高考理数　函数的基本性质

高考理数　函数的基本性质

§2.2 　函数的基本性质 高考 理 数 ( 课标专用) 考点一　函数的单调性 1. (2017课标Ⅰ,5,5分)函数 f ( x )在(- ∞ ,+ ∞ )单调递减,且为奇函数.若 f (1)=-1,则满足-1 ≤ f ( x -2) ≤ 1 的 x 的取值范围是(　　) A.[-2,2]　    B.[-1,1] C.[0,4]　    D.[1,3] A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案      D 　本题考查抽象函数的单调性、奇偶性以及利用函数性质求解不等式,考查学生的 逻辑思维能力和运算求解能力. 解法一(特值法):取 f ( x )=- x ,其满足在(- ∞ ,+ ∞ )单调递减,为奇函数,且 f (1)=-1,即满足题设的所有 条件,因为 f ( x -2)=2- x ,所以有-1 ≤ 2- x ≤ 1,解得1 ≤ x ≤ 3,故选D. 解法二(性质法):因为 f ( x )为奇函数,所以 f (-1)=- f (1)=1. 于是-1 ≤ f ( x -2) ≤ 1等价于 f (1) ≤ f ( x -2) ≤ f (-1).又 f ( x )在(- ∞ ,+ ∞ )单调递减,所以-1 ≤ x -2 ≤ 1,即1 ≤ x ≤ 3.所以 x 的取值范围是[1,3]. 2. (2014课标Ⅱ,15,5分,0.409)已知偶函数 f ( x )在[0,+ ∞ )上单调递减, f (2)=0.若 f ( x -1)>0,则 x 的取值 范围是 　　　     . 答案　 (-1,3) 解析　 ∵ f (2)=0, f ( x -1)>0,∴ f ( x -1)> f (2), 又∵ f ( x )是偶函数, ∴ f (| x -1|)> f (2),又 f ( x )在[0,+ ∞ )上单调递减, ∴| x -1|<2,∴-2< x -1<2, ∴-1< x <3,∴ x ∈(-1,3). 思路分析 　由 f (2)=0及 f ( x -1)>0得 f ( x -1)> f (2),结合 f ( x )为偶函数得 f (| x -1|)> f (2),再利用单调性得| x - 1|<2,解不等式即可. 易错警示 　易想当然地认为 x -1 ≥ 0,进而导致错解. 考点二　函数的奇偶性与周期性 1. (2018课标Ⅱ,11,5分)已知 f ( x )是定义域为(- ∞ ,+ ∞ )的奇函数,满足 f (1- x )= f (1+ x ).若 f (1)=2,则 f (1) + f (2)+ f (3)+ … + f (50)=       (　　) A.-50　    B.0　    C.2　    D.50 答案      C 　本题主要考查函数的奇偶性和周期性. ∵ f ( x )是定义域为(- ∞ ,+ ∞ )的奇函数,∴ f (0)=0, f (- x )=- f ( x ),① 又∵ f (1- x )= f (1+ x ),∴ f (- x )= f (2+ x ),② 由①②得 f (2+ x )=- f ( x ),③ 用2+ x 代替 x 得 f (4+ x )=- f (2+ x ).④ 由③④得 f ( x )= f ( x +4), ∴ f ( x )的最小正周期为4. 由于 f (1- x )= f (1+ x ), f (1)=2,故令 x =1,得 f (0)= f (2)=0, 令 x =2,得 f (3)= f (-1)=- f (1)=-2,令 x =3,得 f (4)= f (-2)=- f (2)=0, 故 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)=2+0-2+0=0, 所以 f (1)+ f (2)+ f (3)+ … + f (50)=12 × 0+ f (1)+ f (2)=0+2+0=2.故选C. 方法总结 　若对于函数 f ( x )定义域内的任意一个 x 都有 (1) f ( x + a )=- f ( x )( a ≠ 0),则函数 f ( x )必为周期函数,2| a |是它的一个周期. (2) f ( x + a )=   ( a ≠ 0, f ( x ) ≠ 0),则函数 f ( x )必为周期函数,2| a |是它的一个周期. (3) f ( x + a )=-   ( a ≠ 0, f ( x ) ≠ 0),则函数 f ( x )必为周期函数,2| a |是它的一个周期. 2. (2014课标Ⅰ,3,5分,0.82)设函数 f ( x ), g ( x )的定义域都为R,且 f ( x )是奇函数, g ( x )是偶函数,则下列 结论中正确的是   (　　) A. f ( x ) g ( x )是偶函数　    B.| f ( x )| g ( x )是奇函数 C. f ( x )| g ( x )|是奇函数　    D.| f ( x ) g ( x )|是奇函数 答案      C 　由题意可知 f (- x )=- f ( x ), g (- x )= g ( x ),对于选项A, f (- x )· g (- x )=- f ( x )· g ( x ),所以 f ( x ) g ( x )是奇 函数,故A项错误;对于选项B,| f (- x )| g (- x )=|- f ( x )| g ( x )=| f ( x )| g ( x ),所以| f ( x )| g ( x )是偶函数,故B项错误; 对于选项C, f (- x )| g (- x )|=- f ( x )| g ( x )|,所以 f ( x )| g ( x )|是奇函数,故C项正确;对于选项D,| f (- x ) g (- x )|= |- f ( x ) g ( x )|=| f ( x ) g ( x )|,所以| f ( x ) g ( x )|是偶函数,故D项错误,选C. 