2020高中数学 第三章函数的极值与导数
3.3.2 函数的极值与导数
学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．极小值点与极小值
若函数f(x)满足：
(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)；
(2)f′(a)＝0；
(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数f(x)满足：
(1)在x＝b附近其他点的函数值f(x)≤f(b)；
(2)f′(b)＝0；
(3)在x＝b附近的左侧f′(x)>0，在x＝b附近的右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
思考：(1)区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？
(2)若函数f(x)在区间[a，b]内存在一点c，满足f′(c)＝0，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？
[提示] (1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．
(2)不一定，若在点c的左右两侧f′(x)符号相同，则x＝c不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f′(x)的符号不同，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点．
3．极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点．
(2)极大值与极小值统称为极值．
4．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点． ( )
(2)函数的极大值一定大于极小值． ( )
(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合． ( )
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(4)函数f(x)＝有极值． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数y＝x3＋1的极大值是( )
A．1 B．0 C．2 D．不存在
D [y′＝3x2≥0，则函数y＝x3＋1在R上是增函数，不存在极大值．]
3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点则有( )
【导学号：97792153】
A．a＝－2，b＝4 B．a＝－3，b＝－24
C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4
B [f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的极值
(1)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图338所示，则函数f(x)的极小值是( )
图338
A．a＋b＋c B．3a＋4b＋c
C．3a＋2b D．c
(2)求下列函数的极值：
①f(x)＝x3－x2－3x＋3；
②f(x)＝－2.
[解析] (1)由f′(x)的图象知，当x<0时，f′(x)<0，
当0
0，当x>2时，f′(x)<0
因此当x＝0时，f(x)有极小值，且f(0)＝c，故选D.
[答案] D
(2)①函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.
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令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值－6
↗
∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点，且f(x)极大值＝，f(x)极小值＝－6.
②函数的定义域为R，
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值－3
↗
极大值－1
↘
由表可以看出：
当x＝－1时，函数f(x)有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；
当x＝1时，函数f(x)有极大值，且f(1)＝－2＝－1.
[规律方法] 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
[跟踪训练]
1．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝2x＋；
(2)f(x)＝＋3ln x.
[解] (1)因为f(x)＝2x＋，
所以函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}，
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f′(x)＝2－，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
－
0
＋
f(x)
↗
极大值－8
↘
↘
极小值8
↗
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值－8；
当x＝2时，f(x)有极小值8.
(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值3
↗
因此，当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值.
已知函数的极值求参数范围(值)
已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求a，b的值.
【导学号：97792154】
[思路探究] f(x)在x＝－1处有极值0有两方面的含义：一方面x＝－1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f′(－1)＝0，f(－1)＝0.
[解] ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1处取得极小值．
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∴a＝2，b＝9.
[规律方法] 已知函数的极值情况求
参数时应注意两点
(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
[跟踪训练]
2．(1)函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，则a，b的值为( )
A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11
B．a＝－4，b＝2或a＝－4，b＝11
C．a＝－4，b＝11
D．以上都不对
C [f′(x)＝3x2－2ax－b.由题意知
解得或
当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3(x＋1)2≥0，不合题意，故a＝－4，b＝11.]
(2)函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，求a的取值范围．
[解] f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.所以a的取值范围为(－∞，1)．
函数极值的综合应用
[探究问题]
1．如何画三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的大致图象？
提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象．
2．三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋c(a≠0)的图象和x轴一定有三个交点吗？
提示：不一定，三次函数的图象和x轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．
已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．
[思路探究] (1)求出函数f(x)的极值点和极值，结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象．
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(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．
[解] (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，
得f′(x)＝－3x2＋3,
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
母题探究：1.本例中条件不变，试求当a为何值时，方程f(x)＝0有三个不等实根．
[解] 由例题解析知，当即－2或x<－时，f′(x)>0；
当－0，∴x＝－4时，y取到极小值－131，x＝4时，y取到极大值125.]
4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
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∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根．
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0.
即a2－a－2＞0，解之得a＞2或a＜－1.]
5．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值．
(2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值.
【导学号：97792155】
[解] (1)因为f(x)＝ax2＋bln x，
所以f′(x)＝2ax＋.
又函数f(x)在x＝1处有极值.
故即
解得a＝，b＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x.
其定义域为(0，＋∞)．
且f′(x)＝x－＝.
令f′(x)＝0，则x＝－1(舍去)或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，且函数在定义域上只有极小值f(1)＝，无极大值．
8
