汉中市2020届高三年级教学质量第二次检测考试文科数学

汉中市2020届高三年级教学质量第二次检测考试文科数学

汉中市 2020 届高三年级教学质量第二次检测考试文科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内． 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清 楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷 上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．若集合 ， ，全集 ，则集合 中的元素共有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 2．在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若 ，则下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 4．总体由编号为 01，02，…19，20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号 为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．01 B．02 C．07 D．08 5．已知函数 ，则下列判断错误的是（ ） A． 的最小正周期为 B． 的值域为 C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称 {4,5,7,9}M = {3,4,7,8,9}N = U M N= ∪ ( )U M N∩ 2 1 (1 ) i i + − 0a b< < | | | |a b> 2 2a b> 1 1 a b > 1 1 a b a >− ( ) cos2 3sin2 1f x x x= + + ( )f x π ( )f x [ 1,3]− ( )f x 6x π= ( )f x ,04 π −   6．已知平面 内一条直线 及平面 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．设 则 的值为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 8．在直角 中， ， ， ，若 ，则 （ ） A． B． C．18 D． 9．如图是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自 阴影区域内（阴影部分由该圆的四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ） A． B． C． D． 10．函数 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 11．若直线 始终平分圆 的圆周，则 的最小 值为（ ） A． B． C．4 D．5 12．对于实数 ，规定 表示不大于 的最大整数，那么不等式 成立的 的范围 是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知双曲线 的离心率为 2，则 _____． α l β l β⊥ α β⊥ 2,( 10)( ) [ ( 6)],( 10) x xf x f f x x − ≥=  + < (5)f ABC△ 2C π∠ = 4AB = 2AC = 3 2AD AB=  CD CB⋅ =  18− 6 3− 6 3 1 2 1 3 4 1π − 42 π− | |( ) 2 sin2xf x x= ⋅ 2 2 0( 0, 0)ax by a b− + = > > 2 2 2 4 1 0x y x y+ + − + = 1 2 a b + 3 2 2+ 3 2 3+ x [ ]x x 24[ ] 36[ ] 45 0x x− + < x 3 15,2 2     [2,8] [2,8) [2,7] 2 2 2 1( 0)3 x y aa − = > a = 14．在 中，内角 的对边分别是 ，若 ， ，则 ____． 15．三棱锥 中， 底面 ， ，底面 中 ，边 ，则 三棱锥 外接球的体积等于______． 16．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是______． 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17．设等差数列 满足 ， ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求 的前 项和 及使得 最小的 的值． 18 ． 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， 底 面 ， ， 点 在 线 段 上 ， 且 ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 ， ， ， ， 求四棱锥 的正弦值． 19．眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉， 改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果， 在应届高三的全体 800 名学生中随机抽取了 100 名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图． （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以上的人数； （2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了 调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 0.005 的前提下认为视力与眼保健操 有关系？ 是否做操 是否近视 不做操 做操 ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2 3a b bc− = sin 2 3sinC B= A = P ABC− PA ⊥ ABC 2 2PA = ABC△ 4BAC π∠ = 2BC = P ABC− 2( ) lnf x ax x x= − 1 ,e  +∞  a { }na 3 9a = − 10 5a = { }na { }na n nS nS n P ABCD− PA ⊥ ABCD AB AD⊥ E AD CE AB CE ⊥ PAD 1PA AB= = 3AD = 2CD = 45CDA∠ = ° P ABCD− 附： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 20．如图，椭圆 的长轴长为 4，点 为椭圆上的三个点， 为椭圆的右端点， 过中心 ，且 ， ． （1）求椭圆的标准方程； （2）设 是椭圆上位于直线 同侧的两个动点（异于 ），且满足 ，试讨论直线 与直线 斜率之间的关系，并求证直线 的斜率为定值． 21．已知函数 ，且其导函数 的图像过原点． （1）若存在 ，使得 ，求 的最大值； （2）当 时，求函数 的零点个数． （二）选考题：共 10 分．请考生在 22、23 题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数）． （1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的普通方程； （2）已知点 ，直线 与曲线 交于 两点，求 ． 