湖南省邵阳市重点学校2020届高三综合模拟考试 数学（文）（PDF版）

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邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试 文科数学试卷 第 1页 共 6页 邵阳市部分学校 2020 届高三综合模拟考试 文科数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3．本卷答题时间 120 分钟，满分 150 分。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1．设函数   29f x x  的定义域 A，函数    ln 2g x x  的定义域为 B，则集合 A B 为 A．（2，3） B． 2,3 C． 3,2 D．（-3，2） 2．设复数 z 满足 1 3 1i z i   ，则|z|= A． B． C．2 D． 3．微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公 众账号.用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天 或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量 的 PK 或点赞.加入微信运动后，为了让自己的步数能领 先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的平均里程（单位： 十公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下 列结论正确的是 A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在8 、9月 D．1月至5 月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 4．在平行四边形 ABCD中， AC  与 BD  交于点O E， 是线段OD uuur的中点．若 AC a  ， BD b  ， 则 AE  A． 1 1 4 2a b  B． 2 1 3 3a b  C． 1 1 2 4a b  D． 1 2 3 3a b  5．将函数 sin 2 3 cos2y x x  的图象沿 x 轴向左平移 ( 0)   个单位后，得到关于 y 轴对称的 图象，则 的最小值为 A． 12  B． 6  C． 4  D． 5 12  邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试 文科数学试卷 第 2页 共 6页 6．函数 y=xlnx 的图象大致是( ) A． B． C． D． 7．汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以 16 等于 5 8 ，如图，网格纸上的小正 方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆， 利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ） A．32 B．40 C． 32 10 3 D． 40 10 3 8．20 世纪产生了著名的“3 1x  ”猜想：任给一个正整数 x ， 如果 x 是偶数，就将它减半；如果 x 是奇数，则将它乘3 加1， 不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图 是验证“3 1x  ”猜想的一个程序框图，若输入正整数 m 的值为 40 ，则输出的n 的值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．在梯形 ABCD中， / /AB CD ， 2AB CD ， 3BC CD ， 则 ADB 的最大值为（ ） A． 4  B． 3  C． 2  D． 2 3  10．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛” （图 1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数 学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图 2 为骨 笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图 3 是某骨 笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至） 日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光 线）的夹角等于黄赤交角. 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试 文科数学试卷 第 3页 共 6页 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 23 41  23 57  24 13  24 28  24 44  正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前 2000 年 公元前 4000 年 公元前 6000 年 公元前 8000 年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A．公元前 2000 年到公元元年 B．公元前 4000 年到公元前 2000 年 C．公元前 6000 年到公元前 4000 年 D．早于公元前 6000 年 11．已知点 F 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若 ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围是( ) A． 1, 2 B． 