云南师范大学附属中学2020届高三适应性月考（八）数学（理）试题（PDF版）

云南师范大学附属中学2020届高三适应性月考（八）数学（理）试题（PDF版）

云南师大附中 2020 届高考适应性月考卷（八） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B A D B C A D A C C 【解析】 1 ． 解 不 等 式 2 2 3 0xx−−≤ ，得 13x− ≤ ≤ ， 所 以 {|13}Axx=−≤ ≤ ， 因此 AB= { 1 0 1 2 }− ， ， ， ，故选 B． 2．因为 4 6i (4 6i)(1 i) 1 5i1 i (1 i)(1 i)z + + += = = − +− − + ，所以 1 5 iz = − − ，故选 C． 3．细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为 6 ，设高为 h ，则 211π 672 π33VShh=== ， 6h = ，故选 B． 4． 7 323 2 54C(2)80xxx−= −第 项为 ，故选 A． 5． 31 π 10 π 103sincos2sincos2coscos2235310 −=−= −+=+= − ，∴ ，故选 D． 6． 2 2 2 2 0.5 1 2 2 1log 0.2 log log 5 2 log 5 3 3 2 log 3 log 3 log 35a a b= = = −   −   − = = = −∵ ， ，∴ ；∵ ， 21log3221 b− − ，∴ ； 555 115loglog 4 0log 4 110.44 c cc=== −−  ∵ ，∴ ， ，∴ cba∴ ，故选 B． 7．由 33 | | | | ()( ) ( )eexx xxf x f x− −− = = − = − ，可知 ()fx为奇函数，所以图象关于原点对称，排除 A， B；令 ()0fx= ， 可知 0x = ，可知图象与 x 轴只有一个交点，故选 C． 8．由三视图还原原几何体如图 1，由图可知，该几何体是组合体，上半部分是半径为 2 的 球 的 四 分 之 一 ， 下 半 部 分 是 棱 长 为 4 的 正 方 体 ， 则 该 几何体的 体 积 为 33148 π4 π 264433+ =+ ，故选 A． 9 ． π( ) sin(2 ) | | 2f x x = +  的 图 象 向 左 平 移 6  个单位后得到 πsin 2 6x + + = πs i n 2 3x ++ ，由于 πsin2 3yx=++  为偶函数，所以 π ππ ()32kk+=+ Z ，由于 π|| 2  ，所以 π 6 = ， 所以 π( ) sin 2 6f x x=+ ．当 π0 2x   ， 时， π π 7π2 6 6 6x + ， ，所以 π 1( ) sin 2 162f x x   = +  −    ， ，通过 图象可知方程 ( ) 0f x k −=有两个不同的实根时， 1 12k   ， ，故选 D． 10． 如图 2，因为 22M F N F⊥ ，所以 2245NMFMNF= = ，取 Q 为 MN 的中点，则 2F Q M N⊥ ，又因为 2F Q b= ，在 2Rt F MQ△ 中，有 2sin45 2 b a == ，所以 6 2e = ，故选 A． 11．通过观察，平面 MN P∥平面 11A D D A ，所以 1AD ∥ 平面 MN P ，①正确；设 棱 长 为 2 ， 用 向 量 法 1 ( 2 0 1) (1 2 0)HD CQ= − = −， ， ， ， ， ，则 1 2000HDCQ =−++ ，②错误（传统解法：取 1DD 的四等分靠近 D 的点 E ，连接 E C E Q C Q， ， ， 因 为 1E Q H D∥ ，所以 E Q C 是 1HD 与 CQ 所成的角.设棱长为 2，则 222 1755 44CQCEEQ===， ， ，由余弦 定理得 2cos 5EQC=，所以②错误）；因为 PQHR∥ ，故 PQHR， ， ， 四点共面，③正确；体对角线 1AC ⊥ 平面 11AB D ，垂足三等分体对角线，④正确；所有正确的是①③④，故选 C． 12 ． 如图 3 ， 由 ()fx 的 函 数 图 象 ： 令 2 ()()0fxbfxc++= ，得 ( ( ) )( ( ) ) 0f x A f x B+ + = ，即有 ()f x A=− 或 ()f x B=− ，要使 ()Fx有 7 个零 点，则应有一个方程有 4 个解，一个方程有 3 个 解，由 ()fx图象应 有 A ， B 中有一个为 0 ，有一个小于 0 ，故选 C． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 1 2 320yx−−= 或 3 2 0yx+ − = 26 π 3 或 2π 3 【解析】 13．