数学理·甘肃省白银十中2017届高三上学期开学数学试卷（理科）+Word版含解析

数学理·甘肃省白银十中2017届高三上学期开学数学试卷（理科）+Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年甘肃省白银十中高三（上）开学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁RB）∩A=（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．（﹣∞，0] D．以上都不对 ‎2．“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．充分必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 ‎3．已知命题p：∀x∈R，x＞sin x，则（　　）‎ A．非p：∃x∈R，x＜sin x B．非p：∀x∈R，x≤sin x C．非p：∃x∈R，x≤sin x D．非p：∀x∈R，x＜sin x ‎4．设a=log3π，b=log2，c=log3，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a ‎5．下列命题错误的是（　　）‎ A．命题“若m≤0，则方程x2+x+m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x+m=0无实数根，则m＞0”‎ B．“x2﹣x﹣2=0”是“x=2”的必要不充分条件 C．若p∧q为假命题，则p，q中必有一真一假 D．命题“在△ABC中，a=b⇔A=B⇔sinA=sinB”为真 ‎6．函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设函数，则下列结论错误的是（　　）‎ A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数 C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数 ‎8．由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）上是（　　）‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 ‎9．已知向量集合，，则M∩N=（　　）‎ A．{1，1} B．{1，1，﹣2，﹣2} C．{（﹣2，﹣2）} D．∅‎ ‎10．若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）‎ ‎11．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（　　）‎ A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80） B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25） C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25） D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）‎ ‎12．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．∪[2，+∞） B．∪（1，4] C．∪（1，2] D．∪[4，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把最终结果写在横线上.）‎ ‎13．命题“∃x＜0，有x2＞0”的否定是　　．‎ ‎14．函数y=﹣（x﹣3）|x|的递增区间是　　．‎ ‎15．定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1．已知函数y=|log0.5x|定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为　　．‎ ‎16．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时f（x）=（）1﹣x，则 ‎①2是函数f（x）的周期；‎ ‎②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；‎ ‎③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；‎ ‎④当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3．‎ 其中所有正确命题的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每题均为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤）‎ ‎17．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18．已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．‎ ‎19．已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数解析式f（x）=﹣（a∈R）．‎ ‎（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；‎ ‎（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．‎ ‎20．已知函数f（x）=2x﹣．‎ ‎（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；‎ ‎（Ⅱ）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎21．已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=﹣2．‎ ‎①求f（0）；‎ ‎②求证：f（x）为奇函数；‎ ‎③求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．‎ ‎22．已知函数f（x）=loga（a＞0，b＞0，a≠1）．‎ ‎（1）求f（x）的定义域；‎ ‎（2）讨论f（x）的奇偶性；‎ ‎（3）讨论f（x）的单调性．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年甘肃省白银十中高三（上）开学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁RB）∩A=（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．（﹣∞，0] D．以上都不对 ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】集合A为对数函数的定义域，集合B为指数函数的值域，分别解出再进行运算即可．‎ ‎【解答】解：由2x﹣x2＞0，得x（x﹣2）＞0，即0＜x＜2，故A={x|0＜x＜2}，‎ 由x＞0，得2x＞1，故B={y|y＞1}，∁RB={y|y≤1}，‎ 则（∁RB）∩A=（0，1]‎ 故选B ‎　‎ ‎2．