2, C． 1,2 D． 2, 12．已知在锐角 ABC 中，角 A， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c，若2 cos cosb C c B ，则 1 1 1 tan tan tanA B C   的最小值为（ ） A． 2 7 3 B． 5 C． 7 3 D． 2 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．如表为制作某款木制品过程中的产量 x 吨与相应的消耗木材 y 吨的统计数据，经计算得到 y 关于 x 的线性回归方程 ˆ 0.7 0.85y x  ，由于某些原因 m 处的数据看不清楚了，则根据运算可 得m  __________． 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试 文科数学试卷 第 4页 共 6页 x 3 4 5 6 y 2.2 3.5 4.8 m 14．在 ABC 中，若 2 2 2cos cos cos cos cos cos cos2A B C A B C B     ，且 6AB  ，则 ABCS 的 最大值为________. 15．已知 F 是抛物线C ： 2 2 ( 0)y px p  的焦点， P 是抛物线C 在 x 轴上方一点，以 P 为圆心，3 为半 径的圆过点 F 且被 y 轴截得的弦长为 2 5 ，则抛物线C 的方程为________. 16．若函数 21( ) ln 22f x a x x bx   在区间[1,2]上单调递增，则 4a b 的最小值是__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17．为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各 50 名， 其中每人每天的健身时间不少于 1 小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下： 健身族 非健身族 合计 男性 40 10 50 女性 30 20 50 合计 70 30 100 （1）若居民每人每天的平均健身时间不低于 70 分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机 采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別 是 1.2 小时，0.8 小时，1.5 小时，0.7 小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？ （2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？ 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 参考数据：  2 0P K k 0. 50 0. 40 0. 25 0. 05 0. 025 0. 010 0k 0. 455 0. 708 1. 321 3. 840 5. 024 6. 635 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试 文科数学试卷 第 5页 共 6页 18．如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，四边形 ABCD为梯形， AD BC∥ ，且 2AD BC .过 1, ,A C D 三点的平面记为 ， 1BB 与 的交点为Q. (I)证明：Q为 1BB 的中点； (II)求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比. 19．已知数列 na 为等比数列,数列 nb 满足 2logn nb a ,且 4 5 1a b  .设 nS 为数列 nb 的前n 项 和. （1）求数列 na ､ nb 的通项公式及 nS ; （2）若数列 nc 满足 n n n Sc an  ,求 nc 的前n 项和 nT . 20．椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的焦距是8 2 ，长轴长是短轴长 3 倍，任作斜率为 1 3 的直线l 与椭圆C 交于 A B、 两点（如图所示），且点  3 2, 2P 在直线l 的左上方. （1）求椭圆C 的方程； （2）若 2 10AB  ，求 PAB 的面积； 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试 文科数学试卷 第 6页 共 6页 （3）证明： PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上。 21．已知函数 ( ) ln ( )kf x x x x k Rx     ，若函数 ( )f x 在(0, ) 上存在两个极值点 1 2,x x . （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）证明： 1 2 22 x x k  . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，动点 P 在 直线 sin 2   上，将射线OP 逆时针旋转 4  得到射线 'OP ，射线 'OP 上一点Q ，满足 4OP OQ  ，Q 点的轨迹为曲线C ， （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设射线  1 : , 02l    和射线 2 : , 0, 0,2 2l               分别与曲线C 交于 ,A B 两 点，求 AOB 面积的最大值. 23. [选修 4–5：不等式选讲] 设函数   2 1 4f x x x    （1）解不等式:   0f x  ; （2）若   3 4 1f x x a    对一切实数 x 均成立:求 a 的取值范围. 