云南省昆明市第一中学2020届高三第八次考前适应性训练 数学(理)试题

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云南省昆明市第一中学2020届高三第八次考前适应性训练 数学(理)试题

云南省昆明市第一中学2020届高三第八次考前适应性训练 数学(理)试题 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.欧拉公式(其中i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的,当x=π时,这是数学里最令人着迷的一个公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式,若将所表示的复数记为z,则 ‎ ‎ ‎2.已知集合A={x||x|<3,x∈N},集合B={-1,0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合为 A.{1,2} B.{0,1,2} C.{-1,1,2} D.{-1,0,1,2}‎ ‎3.函数的大致图象是 ‎4.已知向量,且与共线,则在方向上的投影为 ‎ ‎ ‎5.已知点在双曲线的渐近线上,则该双曲线的离心率为 ‎ B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎6.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若则 A.1 D.2‎ ‎7.执行如图所示的程序框图,若输出的则图中判断框内可填入 的条件是 ‎ ? ? ‎ - 11 -‎ ‎8.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如18=7+11,在不超过18的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于18的概率是 ‎ ‎ ‎9.已知正三棱柱的各棱长都相等,D是侧棱的中点,则异面直线与所成的角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎10.已知函数f(x)=sinωx-cosωx在(上单调递减,若ω>0,则ω的取值范围是 ‎ C.[3,4] ‎ ‎11.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且x∈[0,1]时,则 A.- B. C. D.1‎ ‎12.已知椭圆的左、右焦点分别为,C分别为椭圆的上、下顶点,直线与椭圆的另一个交点为D,若则直线CD的斜率为 ‎ ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.曲线在点(1,0)处的切线方程为____‎ ‎14.若直线kx-y+k=0与不等式组表示的平面区域有公共点,则实数k的取值范围是_____‎ ‎15.已知且θ∈(0,π),则____‎ - 11 -‎ ‎16.在三棱锥A-BCD中,AB=AC,DB=DC,AB+BD=4,AB⊥BD,则三棱锥A-BCD的外接球体积的最小值为____‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.(12分)‎ 已知数列{满足 ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求的前n项和 ‎18.(12分)‎ 某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式c为大于0的常数).按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:‎ ‎(1)现从抽取的6件合格产品中再任选3件,记ξ为取到优等品的件数,试求随机变量ξ的分布列和期望;‎ ‎(2)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:‎ 根据所给统计量,求y关于x的回归方程;‎ 附:对于样本(,其回归直线u=b·v+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:‎ - 11 -‎ ‎19.(12分)‎ 如图,三棱柱的底面是等边三角形在底面ABC上的射影为△ABC的重心G.‎ ‎(1)已知证明:平面平面;‎ ‎(2)已知平面与平面ABC所成的二面角为60°,G到直线AB的距离为a,求锐二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)‎ 已知点F(0,1),直线l:y=-1,点E为l上一动点,过E作直线为EF的中垂线与交于点G,设点G的轨迹为曲线Γ.‎ ‎(1)求曲线Γ的方程;‎ ‎(2)若过F的直线与Γ交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点P,求|FP|与|AB|的比值.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数f(x)=ln(1+x)+sinx-ax,a>0.‎ ‎(1)当a=2时,证明:f(x)≤0;‎ ‎(2)若f(x)在(-1,+∞)只有一个零点,求a.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.(选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ - 11 -‎ 以直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆和圆的极坐标方程分别是ρ=4cosθ和ρ=2sinθ.