2020高中数学 课时分层作业18 平面向量基本定理 新人教A版必修4

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2020高中数学 课时分层作业18 平面向量基本定理 新人教A版必修4

课时分层作业(十八) 平面向量基本定理 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1.若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(  )‎ A.e1-e2,e2-e1      B.2e1-e2,e1-e2‎ C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e2‎ D [e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,不能作为基底.]‎ ‎2.已知向量a与b的夹角为,则向量‎2a与-3b的夹角为(  ) ‎ ‎【导学号:84352214】‎ A. B. C.π D.π C [向量‎2a与-3b的夹角与向量a与b的夹角互补,其大小为π-=.]‎ ‎3.如图238,向量a-b等于(  )‎ 图238‎ A.-4e1-2e2‎ B.-2e1-4e2‎ C.e1-3e2‎ D.3e1-e2‎ C [不妨令a=,b=,‎ 则a-b=-=,‎ 由平行四边形法则可知 =e1-3e2.]‎ ‎4.锐角三角形ABC中,关于向量夹角的说法正确的是(  )‎ 7‎ ‎ 【导学号:84352215】‎ A.与的夹角是锐角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 B [因为△ABC是锐角三角形,所以∠A,∠B,∠C都是锐角.由两个向量夹角的定义知:与的夹角等于180°-∠B,是钝角;与的夹角是∠A,是锐角;与的夹角等于∠C,是锐角;与的夹角等于180°-∠C,是钝角,所以选项B说法正确.]‎ ‎5.在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,又=t,则t的值为(  )‎ A.     B. ‎ C.     D. A [因为=t,所以-=t(-),‎ =(1-t)+t.‎ 又=+且与不共线,‎ 所以t=.]‎ 二、填空题 ‎6.如图239,在平行四边形ABCD中,点O为AC的中点,点N为OB的中点,设=a,=b,若用a,b表示向量,则=________.‎ 图239‎ 7‎ a+b [以=a,=b作为以A点为公共起点的一组基底,则=+ ‎=+=+(-)‎ ‎=+=a+b.]‎ ‎7.若向量a=4e1+2e2与b=ke1+e2共线,其中e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则k的值为________.‎ ‎ 【导学号:84352216】‎ ‎2 [∵向量a与b共线,‎ ‎∴存在实数λ,使得b=λa,‎ 即ke1+e2=λ(4e1+2e2)=4λe1+2λe2.‎ ‎∵e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,‎ ‎∴∴k=2.]‎ ‎8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.‎  [如图,由题意知,D为AB的中点,‎ =,‎ 所以=+ ‎=+ ‎=+(-)=-+,‎ 所以λ1=-,λ2=,‎ 所以λ1+λ2=-+=.]‎ 三、解答题 ‎9.如图2310,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基底表示向量与. ‎ ‎【导学号:84352217】‎ 7‎ 图2310‎ ‎[解] 在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,‎ ‎∴=+=+=+=b+a,‎ =-=+-=a+b-b=a-b.‎ ‎10.如图2311,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.‎ 图2311‎ ‎[解] 在矩形OACB中,=+,‎ 又=λ+μ ‎=λ(+)+μ(+)‎ ‎=λ+μ ‎=+,‎ 所以=1,=1,‎ 所以λ=μ=.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1.如图2312所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)(  )‎ 7‎ 图2312‎ ‎①+2;②+;‎ ‎③+;④+.‎ A.①② B.①②④‎ C.①②③ D.③④‎ A [①向量+2的终点显然在阴影区域内;‎ ‎②如图所示=,‎ =,‎ 四边形OCMD为平行四边形,‎ +=,‎ 由三角形相似易得DE=OB<DM=,‎ 故M在阴影区域内.‎ 同理分析③④中向量的终点不在阴影区域内.]‎ ‎2.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的 ‎(  )‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 B [为上的单位向量,‎ 为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的角平分线的方向.又λ∈[0,+∞),‎ 7‎ ‎∴λ的方向与+的方向相同.‎ 而=+λ,‎ ‎∴点P在上移动,‎ ‎∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.]‎ ‎3.设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底a,b的线性组合,即e1+e2=________. ‎ ‎【导学号:84352218】‎ a-b [因为a=e1+2e2①,b=-e1+e2②,‎ 显然a与b不共线,①+②得a+b=3e2,‎ 所以e2=代入②得 e1=e2-b=-b=a-b,‎ 故有e1+e2=a-b+a+b=a-b.]‎ ‎4.如图2313,在平面内有三个向量,,,||=||=1,与的夹角为120°,与的夹角为30°,||=5,设=m+n(m,n∈R),则m+n=________.‎ 图2313‎ ‎15 [作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ,如图,‎ 则∠COQ=∠OCP=90°,在Rt△QOC中,2OQ=QC,||=5.‎ 则||=5,||=10,所以||=10,又||=||=1,所以=10,=5,所以=+=10+5,所以m+n=10+5=15.]‎ ‎5.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.‎ ‎(1)证明:a,b可以作为一组基底;‎ ‎(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;‎ 7‎ ‎(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值. ‎ ‎【导学号:84352219】‎ ‎[解] (1)证明:若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得⇒所以λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.‎ ‎(2)设c=ma+nb(m,n∈R),‎ 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)‎ ‎=(m+n)e1+(-‎2m+3n)e2,‎ 所以⇒ 所以c=‎2a+b.‎ ‎(3)由4e1-3e2=λa+μb,‎ 得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)‎ ‎=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2,‎ 所以⇒ 故所求λ,μ的值分别为3和1.‎ 7‎
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