高考理数　二次函数与幂函数

高考理数　二次函数与幂函数

§2.3 　二次函数与幂函数 高考 理 数 ( 课标专用) 统一命题·课标卷题组 五年高考 考点一　二次函数 1. (2017浙江,5,5分)若函数 f ( x )= x 2 + ax + b 在区间[0,1]上的最大值是 M ,最小值是 m ,则 M - m   (　　) A.与 a 有关,且与 b 有关　    B.与 a 有关,但与 b 无关 C.与 a 无关,且与 b 无关　    D.与 a 无关,但与 b 有关 答案      B 　本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类 讨论思想. 解法一:令 g ( x )= x 2 + ax ,则 M - m = g ( x ) max - g ( x ) min . 故 M - m 与 b 无关. 又 a =1时, g ( x ) max - g ( x ) min =2, a =2时, g ( x ) max - g ( x ) min =3, 故 M - m 与 a 有关.故选B. 解法二:(1)当-   ≥ 1,即 a ≤ -2时, f ( x )在[0,1]上为减函数,∴ M - m = f (0)- f (1)=- a -1. (2)当   ≤ -   <1,即-2< a ≤ -1时, M = f (0), m = f   ,从而 M - m = f (0)- f   = b -   =   a 2 . (3)当0<-   <   ,即-1< a <0时, M = f (1), m = f   ,从而 M - m = f (1)- f   =   a 2 + a +1. (4)当-   ≤ 0,即 a ≥ 0时, f ( x )在[0,1]上为增函数,∴ M - m = f (1)- f (0)= a +1. 即有 M - m =   ∴ M - m 与 a 有关,与 b 无关.故选B . 2. (2015四川,9,5分)如果函数 f ( x )=   ( m -2) x 2 +( n -8) x +1( m ≥ 0, n ≥ 0)在区间   上单调递减,那么 mn 的最大值为(　　) A.16　    B.18　    C.25　    D.   答案      B 　当 m =2时, f ( x )=( n -8) x +1在区间   上单调递减,则 n -8<0 ⇒ n <8,于是 mn <16,则 mn 无 最大值.当 m ∈[0,2)时, f ( x )的图象开口向下,要使 f ( x )在区间   上单调递减,需-   ≤   ,即2 n + m ≤ 18,又 n ≥ 0,则 mn ≤ m   =-   m 2 +9 m .而 g ( m )=-   m 2 +9 m 在[0,2)上为增函数,∴ m ∈[0,2)时, g ( m )< g (2)=16,故 m ∈[0,2)时, mn 无最大值. 当 m >2时, f ( x )的图象开口向上,要使 f ( x )在区间   上单调递减,需-   ≥ 2,即2 m + n ≤ 12,而2 m + n ≥ 2   ,所以 mn ≤ 18,当且仅当   即   时,取“=”,此时满足 m >2.故( mn ) max =18.故选B. 3. (2015陕西,12,5分)对二次函数 f ( x )= ax 2 + bx + c ( a 为非零   ),四位同学分别给出下列结论,其中 有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是   (　　) A.-1是 f ( x )的零点　    B.1是 f ( x )的极值点 C.3是 f ( x )的极值　    D.点(2,8)在曲线 y = f ( x )上 答案      A 　由已知得, f '( x )=2 ax + b ,则 f ( x )只有一个极值点,若A、B正确,则有   解得 b = -2 a , c =-3 a , 则 f ( x )= ax 2 -2 ax -3 a . 由于 a 为非零整数,所以 f (1)=-4 a ≠ 3,则C错. 而 f (2)=-3 a ≠ 8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确. 若A、C、D正确,则有   由①②得   代入③中并整理得9 a 2 -4 a +   =0, 又 a 为非零整数,则9 a 2 -4 a 为整数,故方程9 a 2 -4 a +   =0无整数解,故A错. 若B、C、D正确,则有   解得 a =5, b =-10, c =8,则 f ( x )=5 x 2 -10 x +8, 此时 f (-1)=23 ≠ 0,符合题意.故选A . 考点二　幂函数 1. (2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系中,函数 f ( x )= x a ( x >0), g ( x )=log a x 的图象可能是   (　　) 答案      D 　因为 a >0,所以 f ( x )= x a 在(0,+ ∞ )上为增函数,故A错.