由题设得 2 (4 16)+=，ab ，因为( 2 )+ ∥a b c ，所以 4 2 16 0x−=，解得 1.2x = 14．易知 MN 的斜率存在，设直线的方程为 2ykx=+，如图 4，过圆心 O 作 OH MN⊥ ，易得当Q 位于 HO 的延长线上时距离最大，即 4HQ = ，所以 图 1 图 2 图 3 图 4 1HO = ，由点到直线的距离公式可得 2 |2 | 1 1 d k == + ，所以 3k = ，直线的方程为 3 2 0yx− − = 或 3 2 0.yx+ − = 15．由 ta n 15B =− ， 得 115cossin 44BB=−= ， ， 1115sin15224ABCSacBac===△ ，所以 8ac = ，由余弦 定理得 2222 12cos()2224 4bacacBacacac =+−=−+−−=  ，所以 2 6.b = 16．如图 5， 2P M P F=∵ ， F 为 PM 的中点， | | 2B M p=∴ ，即 | | 2F M p= ， ||22||PFpAF==∴ ， π 3PFA=∴ ，直线 l 的倾斜角为 π 3 或 2 π .3 图 5 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 解：（1）茎叶图如图 6 所示． ……………………………………（4 分） （其中左右两边各 2 分，如有一边对一部分给 1 分） 城市中学的平均分高于县城中学平均分，………………………………………………（5 分） 城市中学学生成绩比较集中，县城中学学生成绩比较分散．…………………………（6 分） （2） 80 分以上的学生共有 10 名， 90 分以上的学生共有 3 名， 由题可知 0 1 2 3X = ，， ， ，………………………………………………………………（7 分） 4 7 4 10 C 35 1( 0) C 210 6PX= = = = ， 31 73 4 10 CC 105 1( 1) C 210 2PX= = = = ， 22 73 4 10 CC 633(2) C21010PX==== ， 13 73 4 10 CC 71(3) C21030PX==== ，…………………………………………………………（9 分） X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 ………………………………………………………………………………………（10 分） 11316()0123 6210305EX =+++= ．……………………………………………（12 分） 18．（本小题满分 12 分） （1）证明：如图 7，连接 AE ， E∵ 为 BC 的中点，故 ADBE∥ 且 ADBE= ， 故 ABED 为平行四边形， .AB DE∥ ………………………（2 分） 60ABC=∵ ，易知 ABE△ 为等边三角形， F 为 AB 的中点， 故 EFAB⊥ ，即 EFDE⊥ ．……………………………………………………………（4 分） 又 DEPDEABED=∵ 平面 平面 ，且 PDEABED⊥平面 平面 ， 故 .EFPDE⊥ 平面 又 EF PEF∵ 平面 ，故平 面 PEF ⊥ 平 面 .PED ……………………………………（6 分） （2）解：取 DE 的中点 O ，连接OP OA， ， PEPD=∵ ， .PODE⊥∴ PDEABED⊥平面 平面 ， PDEABEDDE =平面 平面 ， POABED⊥∴ 平面 ，易证 AED△ 为等边三角形， 故 .AODE⊥ 如图 8，以O 为坐标原点，OA 为 x 轴，OE 为 y 轴， OP 为 z 轴建立空间直角坐标系．…………………………………（8 分） (0 0 3)P ， ， ， (0 1 0)E ，， ， ( 3 2 0)B ， ， ， 图 7 图 6 (013)PE =−， ， ， (323)PB =−， ， . 设平面 PBE 的法向量为 ()m x y z= ， ， ， 故 0 3 0 0 3 2 3 0 m PE y z m PB x y z  = − == + − =   ， ， ， 解得 (131)m =−−， ， ．…………………（10 分） 设平面 BED 的法向量为 (0 0 1 )n = ， ， ， 则 | | 5|cos | 5| | | | mnmn mn   = =， ， P B E D−−∵ 为锐二面角，故二面角 P B E D−−的余弦值为 5 .5 ………………………………………………………………………………………（12 分） 另解： 如图 9，取 DE 的中点 O ，连接 OP ， P E P D=∵ ， P O D E⊥∴ ， PDEABED⊥平面 平面 ， PDEABEDDE =平面 平面 ， POABED⊥∴ 平面 ， .POBE⊥ 过点 O 作OHBE⊥ 交 BE 的延长线于点 H ，连接 PH ， 故 BHPOH⊥ 平面 ，故 PHBH⊥ ， PHO∴ 为二面角 PBED−−的平面角， 3PO = ， 3 2OH = ， 故 tan2 PHO=，故 5cos 5PHO=， 即二面角 P BE D−−的余弦值为 5 .5 ………………………………………………（12 分） 19．