思路分析 　利用奇函数、偶函数的定义来判断函数的奇偶性. 一题多解 　利用特例检验法,令 f ( x )= x , g ( x )= x 2 ,以此对各选项分别检验,可知选C. 3. (2015课标Ⅰ,13,5分,0.593)若函数 f ( x )= x ln( x +   )为偶函数,则 a = 　　　     . 答案　 1 解析　 由已知得 f (- x )= f ( x ),即- x ln(   - x )= x ln( x +   ),则ln( x +   )+ln(   - x )=0, ∴ln[(   ) 2 - x 2 ]=0,得ln a =0,∴ a =1. 思路分析 　利用偶函数的定义: f ( x )= f (- x )恒成立,求出 a 值. 一题多解 　由已知得 f (1)= f (-1),即ln(1+   )=-ln(-1+   ),得ln(1+   )+ln(-1+   )=0, 即(1+   )(-1+   )=1,解得 a =1. 检验:将 a =1代入 f ( x )的解析式,得 f ( x )= x ln( x +   ), 则 f (- x )=- x ln(- x +   )= x ln   = x ln(   + x )= f ( x ),即 f ( x )为偶函数,∴ a =1. 考点一　函数的单调性 1. (2017北京,5,5分)已知函数 f ( x )=3 x -   ,则 f ( x )   (　　) A.是奇函数,且在 R 上是增函数 B.是偶函数,且在 R 上是增函数 C.是奇函数,且在 R 上是减函数 D.是偶函数,且在 R 上是减函数 B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案      A 　本题考查指数函数的奇偶性和单调性. 易知函数 f ( x )的定义域关于原点对称. ∵ f (- x )=3 - x -   =   -3 x =- f ( x ),∴ f ( x )为奇函数. 又∵ y =3 x 在 R 上是增函数, y =-   在 R 上是增函数, ∴ f ( x )=3 x -   在 R 上是增函数.故选A. 2. (2014天津,4,5分)函数 f ( x )=lo   ( x 2 -4)的单调递增区间为(　　) A.(0,+ ∞ )　    B.(- ∞ ,0)　    C.(2,+ ∞ )　    D.(- ∞ ,-2) 答案      D 　由 x 2 -4>0得 x <-2或 x >2.令 u = x 2 -4,易知 u = x 2 -4在(- ∞ ,-2)上为减函数,在(2,+ ∞ )上为增函 数, y =lo   u 为减函数,故 f ( x )的单调递增区间为(- ∞ ,-2). 3. (2016天津,13,5分)已知 f ( x )是定义在 R 上的偶函数,且在区间(- ∞ ,0)上单调递增.若实数 a 满足 f (2 | a -1| )> f (-   ),则 a 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　由题意知函数 f ( x )在(0,+ ∞ )上单调递减.因为 f (2 | a -1| )> f (-   ), f (-   )= f (   ),所以 f (2 | a -1| )> f (   ),所以2 | a -1| <   ,解之得   < a <   . 考点二　函数的奇偶性与周期性 1. (2015广东,3,5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是   (　　) A. y =   　    B. y = x +   C. y =2 x +   　    D. y = x +e x 答案      D 　易知 y =   与 y =2 x +   是偶函数, y = x +   是奇函数,故选D. 2. (2014湖南,3,5分)已知 f ( x ), g ( x )分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且 f ( x )- g ( x )= x 3 + x 2 +1,则 f (1) + g (1)=(　　) A.-3　    B.-1　    C.1　    D.3 答案      C 　∵ f ( x )- g ( x )= x 3 + x 2 +1,∴ f (- x )- g (- x )=- x 3 + x 2 +1,又由题意可知 f (- x )= f ( x ), g (- x )=- g ( x ), ∴ f ( x )+ g ( x )=- x 3 + x 2 +1,则 f (1)+ g (1)=1. 3. (2016山东,9,5分)已知函数 f ( x )的定义域为R.当 x <0时, f ( x )= x 3 -1;当-1 ≤ x ≤ 1时, f (- x )=- f ( x );当 x >   时, f   = f   .