在B中,由 f ( x )的图象知 a >1,由 g ( x ) 的图象知0< a <1,矛盾,故B错.在C中,由 f ( x )的图象知0< a <1,由 g ( x )的图象知 a >1,矛盾,故C错.在D 中,由 f ( x )的图象知0< a <1,由 g ( x )的图象知0< a <1,相符,故选D. 2. (2018上海,7,5分)已知 α ∈   .若幂函数 f ( x )= x α 为奇函数,且在(0,+ ∞ )上递减,则 α = 　　　     . 答案 　-1 解析　 本题主要考查幂函数的性质.∵幂函数 f ( x )= x α 为奇函数,∴ α 可取-1,1,3,又 f ( x )= x α 在(0, + ∞ )上递减,∴ α <0,故 α =-1. 规律方法 　幂函数 y = x α ( α ∈R)的性质及图象特征: ①所有的幂函数在(0,+ ∞ )上都有定义,并且图象都过点(1,1); ②如果 α >0,则幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+ ∞ )上为增函数; ③如果 α <0,则幂函数的图象在区间(0,+ ∞ )上为减函数; ④当 α 为奇数时,幂函数为奇函数;当 α 为偶数时,幂函数为偶函数. 教师专用题组 考点一　二次函数 1. (2013重庆,3,5分)   (-6 ≤ a ≤ 3)的最大值为   (　　) A.9　    B.   　    C.3　    D.   答案      B 　易知函数 y =(3- a )( a +6)的两个零点是3,-6,其图象的对称轴为 a =-   , y =(3- a )( a +6)的最 大值为   3+     ×   =   ,则   的最大值为   ,选B. 2. (2014大纲全国,16,5分)若函数 f ( x )=cos 2 x + a sin x 在区间   是减函数,则 a 的取值范围是     　　     . 答案 　(- ∞ ,2] 解析      f ( x )=cos 2 x + a sin x =1-2sin 2 x + a sin x ,令 t =sin x , x ∈   ,则 t ∈   ,原函数化为 y =-2 t 2 + at +1,由题意及复合函数单调性的判定可知 y =-2 t 2 + at +1在   上是减函数,结合二次函数图象可 知,   ≤   ,所以 a ≤ 2. 3. (2014辽宁,16,5分)对于 c >0,当非零实数 a , b 满足4 a 2 -2 ab +4 b 2 - c =0且使|2 a + b |最大时,   -   +   的 最小值为 　　　     . 答案 　-2 解析 　设2 a + b = t ,则2 a = t - b ,由已知得关于 b 的方程( t - b ) 2 - b ( t - b )+4 b 2 - c =0有解,即6 b 2 -3 tb + t 2 - c =0有 解. 故 Δ =9 t 2 -24( t 2 - c ) ≥ 0, 所以 t 2 ≤   c , 所以| t | max =   ,此时 c =   t 2 , b =   t ,2 a = t - b =   , 所以 a =   . 故   -   +   =   -   +   =8   =8   -2 ≥ -2. 4. (2015浙江,18,15分)已知函数 f ( x )= x 2 + ax + b ( a , b ∈R),记 M ( a , b )是| f ( x )|在区间[-1,1]上的最大值. (1)证明:当| a | ≥ 2时, M ( a , b ) ≥ 2; (2)当 a , b 满足 M ( a , b ) ≤ 2时,求| a |+| b |的最大值. 解析 　(1)证明:由 f ( x )=   + b -   ,得对称轴为直线 x =-   . 由| a | ≥ 2,得   ≥ 1,故 f ( x )在[-1,1]上单调, 所以 M ( a , b )=max{| f (1)|,| f (-1)|}. 当 a ≥ 2时,由 f (1)- f (-1)=2 a ≥ 4,得max{ f (1),- f (-1)} ≥ 2, 即 M ( a , b ) ≥ 2. 当 a ≤ -2时,由 f (-1)- f (1)=-2 a ≥ 4,得max{ f (-1),- f (1)} ≥ 2,即 M ( a , b ) ≥ 2. 综上,当| a | ≥ 2时, M ( a , b ) ≥ 2. (2)由 M ( a , b ) ≤ 2得|1+ a + b |=| f (1)| ≤ 2,|1- a + b |=| f (-1)| ≤ 2, 故| a + b | ≤ 3,| a - b | ≤ 3, 由| a |+| b |=   得| a |+| b | ≤ 3. 当 a =2, b =-1时,| a |+| b |=3, | f ( x )|=| x 2 +2 x -1|,此时易知| f ( x )|在[-1,1]上的最大值为2,即 M (2,-1)=2. 所以| a |+| b |的最大值为3 . 