‎ ‎(1)求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若射线OM:θ=α与圆的交点为O、P,与圆的交点为O、Q,求|OP|·|OQ|的最大值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边.‎ ‎(1)若a,b,c成等比数列,证明:;‎ ‎(2)若a+b<‎2c,证明:c ‎2020届昆一中高三联考卷第八期联考 理科数学参考答案及评分标准 命题、审题组教师 杨昆华 张宇甜 顾先成 李春宣 王海泉 莫利琴 蔺书琴 张远雄 崔锦 杨耕耘 一、选择题 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A D B D C A D B A C ‎1. 解析:依题意,则,选C.‎ ‎2. 解析:,易知图中阴影部分对应的集合为,‎ - 11 -‎ ‎,选B.‎ ‎3. 解析:函数为非奇非偶函数,排除B,C选项;当时,,所以选A.‎ ‎4. 解析:由已知:与共线,可得,所以在方向上的投影为:,‎ 选D.‎ ‎5. 解析:因为, 所以,选B.‎ ‎6. 解析:由正弦定理得:,‎ 所以,即:,所以,选D.‎ ‎7. 解析:;;;;,此时输出,结合选项,选C.‎ ‎8. 解析:不超过的素数有,随机选取两个不同的数,其和等于的情况有和两种,所以概率为,选A.‎ ‎9. 解析:设的中点为,则平面,连结,则,‎ 由三垂线定理得,选D.‎ ‎10. 解析:因为,因为,由已知得:,所以, ‎ 由于,所以,解得,选B.‎ ‎11. 解析:,可推出为周期为2的函数,所以,选A.‎ ‎12. 解析:有题意可知,,所以,令,则,所以,所以,所以,选C.‎ 二、填空题 - 11 -‎ ‎13. 解析:因为,由导数的几何意义知,故曲线在点处的切线方程为.‎ ‎14. 解析:直线过定点,‎ 不等式组表示的区域如图:‎ 可知的取值范围是:.‎ ‎15. 解析:由得:,所以,‎ 由,所以,由得:,‎ ‎,所以, 所以.‎ ‎16. 解析:由题意可得,△△,所以,所以为三棱锥的外接球的直径,设,则,所以,所以三棱锥的外接球的半径,所以三棱锥的外接球体积的最小值为 三、解答题 ‎(一)必考题 ‎17. 解析:(1)时,‎ 时,由 …①‎ 可得 …②‎ ‎①-②,,‎ 因为适合,所以的通项公式为. ………6分 ‎(2), …③‎ ‎,…④‎ ‎③-④得 - 11 -‎ ‎,. ………12分 ‎ ‎18. 解:(1)由已知,优等品的质量与尺寸的比在区间内,即,‎ 则随机抽取的6件合格产品中,有3件为优等品,3件为非优等品 ,‎ 现从抽取的6件合格产品中再任选3件,则取到优等品的件数,‎ ‎,,‎ ‎,. ‎ 的分布列为 所以. ………6分 ‎ ‎(2)解:对()两边取自然对数得,‎ 令,得,且,根据所给统计量及最小二乘估计公式有,‎ ‎, ‎ ‎,得,故,‎ 所求关于的回归方程为. ………12分 ‎ ‎19.(1)证明:连接并延长交于,‎ 由已知得平面,且,‎ 所以,因为,‎ 所以平面,所以,‎ - 11 -‎ 因为四边形是平行四边形,且,‎ 所以四边形是菱形,‎ 所以,因为,所以平面,‎ 因为平面,所以平面平面. ………5分 ‎(2)解:连接,因为在底面上的射影是的重心,‎ 所以与全等,‎ 所以,因为,所以点为中点,所以,‎ 故平面与平面所成的二面角的平面角为,‎ 由,得,,,‎ 故可以为原点,,分别作为轴、轴、建立空间直角坐标系,则 ‎,,, , , ‎ 所以,,, ‎ 设为平面的一个法向量, 则,可取, ‎ 设平面的一个法向量为,则,可取,‎ 所以,‎ 即锐二面角的余弦值为. ………12分 ‎20. 解:(1)由条件可知,即点到的距离等于点到点的距离,‎ ‎ 所以点的轨迹是以为准线,为焦点的抛物线,‎ ‎ 其方程为:.………5分 ‎(2)设线段的垂直平分线与交于点,分别过点作,垂足为,‎ 再过点作,垂足为,‎ - 11 -‎ 因为, 所以∽,所以,‎ 设,(不妨设),由抛物线定义得, ,‎ 所以,‎ 而,‎ 所以.………12分 ‎21. 解:(1)当时,,‎ 令,则,‎ 若,则,则,则在上单调递减,‎ 又,故,故在上单调递增,‎ 又,故对任意,恒成立;‎ 若,因为且,所以,则在上单调递减,又,‎ 故对任意,恒成立.‎ 综上,当时,对任意, 恒成立. ……… 5分 ‎ ‎(2)当时,在上单调递减,又,‎ 又则,,结合零点存在性定理知在内存在实数可使得,又,与在只有一个零点矛盾;‎ 当时,在上单调递减,又,‎ 结合零点存在性定理知在内存在实数可使得,故当时,‎ 即在上单调递增,又,故;‎ 构造函数,,则,则,‎ 故在单调递减,又,故,故在单调递减,‎ - 11 -‎ 又,故即,对任意恒成立,‎ 因为,所以,故,即,即,‎ 因为,且,‎ 即,由零点存在性定理知:在内存在实数可使,‎ 又,与在只有一个零点矛盾;‎ 综上,要使在只有一个零点,则. ……… 12分 ‎(二)选考题:第22、23题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分。‎ ‎22. 解: (1) 将圆和圆的极坐标方程和两边乘, 由直角坐标和极坐标的互化公式:,,可得圆和圆的直角坐标方程分别为::,两式相减可得圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程为. ………5分 ‎(2)依题意可得两点的极坐标分别为,,所以,从而,当时等号成立,所以的最大值为. ………10分 ‎23. 证明: (1)依题意可得, ‎ 因为,‎ 所以, ………5分 ‎(2)要证:,只需证: ,只需证: ,两边平方后化简整理即是: ,由题设知, 成立,所以,不等式成立. ………10分 - 11 -‎
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