（本小题满分 12 分） 解：（1）当 1n = 时，有 112 3 3aa=−，解得 1 3.a = ……………………………………（1 分） 当 2n≥ 时，由 2 3 3nnSa=−，得 112 3 3nnSa−−=−，……………………………………（2 分） 所以 12 3 3 3 3n n na a a −= − − + ，即 13(2)nnaan −= ≥ ，……………………………………（3 分） 故 1*3 3 3 ( ).nn nan−= = N ……………………………………………………………（4 分） （2）由（1）得 1 33n nnbb+ =+， 1 1 1 3 3 3 nn nn bb+ + =+∴ ， 即 1 1 3nncc+ =+. 又 1 1 13 bc ==， ……………………………………………………………………………（5 分） ∴ 数列 {}nc 是以 1 为首项， 1 3 为公差的等差数列， …………………………………（6 分） 故 1 ( 2 )3ncn=+， 又 1 1 3n na + + = ， …………………………………………………………（7 分） 所以 1 1 1(2)3(2)33 nn nncann + + =+=+ ，……………………………………………（8 分） 1 2 33 3 4 3 5 3 ( 2) 3n nTn= + + + + +∴ ，…………………………………………（9 分） 23413334353(1)3(2)3 nn nTnn +=+++++++∴ ，…………………………（10 分） 1 23411 9(13)29(3333 )(2)39(2)3 13 n nnn nTnn − ++−−=+++++−+=+−+ − ∴ ， 1139 3.244 n nTn +=+− ∴ ………………………………………………………………（12 分） 20．（本小题满分 12 分） 解：（1） 2()622(3)fxxaxxxa =−=− ， 令 ()0fx = ，得 0x = 或 3 ax = ．………………………………………………………（1 分） 若 0a  ，则当 (0) 3 ax −+   ， ， 时， ( ) 0fx  ； 当 0 3 a  ， 时， ( ) 0fx  ， 故 ()fx在 (0)− ， ， 3 a+ ， 上单调递增，在 0 3 a  ， 上单调递减， 此时 ()fx的极大值点为 0x = ；…………………………………………………………（3 分） 若 0a  ，则当 (0 )3 ax  − +  ， ， 时， ()0fx  ； 当 03 ax  ， 时， ( ) 0fx  ， 故 ()fx在 3 a− ， ， (0 )+， 上单调递增，在 03 a  ， 上单调递减， 此时 ()fx的极大值点为 3 ax = ；…………………………………………………………（5 分） 若 0a = ， ()fx在 ()− + ， 上单调递增，无极值．…………………………………（6 分） 图 8 图 9 （2）设过点 (1 )Pt， 的直线与曲线 ()y f x= 相切于点 00()xy， ， 则 32 0 0 02y x x=−，且切线斜率 2 0062k x x=−， 所以切线方程为 2 0000 (62)()yyxxxx−=−− ， 因此 2 0000 (62)(1)tyxxx−=−− ，整理得 32 0004720xxxt−++= ，……………………（7 分） 构造函数 32()472gxxxxt=−++ ， 则“若过点 (1 )Pt， 存在 3 条直线与曲线 ()y f x= 相切”等价于“ ()gx 有三个不同的零点”， 2()12142gxxx =−+ ， ()gx 与 ()gx 的关系如下表：…………………………（8 分） x 1 6 − ， 1 6 1 16   ， 1 (1 ) +， ()gx + 0 − 0 + ()gx 极大值 极小值 ……………………………………………………………………………………（10 分） 所以 ()gx 的极大值为 117 6108gt=+ ，极小值为 (1)1gt=−，要使 ()0gx = 有三个解， 即 1 06g  且 ( 1 ) 0g  ，解得 17 1108 t− ．…………………………………………（11 分） 因此，当过点 ( 1 )Pt， 存在 3 条直线与曲线 ()yfx= 相切时， t 的取值范围是 17 1108 − ， ． ……………………………………………………………………………………（12 分） 21．