考点二　幂函数 (2014上海,9,4分)若 f ( x )=   -   ,则满足 f ( x )<0的 x 的取值范围是 　　　     . 答案　 (0,1) 解析　 令 y 1 =   , y 2 =   ,则 f ( x )<0即为 y 1 < y 2 .函数 y 1 =   , y 2 =   的图象如图所示,由图象知:当0< x <1 时, y 1 < y 2 ,所以满足 f ( x )<0的 x 的取值范围是(0,1).   考点一　二次函数 1. (2018河南安阳模拟,5)已知函数 f ( x )=- x 2 +4 x + a , x ∈[0,1],若 f ( x )有最小值-2,则 f ( x )的最大值为   (　　) A.1　    B.0　    C.-1　    D.2 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案      A      f ( x )=- x 2 +4 x + a =-( x -2) 2 + a +4, ∴函数 f ( x )=- x 2 +4 x + a 在[0,1]上单调递增, ∴当 x =0时, f ( x )取得最小值,当 x =1时, f ( x )取得最大值,∴ f (0)= a =-2, f (1)=3+ a =3-2=1,故选A. 2. (2018湖北荆州模拟,8)二次函数 f ( x )满足 f ( x +2)= f (- x +2),又 f (0)=3, f (2)=1,若在[0, m ]上有最大值 3,最小值1,则 m 的取值范围是   (　　) A.(0,+ ∞ )　    B.[2,+ ∞ )　    C.(0,2]　    D.[2,4] 答案      D 　∵二次函数 f ( x )满足 f (2+ x )= f (2- x ),∴其图象的对称轴是 x =2,又 f (0)=3,∴ f (4)=3,又 f (2) < f (0),∴ f ( x )的图象开口向上,∵ f (0)=3, f (2)=1, f (4)=3, f ( x )在[0, m ]上的最大值为3,最小值为1,∴ 由二次函数的性质知2 ≤ m ≤ 4.故选D. 3. (2018河南南阳模拟,9)设函数 f ( x )= mx 2 - mx -1,若对于 x ∈[1,3], f ( x )<- m +4恒成立,则实数 m 的取 值范围为   (　　) A.(- ∞ ,0]　    B.   C.(- ∞ ,0) ∪   　    D.   答案    D 　由题意, f ( x )<- m +4对于 x ∈[1,3]恒成立即 m ( x 2 - x +1)<5对于 x ∈[1,3]恒成立.∵当 x ∈[1, 3]时, x 2 - x +1∈[1,7],∴不等式 f ( x )<- m +4等价于 m <   .∵当 x =3时,   取最小值   ,∴若 要不等式 m <   对于 x ∈[1,3]恒成立,则必须满足 m <   ,因此,实数 m 的取值范围为   , 故选D. 4. (2018河北保定一模,12)已知函数 f ( x )既是二次函数又是幂函数,函数 g ( x )是R上的奇函数,函 数 h ( x )=   +1,则 h (2 018)+ h (2 017)+ h (2 016)+ … + h (1)+ h (0)+ h (-1)+ … + h (-2 016)+ h (-2 017)+ h (-2 018)=   (　　) A.0　    B.2 018　    C.4 036　    D.4 037 答案      D 　函数 f ( x )既是二次函数又是幂函数,∴ f ( x )= x 2 ,∴ f ( x )+1为R上的偶函数,又函数 g ( x )是 R上的奇函数, h ( x )=   +1,∴ h ( x )+ h (- x )=   +   =   +2= 2,∴ h (2 018)+ h (2 017)+ h (2 016)+ … + h (1)+ h (0)+ h (-1)+ … + h (-2 016)+ h (-2 017)+ h (-2 018)=[ h (2 01 8)+ h (-2 018)]+[ h (2 017)+ h (-2 017)]+ … +[ h (1)+ h (-1)]+ h (0)=2+2+ … +2+1=2 × 2 018+1=4 037.故选D. 5. (2017广东汕头一模,4)命题“ ax 2 -2 ax +3>0恒成立”是假命题,则实数 a 的取值范围是   (　　) A. a <0或 a ≥ 3　    B. a ≤ 0或 a ≥ 3 C. a <0或 a >3　    D.0< a <3 答案    A 　若 ax 2 -2 ax +3>0恒成立,则 a =0或   可得0 ≤ a <3,故当命题“ ax 2 -2 ax +3> 0恒成立”是假命题时, a <0或 a ≥ 3. 6. (2017广西南宁兴宁期中,5)已知函数 f ( x )=log 2 ( x 2 +2 x + a )的定义域为R,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.