的对边，成等比数列，当取最大值时，则的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎4. 【2018河南省豫北豫南名联考】在中，若，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ， 若，则均为钝角，不可能，故， 的最大值为，故答案为.‎ ‎5、已知平面四边形是由与等腰直角拼接而成，其中， ， ，则当点到点的距离最大时，角的大小为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图， ， ，则，‎ 所以，[ . . ]‎ 所以当时， 最大，即角的大小为。‎ ‎6. 【2018河北省衡水第一中学模拟】在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎ 7、【2018江西省南城县第一中学模拟】在中，角， ， 的对边分别为， ， ，且满足，若，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得 由，得，所以 因此，即的最小值为 ‎8. 【2018云南省师范大学附属中模拟】在中， 为上一点，且， ， 为的角平分线，则面积的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎9. 已知分别为的三个内角的对边， =2，且，则面积的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理得 ,即,由余弦定理得 , ,又,,当且仅当时取等号,此时为正三角形,则的面积的最大值为,故选A.‎ ‎10、【2018河北省衡水中学模拟】已知的内角的对边分别是，且，若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎11、【2018江西省南昌市莲塘一中模拟】在锐角三角形中， 分别是内角的对边，设，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理得 ， 为锐角，即，且 为锐角， ,所以，即，‎ ‎，则的取值范围是，故选A.‎ ‎12. 【2018四川省绵阳市模拟】已知，且满足，如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B