2017-2018学年安徽省定远中学高二1月月考数学(理)试题 Word版

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2017-2018学年安徽省定远中学高二1月月考数学(理)试题 Word版

定远中学2017-2018学年第一学期1月考 高二数学(理科)试题 注意事项:‎ ‎1.答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2.请将第I卷(选择题)答案用2B铅笔正确填写在答题卡上;请将第II卷(非选择题)答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。‎ 第I卷(选择题60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分。)‎ ‎1.已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率是 A. B. C. D.‎ ‎2.若圆与圆的公共弦的长为,则( )‎ A.2 B.1 ‎ C. D.‎ ‎3.以下命题为真命题的个数是( )‎ ‎①若直线平行于平面内的无数条直线,则直线;‎ ‎②若直线在平面外,则;‎ ‎③若直线,,则;‎ ‎④若直线,,则平行于平面内的无数条直线.‎ A.1个 B.2个 ‎ C. 3个 D.4个 ‎4.已知,为异面直线,下列结论不正确的是( )‎ A.必存在平面使得 ‎ B.必存在平面使得,与所成角相等 C.必存在平面使得, ‎ D.必存在平面使得,与的距离相等 ‎5.如图,为正方体,下面结论:①平面;②;③平面;④直线与所成的角为45°.其中正确结论的个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎6.如图所示是一个三棱锥的三视图,则此三棱锥的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知圆: 和点,若圆上存在两点,使得,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎9.直线截圆得的劣弧所对的圆心角是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.直线的斜率和在轴上的截距分别是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于, 两点,与抛物线准线交于点,若是的中点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知空间两点P(-1,2,-3),Q(3,-2,-1),则P、Q两点间的距离是 (   )‎ A. 6 B. 2‎ C. 36 D. 2‎ 第II卷(非选择题90分)‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.双曲线离心率___________‎ ‎14.一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .‎ ‎15.表面积为的球的半径为_________.‎ ‎16.在长方体中, ,则点D到平面的距离是____.‎ 三、解答题(共5小题, 每小题14分,共70分) ‎ ‎17.已知抛物线,过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线,它们分别交抛物线于点、和点、,线段、的中点分别为、.‎ ‎(Ⅰ)求线段的中点的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)求面积的最小值;‎ ‎(Ⅲ)过、的直线是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.‎ ‎18.如图,四棱锥中,,,,,侧面为等边三角形.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求二面角的正弦值.‎ ‎19.如图,在直三棱柱中,点分别为线段的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若在边上,,求证:.‎ ‎20.已知圆.‎ ‎(1)直线的方程为,直线交圆于、两点,求弦长的值;‎ ‎(2)从圆外一点引圆的切线,求此切线方程.‎ ‎21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:‎ ‎(1)y1y2=-p2,;(2)为定值;‎ ‎(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.‎ 参考答案 ‎1.D2.B3.A4.C5.D6.C7.C8.B9.C10.A11.B12.A ‎13.‎ ‎14.‎ ‎15.1‎ ‎16.‎ ‎17.‎ ‎(Ⅰ)由题设条件得焦点坐标为,‎ 设直线的方程为,.‎ 联立,得.‎ ‎.‎ 设,,则,‎ ‎,∴.‎ ‎∴线段的中点的轨迹方程为:.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:.‎ 同理,设,则.‎ ‎∴,‎ ‎,‎ 因此.‎ 当且仅当,即时,取到最小值4.‎ ‎(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知直线的斜率为:,‎ 所以直线的方程为: ,即,(*)‎ 当,时方程(*)对任意的均成立,即直线过点.‎ 当时,直线的方程为:,也过点.‎ 所以直线恒过定点.‎ ‎18.‎ ‎(1)根据矩形的性质与正三角形的性质可证,,得平面,进而;(2)分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,求出平面的法向量 ,而知是平面的法向量,根据空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦,进而求得正弦值.‎ 试题解析:(1)取的中点,连接,则四边形为矩形,‎ ‎∴,‎ ‎∵为等边三角形,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴平面.‎ 平面,.‎ ‎(2)由(1)知,,过作平面,则两两垂直,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,‎ 则,‎ ‎∵,‎ ‎∴,∴平面,‎ ‎∴,,‎ 设平面的法向量为.‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,取,则,‎ 设二面角为,则,‎ ‎∴二面角的正弦值.‎ ‎19.(1)由题意,利用三角形中位线定理可证MN∥BC,即可判定MN∥平面;(2)利用线面垂直的性质可证CC1⊥AD,结合已知可证AD⊥平面,从而证明AD⊥‎ BC,结合(1)知,MN∥BC,即可证明MN⊥AD 试题解析:(1)如图,连结A1C.]‎ 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C为平行四边形.‎ 又因为N为线段AC1的中点,‎ 所以A1C与AC1相交于点N,‎ 即A1C经过点N,且N为线段A1C的中点. ……………… 2分 因为M为线段A1B的中点,‎ 所以MN∥BC. ……………… 4分 又MNË平面BB1C1C,BCÌ平面BB1C1C,‎ 所以MN∥平面BB1C1C. ………………… 6分 ‎(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC.‎ 又ADÌ平面ABC,所以CC1⊥AD. …………………… 8分 因为AD⊥DC1,DC1Ì平面BB1C1C,CC1Ì平面BB1C1C,CC1∩DC1=C1,‎ 所以AD⊥平面BB1C1C. …………………… 10分 又BCÌ平面BB1C1C,所以AD⊥BC. …………………… 12分 又由(1)知,MN∥BC,所以MN⊥AD. …………………… 14分 考点:直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定 ‎20.(1)由圆方程可得圆心,,先求出圆心到直线距离,根据勾股定理可得;(2)当直线为时,与圆相切,符合题意.‎ 当斜率存在时,设斜率为,可设直线,利用圆心到切线的距离等于半径列方程,即可解得的值,从而可得结果.‎ ‎.‎ 试题解析:(1)∵圆,‎ ‎∴圆心,,‎ 圆心到直线距离,‎ ‎∴.‎ ‎(2)①当直线为时,与圆相切,符合题意.‎ ‎②当斜率存在时,设斜率为,‎ ‎∴直线,‎ 即,‎ 圆心到直线距离,‎ ‎∵直线与圆相切,‎ ‎∴即,‎ ‎∴,‎ ‎∴直线:,‎ ‎∴综上可知,切线方程为或.‎ ‎21. (1)由已知得抛物线焦点坐标为(,0).由题意可设直线方程为x=my+,‎ 代入y2=2px,得y2=2p(my+),即y2-2pmy-p2=0.(*)‎ 则y1,y2是方程(*)的两个实数根,所以y1y2=-p2.‎ 因为y=2px1,y=2px2,所以yy=4p2x1x2,‎ 所以x1x2===.‎ ‎(2)+=+=.‎ 因为x1x2=,x1+x2=|AB|-p,代入上式,‎ 得+== (定值).‎ ‎(3)设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,则|MN|= (|AC|+|BD|)= (|AF|+|BF|)=|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
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