高中数学讲义微专题44 线性规划——非常规问题

高中数学讲义微专题44 线性规划——非常规问题

- 1 - 微专题 44 线性规划中的非常规问题 一、基础知识： 在线性规划问题中，除了传统的已知可行域求目标函数最值之外，本身还会结合围成可 行域的图形特点，或是在条件中设置参数，与其它知识相结合，产生一些非常规的问题。在 处理这些问题时，第一依然要借助可行域及其图形；第二，要确定参数的作用，让含参数的 图形运动起来寻找规律；第三，要能将图形中的特点与关系翻译成代数的语言，并进行精确 计算。做到以上三点，便可大大增强解决此类问题的概率。 二、典型例题： 例 1：不等式组 所表示的平面区域为 ，若 的面积为 ，则 的 最小值为________ 思路：先作出平面区域。直线 ， 可判断出过定点 ，通过作图可得平面区域 为直 角三角形。所以三角形面积 。从而 ，因为 ，所以 答案：32 例 2：关于 的不等式组 所确定的区域面积为 ，则 的最 小值为（ ） A. B. C. D. 思路：要求出 的最值，则需要 的关系，所以要借助不等式组的面积，先作出不等 式的表示区域，从斜率可判断出该区域为一个矩形，可得长为 ，宽为 ，所以 ，即 ，作出双曲线，通过平移 可得直线与   0 0 1 4 x y k y kx k         D D S 1 kS k   4 4y kx k k x      4,0 D 1 4 4 82S k k    28 1 18 1 8 1 21 1 1 1 kS k k kk k k k                     11 21k k   32S  ,x y  0 y x a b a y x b         2 2b a 3 2 3 2 1 2b a ,a b 2 a b 2 b a 2 2 22 b aS   2 2 4b a  2z b a  2 2 4b a  - 2 - 相 切 时 ， 取 得 最 小 值 。 即 ： 解得 ，所以 的最小 值为 答案：B 例 3：若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则实数 的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 思路：本题约束条件含参，所以先从常系数不等式入手作图，直线 为一组平行线， 在平移的过程中观察能否构成一个三角形。一方面， 本身就构成一个三角形。所以当 时，不等式组的区域与 区域相同，从而符合 题 意 。继续 将 直 线 向 下 平 移 。 可 得 时，不等式组的区域为一个四边形。当 时， 从 的区域中切割出来了一个三角形。所以符合题意。而 时，不等式组无公共区域。综上所述， 或 答案：A 例 4：已知平面区域 恰好被面积最小的圆 及其内 2b a 2 2 2 24 3 2 16 0 2 b a a az z z b a            24 4 48 0z    2 3z  2z b a  2 3 0 0 2 4 x y x y s x y         s 0 2s  4s  0 2s  4s  2s  4s  x y s  0 0 2 4 x y x y       4s  0 0 2 4 x y x y       x y s  2 4s  0 2s  x y s  0 0 2 4 x y x y       0s  0 2s  4s  0 0 2 4 0 x y x y           2 2 2:C x a y b r    - 3 - 部所覆盖，则圆 的方程为_______ 思路：作图可得可行域为直角三角形，所以覆盖三角形最小的圆即为该三角形的外接圆。 ，所以外接圆圆心为 中点 ，半径为 ，所以圆方 程为 答案： 例 5：过平面区域 内一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， 记 ，则当 最小时 的值为( ) A. B. C. D. 思路：通过作图可知 与 关于 对称，从而 ，从而问题转化为寻 找 的 最 小 值 。 可 利 用 三 角 函 数 ， ，且 ，所以 越大，则 越小，从而 越小。将问题转化为在平 面区域中寻找距离 最远的点。通过数形结合可 得 点 ， 所 以 。从而 答案：C 例 6：(2013,北京，8)设关于 的不等式组 ，表示的平面区域内存在点 满足 ，则 的取值范围是__________ 思路：约束条件含参，但两条直线有特点， 和 的 交 点 ， 依 题 意 可 得 平面 区 域 与 直 线 C    4,0 , 0,2A B AB  2,1C 1 52r AB     2 22 1 5x y       2 22 1 5x y    2 0 2 0 2 0 x y y x y           P 2 2: 1O x y  ,A B APB    cos 95 10 19 20 9 10 1 2 PAO PBO OP 2 APB   APB sin OAAPB OP 1OA  OP sin APB APB  0,0O  4, 2P   1 1sin 2 5 OAAPB OP OP     2 9cos cos 2 1 2sin 10APB APB      ,x y 2 1 0 0 0 x y x m y m           0 0,P x y 0 02 2x y  m x m  y m  ,m m - 4 - 有公共点，结合图像可判断出 ，从而不等式组在直角坐标系中的区域为一个直 角三角形（如图）。