23．[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 近视 44 32 不近视 6 18 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2P k k≥ k 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > , ,A B C A BC O | | 2 | |BC AB= 3ABCS =△ ,P Q AC ,A C PBC QBA∠ = ∠ BP BQ PQ 3 21 1( ) ( , )3 2 af x x x bx a a b += − + + ∈R ( )f x′ 0x < ( ) 9f x′ = − a 0a > ( )f x C 4cosρ θ= l 31 2 1 2 x t y t  = +  = t C l (1,0)M l C A B、 | |MA MB−‖ ‖ ( ) |2 |f x x a a= − + （1）当 时，求不等式 的解集； （2）设函数 ．当 时， ，求 的取值范围． 汉中市 2020 届高三年级教学质量第二次检测考试 文科数学参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D A D B B C C D A C 二、填空题 13．1 14． 15． 16． 三、解答题 17 解：（1）设等差数列 的公差为 ，由 及 ， 得 解得 数列 的通项公式为 （2）由（1）知 因为 所以 时， 取得最小值． 2a = ( ) 6f x ≤ ( ) | 2 1|g x x= − x R∈ ( ) ( ) 3f x g x+ ≥ a 6 π 32 3 π 1 ,2  +∞  { }na d 1 ( 1)na a n d= + − 3 9a = − 10 5a = 1 1 2 9 9 5 a d a d + = −  + = 1 13 2 a d = −  = { }na 2 15na n= − 2 14nS n n= − 2( 7) 49nS n= − − 7n = nS 18 解：（1）证明 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ． 因为 ， ，所以 ． 又 ，所以 平面 ． （2）解：由（1）可知 在 中， ， 所以 ． 又因为 ， ，所以四边形 为矩形． 所以 又 平面 ， ， 19．解：（1）由图可知，第一组有 3 人，第二组 7 人，第三组 27 人， 因为后三组的频数成等差数列，共有 （人） 所以后三组频数依次为 24，21，18， 所以视力在 5．0 以上的频率为 0．18， 故全年级视力在 5．0 以上的人数约为 人 PA ⊥ ABCD CE ⊂ ABCD PA CE⊥ AB AD⊥ CE AB CE AD⊥ PA AD A∩ = CE ⊥ PAD CE AD⊥ Rt CDE△ cos45 1DE CD= ⋅ ° = sin45 1CE CD= ⋅ ° = 2AE AD ED= − = 1AB CE= = CE AB ABCE 1 2ECDABCEABCDS S S AB AE CE DE= + = ⋅ + ⋅△矩形四变形 1 51 2 1 12 2 = × + × × = PA ⊥ ABCD 1PA = 1 1 5 513 3 2 6ABCDP ABCDV S PA− = ⋅ = × × =四边形四棱锥 100 (3 7 27) 63− + + = 800 0.18 144× = （2） 因此能在犯错误的概率不超过 0．005 的前提下认为视力与眼保健操有关系． 21．解： ， 由 得 ， ． （1）存在 ，使得 ， ， ， 当且仅当 时， ． 所以 的最大值为 ． （2）当 时， 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 ， ， 的变化情况如上表： 的极大值 ， 的极小值 2 2 100 (44 18 32 6) 50 50 76 24k × × − ×= × × × 150 7.895 7.87919 = ≈ > 3 21 1( ) 3 2 af x x x bx a += − + + 2( ) ( 1)f x x a x b′ = − + + (0) 0f ′ = 0b = ( ) ( 1)f x x x a′ = − − 0x < ( ) ( 1) 9f x x x a′ = − − = − 9 9 91 ( ) 2 ( ) 6a x x xx x x   − − = − − = − + − ≥ − ⋅ − =       7a ≤ − 3x = − 7a = − a 7− 1a > x ( ,0)−∞ ( , 1)a−∞ + 1a + ( 1, )a + +∞ ( )f x′ ( )f x ↑ ↓ ↑ x ( )f x′ ( )f x ( )f x (0) 0f a= > ( )f x 2 3 31 1 1 1( 1) ( 1) 3 06 6 2 4f a a a a a   + = − + = − + − + <      又 ， ， ． 所以函数 在区间 ， ， 内各有一个零点， 故函数 共有三个零点． 22．解：（1）对于曲线 的极坐标方程为 ，可得 ， 又由 ，可得 ，即 ， 所以曲线 的直角坐标方程为 ． 由直线 的参数方程为 （ 为参数），消去参数可得， 直线 的普通方程为 ，即 ． （2）设 两点对应的参数分别为 ，将直线 的参数方程 （ 为参数）代入曲线 中， 可得 ． 化简得 ， 14( 2) 03f a− = − − < 21 3( ) ( 1)3 2f x x x a a = − + +   3 ( 1) 02f a a + = >   ( )f x ( 2,0)− (0, 1)a + 31, ( 1)2a a + +   ( )f x C 4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ= cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 4x y x+ = 2 2( 2) 4x y− + = C 2 2( 2) 4x y− + = l 31 2 1 2 x t y t  = +  = t l 3 ( 1)3y x= − 3 3 3 3y x= − ,A B 1 2,t t l 31 2 1 2 x t y t  = +  = t 2 2: 4 0C x y x+ − = 2 23 1 31 4 1 02 4 2t t t    + + − + =        2 3 3 0t t− − = 设点 所对应的参数分别是 故 ， ． 所以 ． 23．解：（1）当 时， ． 解不等式 得 ． 因此 的解集为 ． （Ⅱ）当 时， ， 所以当 时， 等价于 ．① 当 时，①等价于 ，无解． 当 时，①等价于 ，解得 ． 所以 的取值范围是 ． ,A B 1 2,t t 1 2 3t t+ = 1 2 3t t⋅ = − 1 2 1 2| | || || | | || 3MA MB t t t t− = − = + =‖ 2a = ( ) | 2 2 | 2f x x= − + | 2 2 | 2 6x − +  1 3x−   ( ) 6f x  { | 1 3}x x−   x R∈ ( ) ( ) | 2 | |1 2 | | 2 1 2 | |1 |f x g x x a a x x a x a a a+ = − + + − − + − + = − + x R∈ ( ) ( ) 3f x g x+  |1 | 3a a− + ≥ 1a 1 3a a− +  1a > 1 3a a− +  2a a [2, )+∞