数学理·甘肃省白银十中2017届高三上学期开学数学试卷(理科)+Word版含解析

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数学理·甘肃省白银十中2017届高三上学期开学数学试卷(理科)+Word版含解析

全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年甘肃省白银十中高三(上)开学数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合A={x|y=lg(2x﹣x2)},B={y|y=2x,x>0},R是实数集,则(∁RB)∩A=(  )‎ A.[0,1] B.(0,1] C.(﹣∞,0] D.以上都不对 ‎2.“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 ‎3.已知命题p:∀x∈R,x>sin x,则(  )‎ A.非p:∃x∈R,x<sin x B.非p:∀x∈R,x≤sin x C.非p:∃x∈R,x≤sin x D.非p:∀x∈R,x<sin x ‎4.设a=log3π,b=log2,c=log3,则(  )‎ A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a ‎5.下列命题错误的是(  )‎ A.命题“若m≤0,则方程x2+x+m=0有实数根”的逆否命题为:“若方程x2+x+m=0无实数根,则m>0”‎ B.“x2﹣x﹣2=0”是“x=2”的必要不充分条件 C.若p∧q为假命题,则p,q中必有一真一假 D.命题“在△ABC中,a=b⇔A=B⇔sinA=sinB”为真 ‎6.函数y=的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设函数,则下列结论错误的是(  )‎ A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数 ‎8.由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x)在(﹣∞,+∞)上是(  )‎ A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 ‎9.已知向量集合,,则M∩N=(  )‎ A.{1,1} B.{1,1,﹣2,﹣2} C.{(﹣2,﹣2)} D.∅‎ ‎10.若函数f(x)=,若f(a)>f(﹣a),则实数a的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,0)∪(0,1) B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)‎ ‎11.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x﹣4)=﹣f(x)且在区间[0,2]上是增函数,则(  )‎ A.f(﹣25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(﹣25) C.f(11)<f(80)<f(﹣25) D.f(﹣25)<f(80)<f(11)‎ ‎12.已知a>0且a≠1,f(x)=x2﹣ax,当x∈(﹣1,1)时均有f(x)<,则实数a的取值范围是(  )‎ A.∪[2,+∞) B.∪(1,4] C.∪(1,2] D.∪[4,+∞)‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把最终结果写在横线上.)‎ ‎13.命题“∃x<0,有x2>0”的否定是  .‎ ‎14.函数y=﹣(x﹣3)|x|的递增区间是  .‎ ‎15.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为x2﹣x1.已知函数y=|log0.5x|定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值为  .‎ ‎16.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x﹣1),已知当x∈[0,1]时f(x)=()1﹣x,则 ‎①2是函数f(x)的周期;‎ ‎②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;‎ ‎③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;‎ ‎④当x∈(3,4)时,f(x)=()x﹣3.‎ 其中所有正确命题的序号是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,第17小题10分,其余每题均为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤)‎ ‎17.设命题p:(4x﹣3)2≤1;命题q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.‎ ‎18.已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递增;命题q:不等式ax2﹣ax+1>0对∀x∈R恒成立.若p且q为假,p或q为真,求a的取值范围.‎ ‎19.已知f(x)为定义在[﹣1,1]上的奇函数,当x∈[﹣1,0]时,函数解析式f(x)=﹣(a∈R).‎ ‎(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式;‎ ‎(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.