数学理卷·2018届河南省郑州一中高三上学期第二次月考（2017

数学理卷·2018届河南省郑州一中高三上学期第二次月考（2017

河南省郑州市第一中学2018届高三上学期第二次月考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知为虚数单位，复数，则等于（ ）‎ A．2 B． C． D．0‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，如果输入，，则输出的的值为（ ）‎ A．12 B．6 C．3 D．0‎ ‎4．已知，是定义在上连续函数，则“对一切成立”是“的最大值小于的最小值”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．如下左图所示的一个正三棱柱被平面截得的几何体，其中，，，，几何体的俯视图如下右图所示，则该几何体的正视图是（ ）‎ ‎6．设，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设为锐角，且，，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎8．若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”.已知被“同余”，则在上的投影是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，分别为的离心率，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．平面过正方体的面对角线，且平面平面，平面平面 ，则的正切值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知点在曲线：上运动，给出以下命题：‎ ‎：在轴上一定存在两个不同的定点，满足为定值；‎ ‎：在轴上一定存在两个不同的定点，满足为定值；‎ ‎：的最小值为1；‎ ‎：的最大值为.‎ 则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知是任意实数，则关于的不等式的解集为 ．‎ ‎14．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：‎ 甲说：“我去过上海，乙也去过上海，丙去过北京.”‎ 乙说：“我去过上海，甲说得不完全对.”‎ 丙说：“我去过北京，乙说得对.”‎ 已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是 ． ‎ ‎15．已知函数，若存在满足，且，则的最小值为 ．‎ ‎16．在斜三角形中，为的中点，且，则的值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．对于数列（），若存在，，，则称数列，分别为数列的“商数数列”和“余数数列”.已知数列是等差数列，是其前（）项和，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎18．为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.‎ ‎（1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择；‎ ‎（2）甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎19．如图，在四棱柱为长方体，点是上的一点.‎ ‎（1）若为的中点，当为何值时，平面平面；‎ ‎（2）若，，当时，直线与平面所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．已知椭圆：的左焦点和上顶点在直线上，为椭圆上位于轴上方的一点且轴，为椭圆上不同于的两点，且．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与轴交于点，求实数的取值范围．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，分别求函数的最小值和的最大值，并证明当时，成立；‎ ‎（3）令，当时，判断函数有几个不同的零点并证明.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线过极坐标系内的两点和．‎ ‎（1）写出曲线的普通方程，并求直线的斜率；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5：ACCBA 6-10：BAACD 11、12：BD 二、填空题 ‎13． 14．甲、丙 15．8 16．1‎ 三、解答题 ‎17．（1）设等差数列的公差为.‎ 由题意可得解得 所以.‎ ‎（2）证明：因为，所以，‎ 因为是除以4的余数，所以是除以4的余数，‎ 由两边同时除以4，得 左边的余数为，右边的余数为，所以. ‎ ‎18、（1）考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门中任选两科，故共有 种不同选择.‎ ‎（2）因为甲乙丙三名同学每一达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数服从二项分布，所以分布列为 所以的数序期望.‎ ‎19、（1）要使平面平面，只需平面.‎ 因为四棱柱为长方体，‎ 所以平面，所以.‎ 又因为，所以只需，‎ 只需，只需∽，‎ 因为，所以只需，‎ 因为为的中点，所以，所以.‎ 所以当时，平面平面.‎ ‎（2）存在.理由如下：建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，所以，‎ 由得，则，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 所以，取，则，‎ 所以，‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 则 令，则，，‎ 所以 所以当，即，时，取得最大值1.‎ ‎20、（1）依题意得椭圆的左焦点为，上顶点为，‎ 故，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设直线的斜率为，因为，所以关于直线对称，‎ 所以直线的斜率为，‎ 易知，所以直线的方程是，‎ 设，‎ 联立，消去，得，‎ 所以，‎ 将上式中的换成，得，‎ 所以，‎ 所以直线的方程是，‎ 代入椭圆方程，得，‎ 所以，解得，‎ 又因为在点下方，所以，‎ 所以.‎ ‎21、（1）由题意得在上恒成立，‎ 令，有即 得，所以.‎ ‎（2）由题意可得 令，则，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以当时，取最小值3.‎ ‎，令，得，‎ 当，，在上单调递增，‎ 所以，‎ 因为当时，，‎ 所以当时，.‎ ‎（3）因为，‎ 所以，‎ 其定义域为，‎ ‎，‎ 因为，所以，所以在上单调递减，‎ 因为，所以，，‎ 所以，‎ 又，所以函数只有1个零点. ‎ ‎22、（1）由题意得曲线的普通方程为，‎ ‎∵，∴直线的斜率为.‎ ‎（2）易知直线的参数方程为（为参数）‎ 代入，得，‎ 设方程的两个根为，‎ 所以.‎ ‎23、解：（1）由题意知，不等式的解集为，‎ 由得，‎ ‎∴，解得.‎ ‎（2）不等式等价于，‎ 因为不等式对任意恒成立，‎ 所以 因为，‎ 所以，解得或.‎