(1,+ ∞ )　    B.[1,+ ∞ ) C.(- ∞ ,1]　    D.(- ∞ ,1) ∪ (1,+ ∞ ) 答案    A 　因为函数 f ( x )=log 2 ( x 2 +2 x + a )的定义域为R,所以 x 2 +2 x + a >0恒成立,所以 Δ =4-4 a <0, 即 a >1,故选A. 考点二　幂函数 1. (2018河南洛阳二模,7)已知点   在幂函数 f ( x )=( a -1) x b 的图象上,则函数 f ( x )是   (　　) A.奇函数　    B.偶函数 C.定义域内的减函数　    D.定义域内的增函数 答案      A 　∵点   在幂函数 f ( x )=( a -1) x b 的图象上,∴ a -1=1,解得 a =2,则2 b =   ,∴ b =-1,∴ f ( x )= x -1 , ∴函数 f ( x )是定义域(- ∞ ,0) ∪ (0,+ ∞ )上的奇函数,且在每一个区间内是减函数.故选A. 2. (2018湖北武汉模拟,10)幂函数 y = x α ,当 α 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美 丽的曲线(如图),设点 A (1,0), B (0,1),连接 AB ,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y = x a , y = x b 的图象 三等分,即有 BM = MN = NA ,那么 a -   =   (　　)   A.0　    B.1　    C.   　    D.2 答案    A      BM = MN = NA ,点 A (1,0), B (0,1),所以 M   , N   ,分别代入 y = x a , y = x b ,得 a =lo     , b = lo     ,∴ a -   =lo     -   =0.故选A. 3. (2017江西九江七校联考,4)幂函数 f ( x )=( m 2 -4 m +4)·   在(0,+ ∞ )上为增函数,则 m 的值为   (　　) A.1或3　    B.1　    C.3　    D.2 答案      B 　由题意知 m 2 -4 m +4=1且 m 2 -6 m +8>0 ⇒ m =1,选B. 4. (2017福建龙海期末,13)若幂函数 y =( m 2 -3 m +3)   的图象不经过坐标原点,则实数 m = 　 　      . 答案　 1或2 解析 　由题意得 m 2 -3 m +3=1,解得 m =1或 m =2,当 m =1时, y = x -2 ,图象不过原点,当 m =2时, y = x 0 ,图象 不过原点,故 m =1或2. 一、选择题(每题5分,共25分) 1. (2018福建模拟,3)已知 a =0.4 0.3 , b =0.3 0.4 , c =0.3 -0.2 ,则   (　　) A. b < a < c 　    B. b < c < a 　    C. c < b < a 　    D. a < b < c B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间:30分钟　分值:50分) 答案      A 　∵1> a =0.4 0.3 >0.3 0.3 > b =0.3 0.4 , c =0.3 -0.2 >1,∴ b < a < c ,故选A. 思路分析 　根据指数函数以及幂函数的单调性即可判断. 方法归纳　 幂值比较大小的常用方法有:①底数相同,运用相应函数单调性比较大小;②底数不 同,运用中间值比较大小. 2. (2018山东烟台模拟,5)定义在R上的奇函数 f ( x )在(0,+ ∞ )上是增函数,则使得 f ( x )> f ( x 2 -2 x +2)成 立的 x 的取值范围是   (　　) A.(1,2)　    B.(- ∞ ,1) ∪ (2,+ ∞ ) C.(- ∞ ,1)　    D.(2,+ ∞ ) 答案      A 　因 f ( x )是R上的奇函数且在(0,+ ∞ )上是增函数,则函数 f ( x )在(- ∞ ,0)上也是增函数,则 函数在R上为增函数. f ( x )> f ( x 2 -2 x +2) ⇒ x > x 2 -2 x +2 ⇒ x 2 -3 x +2<0,解得1< x <2,即 x 的取值范围是(1, 2).故选A. 思路分析 　根据题意,分析可得函数 f ( x )在R上为增函数,则可以将原不等式变形为 x > x 2 -2 x +2, 由此解得 x 的取值范围即可得答案. 方法点拨 　利用函数单调性解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“ f ”,变 函数不等式为一般不等式,去掉“ f ”时,要注意 f ( x )的定义域限制. 3. (2018河北保定模拟,8)对于任意 a ∈[-1,1],函数 f ( x )= x 2 +( a -4) x +4-2 a 的值总大于0,则 x 的取值范 围是   (　　) A.{ x |1< x <3}　    B.