（本小题满分 12 分） 解：（1）设过点 (0 2 )G ， 的直线为 2ykx=+， 直线 2ykx=+代入椭圆 22 143 xyE +=： ，得 22(3 4 ) 16 4 0k x kx+ + + = ， 22(16 )16(34)0kk =−+= ， 21230k −=， 1 2k = ， 过点 (0 2)G ， 与椭圆 E 相切的直线方程为 1 2.2yx=  + ……………………………（5 分） （2）焦点 (1 0)F ， ，设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ，直线 1l x my=+： ， 直线 l 与椭圆 E 联立 22 1 3412 xmy xy =+  += ， ， 消去 x 得 22(34)690mymy++−= ， 2 1211 22 69144144 3434 mmyyy y mm =++= −= − ++ ， ， ， 2 2 12 2 12(1)||1||. 34 mABmyy m +=+−= + 点 0(4 )Py， 到直线 1l x m y=+： 的距离为 0 2 | 3 | 1 my m − + ， 以 PA 为直径的圆过点 F ，得 AF PF⊥ ， 0 0 1 133 y ymm = − = −， ， 3 2 2 0 22 |3 |1 18( 1)||2 3 41PAB my mS AB mm − +==++△ ， 令 2 11tm=+≥ ， 3 218 31PAB tS t= +△ ， 求导 31 22 2 2727 10(31)PABPAB ttStS t +=+△ △， ≥ ， ， 3 218 31PAB tS t= +△ 在 1t ≥ 上递增， 91.2PABtS==△当 时， 最小 …………………………（12 分） 22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】 解：（1）由题意得曲线 1 cos ()sin xC y   =  = ，： 为参数， 的普通方程为 221.xy+= ………………………………………………………………………………………（1 分） 由伸缩变换 2 3 xx yy  =   = ， ，得 2 3 xx yy  =  = ， ， ……………………………………………………（2 分） 代入 221xy+=，得 22 1.49 xy+=………………………………………………………（3 分） 2C∴ 的普通方程为 22 1.49 xy+=…………………………………………………………（4 分） （2） ∵ 直线 l 的极坐标方程为 3 cos2 sin2 3 +=， ∴ 直线l 的普通方程为 32230.xy+−= ……………………………………………（5 分） 设点 P 的坐标为(2cos 3sin )， ， ……………………………………………………（6 分） 则点 P 到直线 l 的距离 |23 cos6sin23| 34 d +−= + ………………………………………………………………………………………（7 分） π223sin3 6 . 7 +−= ………………………………………………………………（8 分） 当 πs i n 1 6+ = − 时， max 6 21 7d = ，…………………………………………………（9 分） 所以点 P 到直线 l 距离 d 的最大值为 6 21 .7 ………………………………………………………………………………………（10 分） 23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】 解：（1）当 2a =− 时， ()|2|2|1|2.fxxx =−−+ ≥ ……………………………………（1 分） 等价于 1 2 x x −  − ， ≥ ，解得 21x−−≤ ，……………………………………………………（2 分） 或 12 2 3 x x − − ≤ ≤ ， ≤ ， 解得 21 3x−−≤ ≤ ， …………………………………………………（3 分） 或 2 6 x x   − ， ≤ ，解得  ， …………………………………………………………………（4 分） ()2fx∴ ≥ 的解集为 22.3 −− ， …………………………………………………………（5 分） （2）若 ()24fxx +对 [ 3 1]x − −， 恒成立， 有||2(1)24.xaxx++++ ………………………………………………………………（6 分） ||2xa+∴ ， 22xaxa+ −+∴ 或 ，…………………………………………………（7 分） min max( 2 ) (2 )a x a x − −  −∴ 或 ，………………………………………………………（8 分） 1 5.aa − ∴ 或 …………………………………………………………………………（9 分） 0 1.aa  −又∵ ，∴ ……………………………………………………………………（10 分）