“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．充分必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系．‎ ‎【分析】利用充分必要条件的判断法判断这两个条件的充分性和必要性．关键看二者的相互推出性．‎ ‎【解答】解：由x2+x+m=0知， ⇔．‎ ‎（或由△≥0得1﹣4m≥0，∴．） ，‎ 反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有，未必有，‎ 因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．已知命题p：∀x∈R，x＞sin x，则（　　）‎ A．非p：∃x∈R，x＜sin x B．非p：∀x∈R，x≤sin x C．非p：∃x∈R，x≤sin x D．非p：∀x∈R，x＜sin x ‎【考点】全称命题．‎ ‎【分析】对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论 ‎【解答】解：对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论，p：∀x∈R，x＞sin x，则非p：∃x∈R，x≤sin x 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．设a=log3π，b=log2，c=log3，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】利用对数函数y=logax的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，‎ 如果底a不相同时可利用1做为中介值．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎∵，故选A ‎　‎ ‎5．下列命题错误的是（　　）‎ A．命题“若m≤0，则方程x2+x+m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x+m=0无实数根，则m＞0”‎ B．“x2﹣x﹣2=0”是“x=2”的必要不充分条件 C．若p∧q为假命题，则p，q中必有一真一假 D．命题“在△ABC中，a=b⇔A=B⇔sinA=sinB”为真 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A．根据逆否命题的定义进行判断，‎ B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，‎ C．根据复合命题真假关系进行判断，‎ D．根据正弦定理进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A．命题“若m≤0，则方程x2+x+m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x+m=0无实数根，则m＞0”，故A正确，‎ B．由x2﹣x﹣2=0得x=﹣1或x=2，则“x2﹣x﹣2=0”是“x=2”的必要不充分条件，故B正确，‎ C．若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题．故C错误，‎ D．在△ABC中，由边角关系正弦定理得a=b⇔A=B⇔sinA=sinB成立，故D正确，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．‎ ‎【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，‎ 所以排除A，B 当x=1时，f（x）=0排除C 故选D ‎　‎ ‎7．设函数，则下列结论错误的是（　　）‎ A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数 C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数 ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．‎ ‎【分析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D ‎【解答】解：A显然正确；‎ ‎∵=D（x），‎ ‎∴D（x）是偶函数，‎ B正确；‎ ‎∵D（x+1）==D（x），‎ ‎∴T=1为其一个周期，‎ 故C错误；‎ ‎∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，‎ 显然函数D（x）不是单调函数，‎ 故D正确；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）上是（　　）‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】先利用分类讨论的方法对x，y的取值进行讨论，化去绝对值符号，化简曲线的方程，再结合方程画出图形，由图观察即得．‎ ‎【解答】解：①当x≥0且y≥0时，x2+y2=1，‎ ‎②当x＞0且y＜0时，x2﹣y2=1，‎ ‎③当x＜0且y＞0时，y2﹣x2=1，‎ ‎④当x＜0且y＜0时，无意义．‎ 由以上讨论作图如右，易知是减函数．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．已知向量集合，，则M∩N=（　　）‎ A．{1，1} B．{1，1，﹣2，﹣2} C．{（﹣2，﹣2）} D．∅‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】集合M中的向量都在一条直线上，N中的向量都在另一条直线上，M∩N即2条直线的交点坐标．‎ ‎【解答】解：对于M={=（1+3λ，2+4λ）}，令=（x，y），则，化简可得y=x+，‎ 故M中的向量都在直线y=x+上．‎ 对于N={=（﹣2+4λ，﹣2+5λ）}，同理可得N 中的向量在直线 y=x+上．‎ 再由，求得，可得这2条直线的交点是（﹣2，﹣2），‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）‎ ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．‎ ‎【解答】解：由题意．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（　　）‎ A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80） B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25） C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25） D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x﹣4）=﹣f（x），‎ ‎∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），‎ 即函数的周期是8，‎ 则f（11）=f（3）=﹣f（3﹣4）=﹣f（﹣1）=f（1），‎ f（80）=f（0），‎ f（﹣25）=f（﹣1），‎ ‎∵f（x）是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数，‎ ‎∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数，‎ ‎∴f（﹣1）＜f（0）＜f（1），‎ 即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），‎ 故选：D ‎　‎ ‎12．