{ x | x <1或 x >3} C.{ x |1< x <2}　    D.{ x | x <1或 x >2} 答案      B 　由题意知,关于 a 的一次函数 y = a ( x -2)+ x 2 -4 x +4的值大于0在 a ∈[-1,1]上恒成立,只需   解得   即 x <1或 x >3,故选B. 方法技巧 　解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,就选谁 当主元,求谁的范围,谁就是参数. 4. (2018河南开封模拟,12)已知不等式 xy ≤ ax 2 +2 y 2 对 x ∈[1,2], y ∈[2,3]恒成立,则实数 a 的取值范 围是   (　　) A.[-1,+ ∞ )　    B.(- ∞ ,1]　    C.(0,2]　    D.[-1,2] 答案      A 　不等式 xy ≤ ax 2 +2 y 2 对 x ∈[1,2], y ∈[2,3]恒成立,即 a ≥   -2   对 x ∈[1,2], y ∈[2,3]恒 成立,令 t =   ,则1 ≤ t ≤ 3,∴ a ≥ t -2 t 2 在[1,3]上恒成立,设 y =-2 t 2 + t =-2   +   ( t ∈[1,3]),∴ y max =-1, ∴ a ≥ -1.故选A. 思路分析 　由题意可知 a ≥   -2   对 x ∈[1,2], y ∈[2,3]恒成立,令 t =   ,则1 ≤ t ≤ 3, a ≥ t -2 t 2 在[1, 3]上恒成立,由此能求出结果. 解题关键 　将二元不等式恒成立问题转化为一元不等式恒成立问题,且正确得出   的范围是 解题的关键. 5. (2017安徽滁州期末,10)已知函数 f ( x )= x 2 +(2 a -1) x +1,若对区间(2,+ ∞ )内的任意两个不等实数 x 1 , x 2 都有   >0,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案      C 　∵   >0,∴   >0, ∵ x 1 , x 2 ∈(2,+ ∞ ),∴ x 1 -1, x 2 -1∈(1,+ ∞ ). ∴ f ( x )在区间(1,+ ∞ )上是增函数, ∴-   ≤ 1,解得 a ≥ -   .故选C. 解题关键     将   >0巧妙变形为   >0,推导出 f ( x )在(1,+ ∞ )上是增 函数是解题关键. 二、解答题(共25分) 6. (2018湖南祁阳二模,17)已知幂函数 f ( x )=( m -1) 2   在(0,+ ∞ )上单调递增,函数 g ( x )=2 x - k . (1)求 m 的值; (2)当 x ∈[1,2)时,记 f ( x ), g ( x )的值域分别为集合 A , B ,设 p : x ∈ A , q : x ∈ B ,若 p 是 q 成立的必要条件,求 实数 k 的取值范围. 解析　 (1)依题意得:( m -1) 2 =1 ⇒ m =0或 m =2, 当 m =2时, f ( x )= x -2 在(0,+ ∞ )上单调递减,与题设矛盾,舍去,∴ m =0. (2)由(1)得, f ( x )= x 2 , 当 x ∈[1,2)时, f ( x )∈[1,4),即 A =[1,4), 当 x ∈[1,2)时, g ( x )∈[2- k ,4- k ),即 B =[2- k ,4- k ), 因 p 是 q 成立的必要条件,则 B ⊆ A , 则   即   得0 ≤ k ≤ 1. 思路分析 　(1)根据幂函数的定义和 f ( x )的性质求 m . (2)得出集合的关系,进而求解. 方法点拨　 解决幂函数在指定区间上求值域问题,常由函数单调性解得. 7. (2017河南郑州期中,19)已知函数 g ( x )= ax 2 -2 ax + b +1( a ≠ 0, b <1)在区间[2,3]上有最大值4,最小 值1. (1)求 a , b 的值; (2)设 f ( x )=   ,不等式 f (2 x )- k ·2 x ≥ 0对 x ∈[-1,1]恒成立,求实数 k 的取值范围. 解析　 (1) g ( x )= ax 2 -2 ax + b +1= a ( x -1) 2 - a + b +1, 若 a >0,则 g ( x )在[2,3]上单调递增, ∴ g (2)= b +1=1, g (3)=3 a + b +1=4,解得 a =1, b =0; 若 a <0,则 g ( x )在[2,3]上单调递减, ∴ g (2)= b +1=4,解得 b =3, ∵ b <1,∴ b =3舍去. 综上, a =1, b =0. (2)∵ f ( x )=   ,∴ f ( x )=   = x +   -2, ∵不等式 f (2 x )- k ·2 x ≥ 0对 x ∈[-1,1]恒成立, ∴2 x +   -2- k ·2 x ≥ 0对 x ∈[-1,1]恒成立, 即 k ≤   -2   +1=   对 x ∈[-1,1]恒成立, ∵ x ∈[-1,1], ∴   ∈   ,∴   ∈[0,1],∴ k ≤ 0.