则 f (6)=   (　　) A.-2　    B.-1　    C.0　    D.2 答案      D 　当 x >   时,由 f   = f   可得 f ( x )= f ( x +1),所以 f (6)= f (1),而 f (1)=- f (-1), f (-1)=(-1) 3 -1 =-2,所以 f (6)= f (1)=2,故选D. 4. (2017天津,6,5分)已知奇函数 f ( x )在R上是增函数, g ( x )= xf ( x ).若 a = g (-log 2 5.1), b = g (2 0.8 ), c = g (3),则 a , b , c 的大小关系为(　　) A. a < b < c 　    B. c < b < a 　    C. b < a < c 　    D. b < c < a 答案      C 　本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较. 奇函数 f ( x )在R上是增函数,当 x >0时, f ( x )> f (0)=0,当 x 1 > x 2 >0时, f ( x 1 )> f ( x 2 )>0,∴ x 1 f ( x 1 )> x 2 f ( x 2 ),∴ g ( x )在(0,+ ∞ )上单调递增,且 g ( x )= xf ( x )是偶函数,∴ a = g (-log 2 5.1)= g (log 2 5.1).20时, f ( x )= x 2 +   ,则 f (-1)=   (　　) A.-2　    B.0　    C.1　    D.2 答案      A 　因为函数 f ( x )为奇函数,所以 f (-1)=- f (1)=-2.故选A. 3. (2011课标,9,5分)设 f ( x )是周期为2的奇函数,当0 ≤ x ≤ 1时, f ( x )=2 x (1- x ),则 f   -     =(　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   答案      A 　因为 f ( x )是周期为2的奇函数,所以 f   -     =- f       =- f       =-   ,故选A. 考点一　函数的单调性 1. (2018山西晋城一模,5)已知函数 f ( x )=log a (- x 2 -2 x +3)( a >0且 a ≠ 1),若 f (0)<0,则此函数的单调递 增区间是   (　　) A.(- ∞ ,-1]　    B.[-1,+ ∞ )　    C.[-1,1)　    D.(-3,-1] 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案      C 　令 g ( x )=- x 2 -2 x +3,由题意知 g ( x )>0,可得-3< x <1,故函数的定义域为{ x |-3< x <1}.根据 f (0) =log a 3<0,可得0< a <1,则本题即求函数 g ( x )在(-3,1)内的减区间.利用二次函数的性质可求得函 数 g ( x )在(-3,1)内的减区间为[-1,1),故选C. 2. (2018河南安阳一模,7)已知函数 f ( x )满足:①对任意 x 1 , x 2 ∈(0,+ ∞ )且 x 1 ≠ x 2 ,都有   > 0;②对定义域内的任意 x ,都有 f ( x )= f (- x ),则符合上述条件的函数是   (　　) A. f ( x )= x 2 +| x |+1　    B. f ( x )=   - x C. f ( x )=ln| x +1|　    D. f ( x )=cos x 答案      A 　由题意得: f ( x )是偶函数,在(0,+ ∞ )上递增.对于A, f (- x )= f ( x ),是偶函数,且 x >0时, f ( x )= x 2 + x +1, f '( x )=2 x +1>0,故 f ( x )在(0,+ ∞ )上递增,符合题意;对于B,函数 f ( x )是奇函数,不符合题意;对 于C,由 x +1 ≠ 0,解得 x ≠ -1,定义域不关于原点对称,故函数 f ( x )不是偶函数,不符合题意;对于D, 函数 f ( x )在(0,+ ∞ )上不单调递增,不符合题意.故选A. 3. (2018河南郑州一模,11)若函数 y =   在{ x |1 ≤ | x | ≤ 4, x ∈R}上的最大值为 M ,最小值为 m , 则 M - m =   (　　) A.   　    B.2　    C.   　    D.   答案      A 　可令| x |= t ,则1 ≤ t ≤ 4, y =   -   ,易知 y =   -   在[1,4]上递增,∴其最小值为1-1=0;最大 值为2-   =   ,则 m =0, M =   ,则 M - m =   ,故选A. 4. (2017山东济宁二模,7)已知函数 y = f ( x )是R上的偶函数,对任意 x 1 , x 2 ∈(0,+ ∞ ),都有( x 1 - x 2 )·[ f ( x 1 )- f ( x 2 )]<0.