‎ ‎20.已知函数f(x)=2x﹣.‎ ‎(Ⅰ)若f(x)=2,求x的值;‎ ‎(Ⅱ)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎21.已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f(1)=﹣2.‎ ‎①求f(0);‎ ‎②求证:f(x)为奇函数;‎ ‎③求f(x)在[﹣3,3]上的最大值和最小值.‎ ‎22.已知函数f(x)=loga(a>0,b>0,a≠1).‎ ‎(1)求f(x)的定义域;‎ ‎(2)讨论f(x)的奇偶性;‎ ‎(3)讨论f(x)的单调性.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年甘肃省白银十中高三(上)开学数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合A={x|y=lg(2x﹣x2)},B={y|y=2x,x>0},R是实数集,则(∁RB)∩A=(  )‎ A.[0,1] B.(0,1] C.(﹣∞,0] D.以上都不对 ‎【考点】交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】集合A为对数函数的定义域,集合B为指数函数的值域,分别解出再进行运算即可.‎ ‎【解答】解:由2x﹣x2>0,得x(x﹣2)>0,即0<x<2,故A={x|0<x<2},‎ 由x>0,得2x>1,故B={y|y>1},∁RB={y|y≤1},‎ 则(∁RB)∩A=(0,1]‎ 故选B ‎ ‎ ‎2.“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次方程的根的分布与系数的关系.‎ ‎【分析】利用充分必要条件的判断法判断这两个条件的充分性和必要性.关键看二者的相互推出性.‎ ‎【解答】解:由x2+x+m=0知, ⇔.‎ ‎(或由△≥0得1﹣4m≥0,∴.) ,‎ 反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有,未必有,‎ 因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎3.已知命题p:∀x∈R,x>sin x,则(  )‎ A.非p:∃x∈R,x<sin x B.非p:∀x∈R,x≤sin x C.非p:∃x∈R,x≤sin x D.非p:∀x∈R,x<sin x ‎【考点】全称命题.‎ ‎【分析】对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论 ‎【解答】解:对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论,p:∀x∈R,x>sin x,则非p:∃x∈R,x≤sin x 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.设a=log3π,b=log2,c=log3,则(  )‎ A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a ‎【考点】对数值大小的比较.‎ ‎【分析】利用对数函数y=logax的单调性进行求解.当a>1时函数为增函数当0<a<1时函数为减函数,‎ 如果底a不相同时可利用1做为中介值.‎ ‎【解答】解:∵‎ ‎∵,故选A ‎ ‎ ‎5.下列命题错误的是(  )‎ A.命题“若m≤0,则方程x2+x+m=0有实数根”的逆否命题为:“若方程x2+x+m=0无实数根,则m>0”‎ B.“x2﹣x﹣2=0”是“x=2”的必要不充分条件 C.若p∧q为假命题,则p,q中必有一真一假 D.命题“在△ABC中,a=b⇔A=B⇔sinA=sinB”为真 ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】A.根据逆否命题的定义进行判断,‎ B.根据充分条件和必要条件的定义进行判断,‎ C.根据复合命题真假关系进行判断,‎ D.根据正弦定理进行判断即可.‎ ‎【解答】解:A.命题“若m≤0,则方程x2+x+m=0有实数根”的逆否命题为:“若方程x2+x+m=0无实数根,则m>0”,故A正确,‎ B.由x2﹣x﹣2=0得x=﹣1或x=2,则“x2﹣x﹣2=0”是“x=2”的必要不充分条件,故B正确,‎ C.若p∧q为假命题,则p,q中至少有一个为假命题.故C错误,‎ D.在△ABC中,由边角关系正弦定理得a=b⇔A=B⇔sinA=sinB成立,故D正确,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.函数y=的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质.‎ ‎【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个,再通过对数函数,当x=1时,函数值为0,可进一步确定选项.‎ ‎【解答】解:∵f(﹣x)=﹣f(x)是奇函数,‎ 所以排除A,B 当x=1时,f(x)=0排除C 故选D ‎ ‎ ‎7.设函数,则下列结论错误的是(  )‎ A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数 ‎【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.