文数参考答案及解析 第 1页，共 8页 文科数学试题参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C A D D A D C C B D D A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．5.5 14．3 3 15． 2 4y x 16．-4 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。 17．（1）随机抽样的 100 名居民每人每天的平均健身时间为 1.2 40 0.8 10 1.5 30 0.7 20 1.15100         小时， 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为 1.15 小时， 因为 1.15 小时 7 6  小时=70 分钟，所以该社区不可称为“健身社区”； （2）由联立表可得，        2 2 n ad bcK a b c d a c b d       2100 40 20 30 10 4.762 3.84070 30 50 50        ， 所以能在犯错误概率不超过 5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. 18．(I)证明：延长 1 ,AQ DC 交于 P ，则 P平面 1A ABQ ， 又 P平面 ABCD，平面 1A ABQ 平面 ABCD AB ， 所以 P AB 因为 1, ,BQ AA ,AD BC 所以 1 1 1 2 BQ BQ BP BC BB AA AP AD     ，即Q为 1BB 的中点． (II)如图所示，连接 ,QA QD .设 1AA h ，梯形 ABCD的高为 d ，四棱柱被平面 所 分成上下两部分的体积分别为V上 和V下 ， BC a ，则 2AD a . 三棱椎 1 1 1 1· ·2 · ·3 2 3Q A ADV a h d ahd   ， 四棱椎  21 1 1· ·3 2 2 4Q ABCD a a dV h ahd   所以V下 ＝三棱椎 1Q A ADV  +四棱椎 Q AbcDV  = 7 12 ahd .又四棱柱 1 1 1 1 3 2A B C D ABCDV ahd  ， 文数参考答案及解析 第 2页，共 8页 所以V上 ＝四棱柱 1 1 1 1A B C D ABCDV  － 3 7 11= 2 12 12V ahd ahd ahd 下 ， 故 11= 7 V V 上 下 . 19．(1)对 * 2 1 2 1, log , logn n n nn n b a b a    ,则 1 1 2 1 2 2log log log n n n n n n ab b a a a       , 因为 na 为等比数列,则 1n n a a  为定值.则 1 2log n n a a  为定值,则数列 nb 为等差数列. 4 2 4 2 5log log 0, 11b a b    , 则 *4,nb n n n   , 42 2na n na   , *n n , *1 ( 7) ,2nS n n n n     ; (2) 4 51 ( 7) 2 ||( 7) 22 n nn n n Sc a n nn          , 设 5( 7) 2n nc n     , nT 为数列 nc  的前n 项和,则有: 4 3 2 5( 6) 2 ( 5) 2 ( 4) 2 ( 7) 2 ,(*)n nT n                 3 2 1 42 ( 6) 2 ( 5) 2 ( 4) 2 ( 7) 2 ,(**)n nT n                 (*)式 (**)式,得:    3 1 4 3 2 5 4 4 42 1 2 ( 6) 2 2 2 2 ( 7) 2 ( 6) 2 ( 7) 21 2 n n n n nT n n                            , 4 4 1( 7) 2 2 2 n n nT n        . 当 7n  时, 4 4 1( 7) 2 2 2 n n n nT T n          ; 当 8n  时, 4 4 4 4 4 7 1 312 ( 7) 2 2 2 1 ( 7) 2 22 2 n n n n n nT T T n n                  , 即 4 4 4 4 1( 7) 2 2 , ( 7)2 31( 7) 2 2 , ( 8)2 n n n n n n n T n n                  20．（1）由题意知：2 8 2c  ，得 4 2c  ，又 2 2 23 , 32a b a b c    ， 所以 6, 2a b  ， 文数参考答案及解析 第 3页，共 8页 故椭圆C 的方程为： 2 2 136 4 x y  ； （2）设直线l 的方程为： 1 3y x t  ，代入椭圆方程可得： 2 22 6 9 36 0x tx t    ， 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ,则 2 1 2 1 2 9 363 , 2 tx x t x x     ， 所以 2 211 9 2 (9 36)9AB t t     ， 又 2 10AB  ，解得 2t  或 2t   ， 由题意可得 0t  ， 故 AB 所在直线方程为 1 23y x  ，即 3 6 0x y   ， 所以点  3 2, 2P 到直线 AB 的距离 3 2 3 2 6 6 1 9 10 d      ， 故 PAB 的面积为 1 1 62 10 62 2 10 S AB d      ； （3）设直线l 的方程为： 1 3y x m  ，代入椭圆方程可得： 2 22 6 9 36 0x mx m    ， 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ,则 2 1 2 1 2 9 363 , 2 mx x m x x     ， 所以 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2PA PB y yk k x x       = 1 2 2 1 1 2 ( 2)( 3 2) ( 2)( 3 2) ( 3 2)( 3 2) y x y x x x        ， 又 1 2( 2)( 3 2)y x   2 1( 2)( 3 2)y x  1 2 1( 2)( 3 2)3 x m x    2 1 1( 2)( 3 2)3 x m x    2 1 2 1 2 2 2 9 36( 2 2)( ) 6 2 12 ( 2 2) 3 6 2 12 03 3 2 mx x m x x m m m m              ， 文数参考答案及解析 第 4页，共 8页 即 0PA PBk k  ，所以 APB 的角平分线平行 y 轴， 故 PAB 的内切圆的圆心在一条定直线 3 2x  上. 21．