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时均有f（x）＜，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．∪[2，+∞） B．∪（1，4] C．∪（1，2] D．∪[4，+∞）‎ ‎【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．‎ ‎【分析】由题意可知，ax＞在（﹣1，1）上恒成立，令y1=ax，y2=，结合图象，列出不等式组，解不等式组，求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意可知，ax＞在（﹣1，1）上恒成立，令y1=ax，y2=，‎ 由图象知：0＜a＜1时a1≥=，即≤a＜1；‎ 当a＞1时，a﹣1≥=，可得 ‎1＜a≤2．‎ ‎∴≤a＜1或1＜a≤2．‎ 故选 C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把最终结果写在横线上.）‎ ‎13．命题“∃x＜0，有x2＞0”的否定是　∀x＜0，有x2≤0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题，即：对命题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，¬P（X）”；对命题“∀x∈A，P（X）”的否定是：“∃x∈A，¬P（X）”，由此不难得到对命题“∃x＜0，有x2＞0”的否定．‎ ‎【解答】解：∵对命题“∃x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，¬P（X）”‎ ‎∴对命题“∃x＜0，有x2＞0”的否定是“∀x＜0，有x2≤0”‎ 故答案为：∀x＜0，有x2≤0‎ ‎　‎ ‎14．函数y=﹣（x﹣3）|x|的递增区间是　[0，]　．‎ ‎【考点】函数的单调性及单调区间．‎ ‎【分析】去掉绝对值，转化为分段函数，再作出其图形，由数形结合求解．‎ ‎【解答】解：y=﹣（x﹣3）|x|=‎ 作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，]．‎ 故答案为：[0，]‎ ‎　‎ ‎15．定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1．已知函数y=|log0.5x|定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为　　．‎ ‎【考点】对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．‎ ‎【分析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间[a，b]的长度的最大值．‎ ‎【解答】解：函数y=|log0.5x|的值域为[0，2]，那么0≤log0.5x≤2 或﹣2≤log0.5x＜0，‎ 即：log0.51＜≤log0.5x≤log0.5（0.5）2或log0.5（0.5）﹣2≤log0.5x＜log0.51，‎ 由于函数log0.5x是减函数，那么或1＜x≤4．‎ 这样就求出函数y=|log0.5x|的定义域为[，4]，所以函数定义域区间的长度为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时f（x）=（）1﹣x，则 ‎①2是函数f（x）的周期；‎ ‎②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；‎ ‎③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；‎ ‎④当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3．‎ 其中所有正确命题的序号是　①②④　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】根据条件求出函数的周期，即可判定①的真假，根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，以及在（0，1）上的单调性，可判定②的真假，根据单调性和周期性可求出函数的最值，可判定③的真假，最后求出函数在x∈[3，4]时的解析式即可判定④的真假 ‎【解答】解：∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），‎ ‎∴f（x+2）=f（x）则f（x）的周期为2，故①正确；‎ ‎∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，‎ ‎∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；‎ ‎∴函数f（x）的最大值是f（1）=1，最小值为f（0）=，故③不正确；‎ 设x∈[3，4]，则4﹣x∈[0，1]，f（4﹣x）=（）x﹣3=f（﹣x）=f（x），故④正确 故答案为：①②④‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每题均为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤）‎ ‎17．设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法；充要条件．‎ ‎【分析】分别解出命题p和命题q中不等式的解集得到集合A和集合B，根据¬p是¬q的必要不充分条件，得到q是p的必要不充分条件，即q推不出p，而p能推出q．说明P的解集被q的解集包含，即集合A为集合B的真子集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．‎ ‎【解答】解：设A={x|（4x﹣3）2≤1}，B={x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0}，‎ 易知A={x|≤x≤1}，B={x|a≤x≤a+1}．‎ 由¬p是¬q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即A⊂B，‎ 且两等号不能同时取．‎ 故所求实数a的取值范围是[0，]．‎ ‎　‎ ‎18．