若区域与 有公共点，则只需 位于 的下方即 可 。 因 为 的 下 方 区 域 对 应 的 不 等 式 为 ， 代 入 可 得 答案： 例 7：当实数 满足 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 _________ 思路一：先作出不等式组所表示的区域（如图），设 ，则有 ， ，则 要对斜率 的符号进行分类讨论，若 ， 从 图 上 可 看 出 ， 不 符 题 意 ； 时 ， 不符题意；若 ，无论 为何值，最优解 在顶点处取得，所以代入区域的顶点 ，可得： ，解得 思路二：从恒成立的不等式入手，考虑进行参变分离。由约束条件可得 ，所以恒成立不 等式为 ，所以 ，只需找到两个分式的 最值即可，而由分式可联想到斜率，所以作出平面区域，分别找区域中的点 与定点 连 线 斜 率 的 最 值 即 可 。 （ 处 取 得 ）， 2 2x y  0m  2 2x y   ,m m 2 2x y  2 2x y  2 2x y   ,m m 22 2 3m m m      2 3m   ,x y 2 4 0 1 0 1 x y x y x          1 4ax y   a z ax y  min max1, 4z z  y ax z   a 0 0a a    min 0z  0a  min 0 1z   0a  a    31,0 , 1, , 2,12      1 4 31 42 1 2 1 4 a a a           31, 2a      1x  1 41 4 y yax y ax x        max min 1 4 ya x ya x                ,x y    0,1 , 0,4 max 1 1y x      1, 0x y  12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 20 15 10 5 5 10 15 20 x=1 x+2y-4=0 x-y-1=0 - 5 - （ 处取得），可得： 答案： 例 8：若不等式组 所表示的平面区域被直线 分成面积相等的两部分， 则 的值为（ ） A. B. C. D. 思路：在坐标系中作出可行域，如图所示为一个三 角形，动直线 为绕定点 的一条动 直线，设直线交 于 ，若将三角形分为面积相 等的两部分，则 ，观察可得两个三角 形高相等，所以 即 为 中点，联 立 直 线 方 程 可 求 得 ， 则 ，代入直线方程可解得 答案：C 例 9：在约束条件 ，当 时，目标函数 的最大值的变化范围 是（ ） A. B. C. D. 思路：目标函数可化为 ，斜率为 介于直线 斜率之间，先在坐标系 min 4 3 2 y x      2, 1x y  31, 2a      31, 2      0 3 4 3 4 x x y x y        4y kx  k 7 3 3 7 17 3 3 17 4y kx   0,4 AC M ABM BCMS S  AM MC M AC  40, , 1,13A C     1 7,2 6M      17 3k   0 0 2 4 x y x y s x y         3 5s  3 2z x y   6,15  7,15  6,8  7,8 3 2 2 zy x   3 2 ,2 4x y s x y    - 6 - 中作出 的范围，再平移直线 ，在移动过程中可发现 时，可行域 为四边形；当 时，可行域为三角形。所以进行分类讨论：当 ，可行域为四边 形 ， 最 优 解 为 ， 联 立 方 程 ： ， 所 以 ；当 时，可行域为三角形 ，最优解在 取到，此 时 ，综上所述， 答案：D 例 10：已知区域 ，则圆 与区域 有公共点，则 实数 的取值范围是__________ 思路：先在坐标系中作出区域 ，圆 的圆心为 ，半径 为 ，所以只需确定圆心的取值范围即可，通过左右平移圆可 观察到圆 与直线 和 相切 是 取值的临界条件。当圆与 相切时，则 ，由 圆心位置可得 ；当圆与 相切时， ，所以 答案： 0 0 2 4 x y x y       x y s  3 4s  4 5s  3 4s  OABC B  4 ,2 42 4 x y s B s sx y         max 4 7,8z s   4 5s  'AOC  ' 0,4C max 8z   max 7,8z  2 : 2 0 1 0 y D x y x y             2 2: 2 2C x a y    D a D C  ,2a 2 C 1 : 2 0l x y   2 : 1 0l x y   a 1 : 2 0l x y   1 2 2 2C l ad a      2a   2 : 1 0l x y   2 3 2 5 2C l ad a      2,5a    2,5a  