（Ⅰ）函数 ( )f x 的定义域为(0, ) ， 因为 ( ) ln kf x x x xx    ， 2 2( ) ln 1 1 lnk kf x x xx x        令 2( ) ln kg x x x   所以 2 3 3 1 2 2( ) , 0k x kg x xx x x      . 当 0k  时， ( ) 0g x  ， 所以函数 ( )g x 在(0, ) 上单调递增. 即 2( ) ln kf x x x    在(0, ) 上单调递增， ( )f x 在(0, ) 上至多一个零点， 所以 ( )f x 在(0, ) 上至多一个极值点，不满足条件. 当 0k  时，由 ( ) 0g x  ，得 2x k （负根舍去）， 当 (0, 2 )x k 时， ( ) 0g x  ， 当 ( 2 , )x k  时， ( ) 0g x  ， 所以函数 ( )g x 在(0, 2 )k ）上单调递减； 在( 2 , )k  上单调递增. 所以 min 1( ) ( 2 ) ln 2 2g x g k k   ， 要使函数 ( )f x 在(0, ) 上存在两个极值点 文数参考答案及解析 第 5页，共 8页 则函数 ( )f x 有两个零点，即 ( )g x 有两个零点 首先 min 1( ) ln 2 02g x k   ，解得 10 2k e   . 因为2 2 1k k  ，且 (1) 0g k  ， 下面证明： 1(2 ) ln(2 ) 04g k k k    . 设 1( ) ln(2 ) 4h k k k   ， 则 2 2 1 1 4 1( ) 4 4 kh k k k k     . 因为 1 2k e  ，所以 2 2 2 14 1( ) 04 4 k eh k k k     . 所以 ( )h k 在 10, 2e      上单调递减， 所以 1 1(2 ) ( ) ln 02 2g k h e ek h e         . 所以实数 k 的取值范围为 10, 2e      . （Ⅱ）因为 1x ， 2x 是函数 ( )f x 的两个极值点， 所以 1x ， 2x 是函数 ( )f x 的两个零点 即 1x ， 2x 是函数 ( )g x 的两个零点， 不妨设 1 2x x ，令 2 1x tx ，则 1t  . 所以 1 2 1 2 2 2 ln 0, ln 0, kx x kx x       即 2 1 2 2 1 2 ln ln k kx x x x    . 所以 2 2 2 1 1 ln k kt x t x   ，即 2 1 2 11ln kx t t      ， 10 2k e   ， 1t  . 文数参考答案及解析 第 6页，共 8页 要证 1 2 22 x x k  ，需证 1 2 2x x k . 即证 2 1 2tx k ，即证 2 11 2ln kt kt t       . 因为 10 2k e   ，所以即证 1 2ln ( 1)t t tt    ． 设 1( ) 2lnH t t t t    ， 则 2 2 2 2 1 ( 1)( ) 1 0, 1tH t tt t t         . 所以 ( )H t 在(1, ) 上单调递减， 所以 1( ) 2ln (1) 0H t t t Ht      . 所以 1 2 22 x x k  . 22．（1）设    , , ,Q P     ，则 , 4 4        ， 因为动点 P 在直线 sin 2   上，所以 4 sin 24       ， 整理得： 2 2 sin 4       ，即曲线C 的极坐标方程为 2 2 sin 4       ； （2）因为射线  1 : , 02l    和射线 2 : , 0, 0,2 2l               分别与曲 线C 交于 ,A B 两点，设点 ( , ), ( , )2 2A BA B    ， 则 2, 2 2 sin 4A B         ， 文数参考答案及解析 第 7页，共 8页 sin sin sin1 2 2 2 2 cos cos2 4 sin sin sin4 4AOB A BS                             sin 2 cos2 1 1 2 sin 2 4            ， 0 2  Q ， 324 4 4       ， 当sin 2 14      时， AOBS 的最大值1 2 . 23． （1）因为   2 1 4f x x x      5, 4 13 3, 4 2 15, 2 x x f x x x x x                 , ①当 4x   时, 5 0x   , 解得 5x  ,所以 4x   ; ②当 14 2x   时, 3 3 0x   , 解得 1x   ,所以 4 1x    ; ③当 1 2x  时, 5 0x   , 解得 5x  ,所以 5x  ; 综上所述,   0f x  的解为   , 1 5,   （2）若   3 4 2 1 4 3 4f x x x x x        2 1 2 4 1 2 2 8x x x x        1 2 2 8 9x x     ,   3 4 1f x x a    对一切实数 x 均成立, 则 1 9a   ,解得 8 10a   文数参考答案及解析 第 8页，共 8页 故所求 a 的取值范围为[ ]8,10-