‎ ‎【分析】由函数值域的定义易知A结论正确;由函数单调性定义,易知D结论正确;由偶函数定义可证明B结论正确;由函数周期性定义可判断C结论错误,故选D ‎【解答】解:A显然正确;‎ ‎∵=D(x),‎ ‎∴D(x)是偶函数,‎ B正确;‎ ‎∵D(x+1)==D(x),‎ ‎∴T=1为其一个周期,‎ 故C错误;‎ ‎∵D()=0,D(2)=1,D()=0,‎ 显然函数D(x)不是单调函数,‎ 故D正确;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x)在(﹣∞,+∞)上是(  )‎ A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 ‎【考点】函数单调性的判断与证明.‎ ‎【分析】先利用分类讨论的方法对x,y的取值进行讨论,化去绝对值符号,化简曲线的方程,再结合方程画出图形,由图观察即得.‎ ‎【解答】解:①当x≥0且y≥0时,x2+y2=1,‎ ‎②当x>0且y<0时,x2﹣y2=1,‎ ‎③当x<0且y>0时,y2﹣x2=1,‎ ‎④当x<0且y<0时,无意义.‎ 由以上讨论作图如右,易知是减函数.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.已知向量集合,,则M∩N=(  )‎ A.{1,1} B.{1,1,﹣2,﹣2} C.{(﹣2,﹣2)} D.∅‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】集合M中的向量都在一条直线上,N中的向量都在另一条直线上,M∩N即2条直线的交点坐标.‎ ‎【解答】解:对于M={=(1+3λ,2+4λ)},令=(x,y),则,化简可得y=x+,‎ 故M中的向量都在直线y=x+上.‎ 对于N={=(﹣2+4λ,﹣2+5λ)},同理可得N 中的向量在直线 y=x+上.‎ 再由,求得,可得这2条直线的交点是(﹣2,﹣2),‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.若函数f(x)=,若f(a)>f(﹣a),则实数a的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,0)∪(0,1) B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)‎ ‎【考点】对数值大小的比较.‎ ‎【分析】由分段函数的表达式知,需要对a的正负进行分类讨论.‎ ‎【解答】解:由题意.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎11.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x﹣4)=﹣f(x)且在区间[0,2]上是增函数,则(  )‎ A.f(﹣25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(﹣25) C.f(11)<f(80)<f(﹣25) D.f(﹣25)<f(80)<f(11)‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合.‎ ‎【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可.‎ ‎【解答】解:∵f(x﹣4)=﹣f(x),‎ ‎∴f(x﹣8)=﹣f(x﹣4)=f(x),‎ 即函数的周期是8,‎ 则f(11)=f(3)=﹣f(3﹣4)=﹣f(﹣1)=f(1),‎ f(80)=f(0),‎ f(﹣25)=f(﹣1),‎ ‎∵f(x)是奇函数,且在区间[0,2]上是增函数,‎ ‎∴f(x)在区间[﹣2,2]上是增函数,‎ ‎∴f(﹣1)<f(0)<f(1),‎ 即f(﹣25)<f(80)<f(11),‎ 故选:D ‎ ‎ ‎12.已知a>0且a≠1,f(x)=x2﹣ax,当x∈(﹣1,1)时均有f(x)<,则实数a的取值范围是(  )‎ A.∪[2,+∞) B.∪(1,4] C.∪(1,2] D.∪[4,+∞)‎ ‎【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异.‎ ‎【分析】由题意可知,ax>在(﹣1,1)上恒成立,令y1=ax,y2=,结合图象,列出不等式组,解不等式组,求出a的取值范围.‎ ‎【解答】解:由题意可知,ax>在(﹣1,1)上恒成立,令y1=ax,y2=,‎ 由图象知:0<a<1时a1≥=,即≤a<1;‎ 当a>1时,a﹣1≥=,可得 ‎1<a≤2.‎ ‎∴≤a<1或1<a≤2.‎ 故选 C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把最终结果写在横线上.)‎ ‎13.命题“∃x<0,有x2>0”的否定是 ∀x<0,有x2≤0 .‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】对特称命题的否定是一个全称命题,对一个全称命题的否定是全称命题,即:对命题“∃x∈A,P(X)”的否定是:“∀x∈A,¬P(X)”;对命题“∀x∈A,P(X)”的否定是:“∃x∈A,¬P(X)”,由此不难得到对命题“∃x<0,有x2>0”的否定.‎ ‎【解答】解:∵对命题“∃x∈A,P(X)”的否定是:“∀x∈A,¬P(X)”‎ ‎∴对命题“∃x<0,有x2>0”的否定是“∀x<0,有x2≤0”‎ 故答案为:∀x<0,有x2≤0‎ ‎ ‎ ‎14.函数y=﹣(x﹣3)|x|的递增区间是 [0,] .‎ ‎【考点】函数的单调性及单调区间.‎ ‎【分析】去掉绝对值,转化为分段函数,再作出其图形,由数形结合求解.‎ ‎【解答】解:y=﹣(x﹣3)|x|=‎ 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0,].‎ 故答案为:[0,]‎ ‎ ‎ ‎15.