【数学】2019届一轮复习人教A版平面向量的数量积学案

【数学】2019届一轮复习人教A版平面向量的数量积学案

专题02 平面向量的数量积 ‎1．数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角．注意：零向量与任一向量的数量积为0．‎ ‎2．投影的概念 设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影．‎ 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度．‎ ‎3．数量积的几何意义 由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积．‎ ‎4．平面向量数量积的运算律 已知向量和实数，则 ‎①交换律：；‎ ‎②数乘结合律：；‎ ‎③分配律：． ‎5．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量，是与的夹角．‎ ‎（1）数量积：．‎ ‎（2）模：．‎ ‎（3）夹角：．‎ ‎（4）垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|．‎ 注意：当与同向时，；‎ 当与反向时，．‎ ‎（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔．‎ ‎6．平面向量的应用 已知．‎ ‎（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：‎ ‎（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：‎ ‎（其中为非零向量）‎ ‎（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：‎ ‎（其中为非零向量）‎ ‎（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：，‎ 或（其中两点的坐标分别为）‎ ‎（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题．‎ ‎7．平面向量的数量积的类型及解法 ‎（1）平面向量数量积有两种计算公式：①夹角公式；②坐标公式．‎ ‎（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．‎ 已知向量，向量满足，的夹角为，则________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，则．‎ 若，且，则向量与的夹角为________________．‎ ‎【答案】120°‎ ‎【解析】由，得，又，所以，即，设向量与的夹角为θ，则，所以θ=120°，即向量与的夹角为120°．‎ 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且，若向量a=3e1−2e2，则|a|=________________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】因为a2=(3e1−2e2)2=9−2×3×2×cosα＋4=9，所以|a|=3．‎ 等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值．‎ ‎【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，‎ 设，则，∴．‎ 设向量的夹角为，则．‎ ‎1．设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=________________．‎ ‎2．设平面向量，若，则________________．‎ ‎3．已知向量，且，则m=________________．‎ ‎4．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记，，，则的大小关系为________________．（用小于号连接）‎ ‎5．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=________________．‎ ‎6．已知向量，则________________．‎ ‎7．在中，，，．若，，且，则的值为________________．‎ ‎8．已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是________________．‎ ‎9．已知向量a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________________．‎ ‎10．设向量，其中，若，则________________．‎ ‎11．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是________________．‎ ‎12．已知向量a，b满足则的最小值是________________，最大值是________________．‎ ‎1．【2016江苏】如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是________________．‎ ‎2．【2017江苏】在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是________________．‎ ‎3．【2018江苏】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________________．‎ ‎4．【2017江苏】已知向量 ‎（1）若a∥b，求x的值；‎ ‎（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．‎ ‎1．【答案】‎ ‎【解析】由，得，即，所以，解得．‎ ‎2．【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，解得从而=(1，2)，．‎ ‎3．【答案】8‎ ‎【解析】由题意得，由得，解得．‎ ‎4．【答案】‎ ‎【解析】因为，，，所以，‎ 即．‎ ‎5．【答案】‎ ‎【解析】，所以．‎ ‎6．【答案】30°‎ ‎【解析】因为向量，所以 ‎，所以．‎ ‎7．【答案】‎ ‎【解析】由题可得，则．‎ ‎8．【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得．‎ ‎9．【答案】 ‎ ‎【解析】由题意知，向量a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则根据向量的数量积可知，a(a＋λb)＞0，a２＋λab＞0，而a２=5，ab=1+2=3，则5+3λ>0，同时a，a＋λb不能共线且同向，则λ，解得λ>−且λ≠0，故实数λ的取值范围为．‎ ‎10．【答案】‎ ‎【解析】将的两边平方并化简可得，‎ 又，是单位向量，∴，即，即，‎ 又，∴．‎ ‎11．【答案】‎ ‎【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，‎ 则，，，设，‎ 则，，，‎ 所以，，‎ 当时，所求的最小值为．‎ ‎12．【答案】4 ‎ ‎【解析】设向量的夹角为，则，‎ ‎，‎ 则，‎ 令，则，‎ 据此可得：，‎ 即的最小值是4，最大值是．‎ ‎1．【答案】‎ ‎【解析】因为，‎ ‎，‎ 因此，‎ ‎2．【答案】‎ ‎【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为．‎ ‎3．【答案】3‎ ‎【分析】先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果．‎ ‎【解析】设，‎ 则由圆心为中点得易得，‎ 与联立解得点D的横坐标所以，‎ 所以，‎ 由得或，‎ 因为，所以 ‎4．【答案】（1）；（2）时，取得最大值3；时，取得最小值．‎ ‎【分析】（1）先由向量平行的坐标表示得，再根据同角三角函数的基本关系可得；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得，再根据的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．‎ ‎【解析】（1）因为，，a∥b，所以．‎ 若，则，与矛盾，故．‎ 于是．又，所以．‎ ‎（2）．‎ 因为，所以，从而．‎ 于是，当，即时，取到最大值3；‎ 当，即时，取到最小值．‎ ‎_______________________________________‎ ‎_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