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文档介绍
2020高中数学 课时分层作业18 平面向量基本定理 新人教A版必修4
课时分层作业(十八) 平面向量基本定理 (建议用时:40分钟) [学业达标练] 一、选择题 1.若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1-e2 C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e2 D [e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,不能作为基底.] 2.已知向量a与b的夹角为,则向量2a与-3b的夹角为( ) 【导学号:84352214】 A. B. C.π D.π C [向量2a与-3b的夹角与向量a与b的夹角互补,其大小为π-=.] 3.如图238,向量a-b等于( ) 图238 A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 C [不妨令a=,b=, 则a-b=-=, 由平行四边形法则可知 =e1-3e2.] 4.锐角三角形ABC中,关于向量夹角的说法正确的是( ) 7 【导学号:84352215】 A.与的夹角是锐角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 B [因为△ABC是锐角三角形,所以∠A,∠B,∠C都是锐角.由两个向量夹角的定义知:与的夹角等于180°-∠B,是钝角;与的夹角是∠A,是锐角;与的夹角等于∠C,是锐角;与的夹角等于180°-∠C,是钝角,所以选项B说法正确.] 5.在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,又=t,则t的值为( ) A. B. C. D. A [因为=t,所以-=t(-), =(1-t)+t. 又=+且与不共线, 所以t=.] 二、填空题 6.如图239,在平行四边形ABCD中,点O为AC的中点,点N为OB的中点,设=a,=b,若用a,b表示向量,则=________. 图239 7 a+b [以=a,=b作为以A点为公共起点的一组基底,则=+ =+=+(-) =+=a+b.] 7.若向量a=4e1+2e2与b=ke1+e2共线,其中e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则k的值为________. 【导学号:84352216】 2 [∵向量a与b共线, ∴存在实数λ,使得b=λa, 即ke1+e2=λ(4e1+2e2)=4λe1+2λe2. ∵e1,e2是同一平面内两个不共线的向量, ∴∴k=2.] 8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________. [如图,由题意知,D为AB的中点, =, 所以=+ =+ =+(-)=-+, 所以λ1=-,λ2=, 所以λ1+λ2=-+=.] 三、解答题 9.如图2310,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基底表示向量与. 【导学号:84352217】 7 图2310 [解] 在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC, ∴=+=+=+=b+a, =-=+-=a+b-b=a-b. 10.如图2311,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值. 图2311 [解] 在矩形OACB中,=+, 又=λ+μ =λ(+)+μ(+) =λ+μ =+, 所以=1,=1, 所以λ=μ=. [冲A挑战练] 1.如图2312所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( ) 7 图2312 ①+2;②+; ③+;④+. A.①② B.①②④ C.①②③ D.③④ A [①向量+2的终点显然在阴影区域内; ②如图所示=, =, 四边形OCMD为平行四边形, +=, 由三角形相似易得DE=OB<DM=, 故M在阴影区域内. 同理分析③④中向量的终点不在阴影区域内.] 2.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 B [为上的单位向量, 为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的角平分线的方向.又λ∈[0,+∞), 7 ∴λ的方向与+的方向相同. 而=+λ, ∴点P在上移动, ∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.] 3.设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底a,b的线性组合,即e1+e2=________. 【导学号:84352218】 a-b [因为a=e1+2e2①,b=-e1+e2②, 显然a与b不共线,①+②得a+b=3e2, 所以e2=代入②得 e1=e2-b=-b=a-b, 故有e1+e2=a-b+a+b=a-b.] 4.如图2313,在平面内有三个向量,,,||=||=1,与的夹角为120°,与的夹角为30°,||=5,设=m+n(m,n∈R),则m+n=________. 图2313 15 [作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ,如图, 则∠COQ=∠OCP=90°,在Rt△QOC中,2OQ=QC,||=5. 则||=5,||=10,所以||=10,又||=||=1,所以=10,=5,所以=+=10+5,所以m+n=10+5=15.] 5.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:a,b可以作为一组基底; (2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式; 7 (3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值. 【导学号:84352219】 [解] (1)证明:若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得⇒所以λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底. (2)设c=ma+nb(m,n∈R), 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2, 所以⇒ 所以c=2a+b. (3)由4e1-3e2=λa+μb, 得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2) =(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2, 所以⇒ 故所求λ,μ的值分别为3和1. 7查看更多