定义:区间[x1,x2](x1<x2)的长度为x2﹣x1.已知函数y=|log0.5x|定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值为  .‎ ‎【考点】对数函数的定义域;对数函数的值域与最值.‎ ‎【分析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围,然后求出区间[a,b]的长度的最大值.‎ ‎【解答】解:函数y=|log0.5x|的值域为[0,2],那么0≤log0.5x≤2 或﹣2≤log0.5x<0,‎ 即:log0.51<≤log0.5x≤log0.5(0.5)2或log0.5(0.5)﹣2≤log0.5x<log0.51,‎ 由于函数log0.5x是减函数,那么或1<x≤4.‎ 这样就求出函数y=|log0.5x|的定义域为[,4],所以函数定义域区间的长度为 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎16.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x﹣1),已知当x∈[0,1]时f(x)=()1﹣x,则 ‎①2是函数f(x)的周期;‎ ‎②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;‎ ‎③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;‎ ‎④当x∈(3,4)时,f(x)=()x﹣3.‎ 其中所有正确命题的序号是 ①②④ .‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质.‎ ‎【分析】根据条件求出函数的周期,即可判定①的真假,根据函数f(x)是定义在R上的偶函数,以及在(0,1)上的单调性,可判定②的真假,根据单调性和周期性可求出函数的最值,可判定③的真假,最后求出函数在x∈[3,4]时的解析式即可判定④的真假 ‎【解答】解:∵对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x﹣1),‎ ‎∴f(x+2)=f(x)则f(x)的周期为2,故①正确;‎ ‎∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=()1﹣x,‎ ‎∴函数f(x)在(0,1)上是增函数,函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;‎ ‎∴函数f(x)的最大值是f(1)=1,最小值为f(0)=,故③不正确;‎ 设x∈[3,4],则4﹣x∈[0,1],f(4﹣x)=()x﹣3=f(﹣x)=f(x),故④正确 故答案为:①②④‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,第17小题10分,其余每题均为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤)‎ ‎17.设命题p:(4x﹣3)2≤1;命题q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法;充要条件.‎ ‎【分析】分别解出命题p和命题q中不等式的解集得到集合A和集合B,根据¬p是¬q的必要不充分条件,得到q是p的必要不充分条件,即q推不出p,而p能推出q.说明P的解集被q的解集包含,即集合A为集合B的真子集,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范围.‎ ‎【解答】解:设A={x|(4x﹣3)2≤1},B={x|x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0},‎ 易知A={x|≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}.‎ 由¬p是¬q的必要不充分条件,从而p是q的充分不必要条件,即A⊂B,‎ 且两等号不能同时取.‎ 故所求实数a的取值范围是[0,].‎ ‎ ‎ ‎18.已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递增;命题q:不等式ax2﹣ax+1>0对∀x∈R恒成立.若p且q为假,p或q为真,求a的取值范围.‎ ‎【考点】函数恒成立问题;复合命题的真假;指数函数的单调性与特殊点.‎ ‎【分析】先解命题,再研究命题的关系,函数y=ax在R上单调递增,由指数函数的单调性解决;等式ax2﹣ax+1>0对∀x∈R恒成立,用函数思想,又因为是对全体实数成立,可用判断式法解决,若p且q为假,p或q为真,两者是一真一假,计算可得答案.‎ ‎【解答】解:∵y=ax在R上单调递增,∴a>1;‎ 又不等式ax2﹣ax+1>0对∀x∈R恒成立,‎ ‎∴△<0,即a2﹣4a<0,∴0<a<4,‎ ‎∴q:0<a<4.‎ 而命题p且q为假,p或q为真,那么p、q中有且只有一个为真,一个为假.‎ ‎①若p真,q假,则a≥4;‎ ‎②若p假,q真,则0<a≤1.‎ 所以a的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).‎ ‎ ‎ ‎19.已知f(x)为定义在[﹣1,1]上的奇函数,当x∈[﹣1,0]时,函数解析式f(x)=﹣(a∈R).