2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第6次月考试题 数学理

2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第6次月考试题 数学理

衡阳市八中2020届高三第六次月考试题 理科数学 考试时量：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设集合，则 A． B． C． D． ‎ ‎2. 设为虚数单位，若是纯虚数，则 ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎3. 已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：‎ 根据该折线图可知，下列说法错误的是 A．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高 B．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低 C．该超市2019年1~6月份的总收益低于2019年7~12月份的总收益 D．该超市2019年7~12月份的总收益比2019年1~6月份的总收益增长了90万元 ‎4．已知，则 A． B． C． D．‎ ‎5. 已知，满足，则 A． B． C． D．‎ ‎6. 函数图象的大致形状是 ‎ ‎ A B C D ‎7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为 ‎ A．米 B．米 C．米 D．米 ‎8.已知函数，且在上单调.则下列说法正确的是 A． B． ‎ C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点对称 ‎9.在中，，满足，则的面积的最大值为 A. B. 2 C. D. ‎ ‎10．已知双曲线C：，分别为其左、右焦点，为坐标原点，‎ 若点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则C的离心率是 A． B． C．2 D．‎ ‎11. 在正方体中，，分别为，上的动点，且满足，则下列4个命题中：‎ ‎①存在，某一位置，使； ②的面积为定值；‎ ‎③当时，直线与直线一定异面； ‎ ‎④无论，运动到何位置，均有. 其中所有正确命题的序号是 ‎ A. ①②④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④‎ ‎12．若函数在区间内有两个不同的零点，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）‎ ‎13．若的展开式中的系数为，则实数__ __．‎ ‎14．在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平 面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为 ．‎ ‎15.已知数列满足，，，则(1) ，‎ ‎(2) .‎ ‎16．如图，衡阳市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路，有一商城的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路，点分别在公路上，且要求与椭圆形商城相切，当公路长最短时，的长为________千米.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎（一）必考题：60分．‎ ‎17．(本小题满分12分) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求角B的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．‎ ‎18．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，使△ACD为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.‎ ‎（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；‎ ‎（2）求角的正弦值.‎ ‎19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆的长轴长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为的直线交椭圆于B，C两点，直线的斜率之积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线，直线分别与相交于 两点，设为线段的中点，求证：‎ ‎20．(本小题满分12分)已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数在区间上的值域；‎ ‎（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y(万人)‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎180‎ ‎(1)试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；‎ ‎(2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次。若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。‎ 附：在线性回归方程中，.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22. (本小题满分10分) [选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（t为参数），在以 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程，直线与曲线C交于A、B两点．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎23. (本小题满分10分) [选修4－5：不等式选讲] ‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎2020届衡阳市八中高三第六次月考理科数学 参考答案 考试时量：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D D A C B C A C B D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）‎ ‎13． __ -2 __． 14． ．‎ ‎15. (1) ， (2) .‎ ‎16． __ ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎（一）必考题：60分．‎ ‎17．(本小题满分12分) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求角B的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．‎ ‎【详解】(1)由，得，‎ 即，即.‎ 由正弦定理得，因，‎ 所以，则，‎ 所以， 所以，即.‎ ‎(2)由△ABC的面积为，即，得.‎ 因为D为边AC的中点，所以，所以，‎ 即，‎ 当且仅当时取“=”，所以，即线段BD长的最小值为.‎ ‎18．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，使△ACD为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.‎ ‎（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；‎ ‎（2）求角的正弦值.‎ ‎【详解】(1)证明：过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD.‎ 因为△ACD为等边三角形，所以AC=AD，所以点G在CD的垂直平分线上.‎ 又因为EF是CD的垂直平线，所以点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.‎ 另证：过点A作AG⊥EF，再证AG⊥CD，从而证得AG⊥平面BCDE，‎ 即点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上 ‎(2) 解：以G为坐标原点，GA所在直线为z轴，GF所在直线为y轴，过点G作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD的边长为2a，连接AF，‎ 则AF= a，AE= a，EF=2 a. ‎ 所以 设平面ADE的一个法向量为m=(x，y，z)，则，‎ 取y=1，得m=，又平面DEC的一个法向量n=(0，0，1)‎ 所以，即.‎ ‎19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆的长轴长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为的直线交椭圆于B，C两点，直线的斜率之积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线，直线分别与相交于两点，设为线段的中点，求证：‎ ‎【详解】(1)设，‎ 因点B在椭圆上，所以，故 又， 所以，即 因 所以，所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设直线BC的方程为，‎ 由，得，‎ 则.‎ 直线的方程为，令，得；‎ 同理；‎ 所以，‎ 即点，又，所以，所以.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数在区间上的值域；‎ ‎（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【详解】(1) 当时，，则 令，则.‎ 当时，‎ 当时，，得，解得 当时，，得，解得 所以在上单调递增，在上单调递减，故 即，在上单调递减，‎ 所以 所以函数在区间上的值域为.‎ ‎(2)因为，故 可化为 即函数在区间上为增函数，‎ 所以当时，即恒成立.‎ ①当时，；‎ ②当时，，‎ 令，则.‎ 当时，，‎ 当时，，当时，.‎ 所以在上单调递减，故，所以.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y(万人)‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎180‎ ‎(1)试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；‎ ‎(2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者 可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次。若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。‎ 附：在线性回归方程中，.‎ ‎(1) ‎ 故 从而 所以所求线性回归方程为，‎ 令，解得.‎ 故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人 ‎（3）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为,即。遥控车移到第n（）格的情况是下列两种，而且也只有两种。‎ ‎ ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为 ‎ ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为 所以， ‎ ‎ 当时，数列是公比为的等比数列 ‎ ‎ ‎ 以上各式相加，得 ‎ （）， 获胜的概率 失败的概率 设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为元，或 X的期望 参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约400元.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22. (本小题满分10分) [选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（t为参数），在以 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程，直线与曲线C交于A、B两点．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【解析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），‎ 消去参数，可得直线l的普通方程，‎ 曲线C的极坐标方程为，即，‎ 曲线C的直角坐标方程为，‎ ‎（2）直线的参数方程改写为（t为参数），‎ 代入，‎ ‎．‎ ‎23. (本小题满分10分) [选修4－5：不等式选讲] ‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【解析】(1)略解：，‎ 所以不等式的解集为；‎ ‎(2)证明：因为，所以，当且仅当时取“=”‎ 所以 当且仅当且时取“=”，故得证.‎