已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；复合命题的真假；指数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【分析】先解命题，再研究命题的关系，函数y=ax在R上单调递增，由指数函数的单调性解决；等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，用函数思想，又因为是对全体实数成立，可用判断式法解决，若p且q为假，p或q为真，两者是一真一假，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：∵y=ax在R上单调递增，∴a＞1；‎ 又不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立，‎ ‎∴△＜0，即a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，‎ ‎∴q：0＜a＜4．‎ 而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．‎ ‎①若p真，q假，则a≥4；‎ ‎②若p假，q真，则0＜a≤1．‎ 所以a的取值范围为（0，1]∪[4，+∞）．‎ ‎　‎ ‎19．已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数解析式f（x）=﹣（a∈R）．‎ ‎（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；‎ ‎（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出a=1；设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]，利用条件，即可写出f（x）在[0，1]上的解析式；‎ ‎（Ⅱ）利用换元法求f（x）在[0，1]上的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，‎ ‎∴f（0）=0，即f（0）=﹣=1﹣a=0．‎ ‎∴a=1．…‎ 设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]．‎ ‎∴f（﹣x）=﹣=4x﹣2x．‎ 又∵f（﹣x）=﹣f（x）‎ ‎∴﹣f（x）=4x﹣2x．‎ ‎∴f（x）=2x﹣4x．…‎ ‎（Ⅱ）当x∈[0，1]，f（x）=2x﹣4x=2x﹣（2x）2，‎ ‎∴设t=2x（t＞0），则f（t）=t﹣t2．‎ ‎∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．‎ 当t=1时，取最大值，最大值为1﹣1=0．…‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=2x﹣．‎ ‎（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；‎ ‎（Ⅱ）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】指数函数综合题．‎ ‎【分析】（I）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；‎ ‎（II）由 t∈[1，2]时，2tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，‎ 当x＞0时，，‎ 有条件可得，，‎ 即22x﹣2×2x﹣1=0，解得，∵2x＞0，∴，∴．‎ ‎（Ⅱ）当t∈[1，2]时，，‎ 即m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）．‎ ‎∵t∈[1，2]，∴﹣（1+22t）∈[﹣17，﹣5]，‎ 故m的取值范围是[﹣5，+∞）．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=﹣2．‎ ‎①求f（0）；‎ ‎②求证：f（x）为奇函数；‎ ‎③求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用；函数的值域．‎ ‎【分析】①在f（x+y）=f（x）+f（y）中，用特殊值法，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），变形可得f（0）的值；‎ ‎②在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=﹣x，变形可得f（x）+f（﹣x）=f（0），由①的结论，即可得答案；‎ ‎③设x1、x2∈R，且x1＜x2，结合②的结论，有f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）成立，结合题意，可得f（x）为减函数，即可得f（x）在[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为f（3）、f（﹣3），借助f（x+y）=f（x）+f（y）与f（1）的值，可得f（3）、f（﹣3）的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：①在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），‎ 变形可得f（0）=0‎ ‎②证明：因为x，y∈R时，f（x+y）=f（x）+f（y），‎ 令y=﹣x，可得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）‎ 所以f（﹣x）=﹣f（x）‎ 所以f（x）为奇函数．‎ ‎③设x1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）‎ 因为x＞0时f（x）＜0，所以f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，‎ 所以f（x）为减函数．‎ 所以f（x）在[﹣3，3]上的最大值为f（﹣3），最小值为f（3）．‎ 因为f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣6，f（﹣3）=﹣f（3）=6，‎ 所以函数在[﹣3，3]上的最大值为6，最小值为﹣6．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=loga（a＞0，b＞0，a≠1）．‎ ‎（1）求f（x）的定义域；‎ ‎（2）讨论f（x）的奇偶性；‎ ‎（3）讨论f（x）的单调性．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】（1）真数要大于0；（2）用奇偶性定义讨论；（3）先转化函数再用单调性定义讨论．‎ ‎【解答】解：（1）使f（x）有意义，则＞0，‎ ‎∵b＞0，∴x＞b或x＜﹣b，‎ ‎∴f（x）的定义域为{x|x＞b或x＜﹣b}．‎ ‎（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，‎ ‎∵f（﹣x）=loga=loga=loga﹣1=﹣loga=﹣f（x）．‎ ‎∴f（x）为奇函数．‎ ‎（3）设u===1+，‎ 设x1＞x2，则u1﹣u2=1+﹣=，‎ 当x1＞x2＞b时，＜0，即u1＜u2，‎ 此时，u为减函数，同理﹣b＞x1＞x2时，u也为减函数．‎ ‎∴当a＞1时，f（x）=loga在（﹣∞，﹣b）上为减函数，在（b，+∞）上也为减函数．‎ 当0＜a＜1时，‎ f（x）=loga在（﹣∞，﹣b）上为增函数，在（b，+∞）上也为增函数．‎ ‎　‎ ‎2016年11月8日