‎ ‎(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式;‎ ‎(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出a=1;设x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0],利用条件,即可写出f(x)在[0,1]上的解析式;‎ ‎(Ⅱ)利用换元法求f(x)在[0,1]上的最大值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)为定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(x)在x=0处有意义,‎ ‎∴f(0)=0,即f(0)=﹣=1﹣a=0.‎ ‎∴a=1.…‎ 设x∈[0,1],则﹣x∈[﹣1,0].‎ ‎∴f(﹣x)=﹣=4x﹣2x.‎ 又∵f(﹣x)=﹣f(x)‎ ‎∴﹣f(x)=4x﹣2x.‎ ‎∴f(x)=2x﹣4x.…‎ ‎(Ⅱ)当x∈[0,1],f(x)=2x﹣4x=2x﹣(2x)2,‎ ‎∴设t=2x(t>0),则f(t)=t﹣t2.‎ ‎∵x∈[0,1],∴t∈[1,2].‎ 当t=1时,取最大值,最大值为1﹣1=0.…‎ ‎ ‎ ‎20.已知函数f(x)=2x﹣.‎ ‎(Ⅰ)若f(x)=2,求x的值;‎ ‎(Ⅱ)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】指数函数综合题.‎ ‎【分析】(I)当x≤0时得到f(x)=0而f(x)=2,所以无解;当x>0时解出f(x)=2求出x即可;‎ ‎(II)由 t∈[1,2]时,2tf(2t)+mf(t)≥0恒成立得到,得到f(t)=,代入得到m的范围即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当x≤0时f(x)=0,‎ 当x>0时,,‎ 有条件可得,,‎ 即22x﹣2×2x﹣1=0,解得,∵2x>0,∴,∴.‎ ‎(Ⅱ)当t∈[1,2]时,,‎ 即m(22t﹣1)≥﹣(24t﹣1).∵22t﹣1>0,∴m≥﹣(22t+1).‎ ‎∵t∈[1,2],∴﹣(1+22t)∈[﹣17,﹣5],‎ 故m的取值范围是[﹣5,+∞).‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f(1)=﹣2.‎ ‎①求f(0);‎ ‎②求证:f(x)为奇函数;‎ ‎③求f(x)在[﹣3,3]上的最大值和最小值.‎ ‎【考点】抽象函数及其应用;函数的值域.‎ ‎【分析】①在f(x+y)=f(x)+f(y)中,用特殊值法,令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0),变形可得f(0)的值;‎ ‎②在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令y=﹣x,变形可得f(x)+f(﹣x)=f(0),由①的结论,即可得答案;‎ ‎③设x1、x2∈R,且x1<x2,结合②的结论,有f(x2)﹣f(x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)成立,结合题意,可得f(x)为减函数,即可得f(x)在[﹣3,3]上的最大值与最小值分别为f(3)、f(﹣3),借助f(x+y)=f(x)+f(y)与f(1)的值,可得f(3)、f(﹣3)的值,即可得答案.‎ ‎【解答】解:①在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0),‎ 变形可得f(0)=0‎ ‎②证明:因为x,y∈R时,f(x+y)=f(x)+f(y),‎ 令y=﹣x,可得f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)=f(0)‎ 所以f(﹣x)=﹣f(x)‎ 所以f(x)为奇函数.‎ ‎③设x1、x2∈R,且x1<x2,f(x2)﹣f(x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)‎ 因为x>0时f(x)<0,所以f(x2﹣x1)<0,即f(x2)﹣f(x1)<0,‎ 所以f(x)为减函数.‎ 所以f(x)在[﹣3,3]上的最大值为f(﹣3),最小值为f(3).‎ 因为f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=﹣6,f(﹣3)=﹣f(3)=6,‎ 所以函数在[﹣3,3]上的最大值为6,最小值为﹣6.‎ ‎ ‎ ‎22.已知函数f(x)=loga(a>0,b>0,a≠1).‎ ‎(1)求f(x)的定义域;‎ ‎(2)讨论f(x)的奇偶性;‎ ‎(3)讨论f(x)的单调性.‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.‎ ‎【分析】(1)真数要大于0;(2)用奇偶性定义讨论;(3)先转化函数再用单调性定义讨论.‎ ‎【解答】解:(1)使f(x)有意义,则>0,‎ ‎∵b>0,∴x>b或x<﹣b,‎ ‎∴f(x)的定义域为{x|x>b或x<﹣b}.‎ ‎(2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称,‎ ‎∵f(﹣x)=loga=loga=loga﹣1=﹣loga=﹣f(x).‎ ‎∴f(x)为奇函数.‎ ‎(3)设u===1+,‎ 设x1>x2,则u1﹣u2=1+﹣=,‎ 当x1>x2>b时,<0,即u1<u2,‎ 此时,u为减函数,同理﹣b>x1>x2时,u也为减函数.‎ ‎∴当a>1时,f(x)=loga在(﹣∞,﹣b)上为减函数,在(b,+∞)上也为减函数.‎ 当0<a<1时,‎ f(x)=loga在(﹣∞,﹣b)上为增函数,在(b,+∞)上也为增函数.‎ ‎ ‎ ‎2016年11月8日
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