设 a =ln   , b =(ln π) 2 , c =ln   ,则   (　　) A. f ( a )> f ( b )> f ( c )　    B. f ( b )> f ( a )> f ( c ) C. f ( c )> f ( a )> f ( b )　    D. f ( c )> f ( b )> f ( a ) 答案    C 　由题意易知 f ( x )在(0,+ ∞ )上是减函数,又∵| a |=ln π>1, b =(ln π) 2 >| a |,0< c =   <| a |, ∴ f ( c )> f (| a |)> f ( b ).又由题意知 f ( a )= f (| a |),∴ f ( c )> f ( a )> f ( b ).故选C. 考点二　函数的奇偶性与周期性 1. (2018湖北荆州一模,3)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是   (　　) A. y =e x 　    B. y =tan x 　    C. y = x 3 - x 　    D. y =ln   答案      D 　函数 y =e x 不是奇函数,不满足题意;函数 y =tan x 是奇函数,但在整个定义域内不是增 函数,不满足题意;函数 y = x 3 - x 是奇函数,当 x ∈   时, y '=3 x 2 -1<0,为减函数,不满足题意;函 数 y =ln   是奇函数,在定义域(-2,2)内,函数 t =   =-1-   为增函数,函数 y =ln t 也为增函数, 故函数 y =ln   在定义域内为增函数,满足题意.故选D. 2. (2018湖南祁阳二模,7)已知偶函数 f   ,当 x ∈   时, f ( x )=   +sin x ,设 a = f (1), b = f (2), c = f (3),则   (　　) A. a < b < c 　    B. b < c < a 　    C. c < b < a 　    D. c < a < b 答案    D 　∵当 x ∈   时, y =sin x 单调递增, y =   也为增函数,∴函数 f ( x )=   +sin x 也为增函 数.∵函数 f   为偶函数,∴ f   = f   , f ( x )的图象关于 x =   对称,∴ f (2)= f (π-2), f (3)= f (π-3),∵0<π-3<1<π-2<   ,∴ f (π-3)< f (1)< f (π-2),即 c < a < b ,故选D. 3. (2018河南洛阳一模,6)已知函数 y = f ( x )满足 y = f (- x )和 y = f ( x +2)是偶函数,且 f (1)=   ,设 F ( x )= f ( x )+ f (- x ),则 F (3)=(　　) A.   　    B.   　    C.π　　D.   答案    B 　由 y = f (- x )和 y = f ( x +2)是偶函数知 f (- x )= f ( x ),且 f ( x +2)= f (- x +2),则 f ( x +2)= f ( x -2),则 f ( x )= f ( x +4).所以 F (3)= f (3)+ f (-3)=2 f (3)=2 f (-1)=2 f (1)=   .故选B. 4. (2017江西南城一中、高安中学等9校3月联考,3)已知R上的奇函数 f ( x )满足:当 x >0时, f ( x )= x 2 + x -1,则 f [ f (-1)]=   (　　) A.-1　    B.1　    C.2　    D.-2 答案    A      f [ f (-1)]= f [- f (1)]= f (-1)=- f (1)=-1,故选A. 5. (2017广东宝安期末,4)设 f ( x )=lg   , g ( x )=e x +   ,则   (　　) A. f ( x )与 g ( x )都是奇函数 B. f ( x )是奇函数, g ( x )是偶函数 C. f ( x )与 g ( x )都是偶函数 D. f ( x )是偶函数, g ( x )是奇函数 答案    B 　首先, f ( x )的定义域为(- ∞ ,-1) ∪ (1,+ ∞ ), g ( x )的定义域是R,两个函数的定义域都关于 原点对称.对于 f ( x ),可得 f (- x )=lg   =lg   ,∴ f (- x )+ f ( x )=lg   =lg 1=0,由此可得 f (- x )= - f ( x ),可得 f ( x )是奇函数; 对于 g ( x ),可得 g (- x )=e - x +   =   +e x , ∴ g (- x )= g ( x ), g ( x )是偶函数.故选B. 6. (2016广东揭阳一模,14)已知函数 f ( x )是周期为2的奇函数,当 x ∈[0,1)时, f ( x )=lg( x +1),则 f   +lg 18= 　　　     . 答案 　1 解析 　由函数 f ( x )是周期为2的奇函数得 f   = f   = f   =- f   =-lg   =lg   ,故 f   + lg 18=lg   +lg 18=lg 10=1. 方法总结　 对于与周期性和奇偶性有关的求值问题,常交替利用奇偶性和周期性将所求函数 值对应的自变量值转化到已知解析式的区间内求解. 一、选择题(每题5分,共35分) 1. (2018河北石家庄一模,6)已知奇函数 f ( x )在 x >0时单调递增,且 f (1)=0,若 f ( x -1)>0,则 x 的取值范 围为   (　　) A.{ x |0< x <1或 x >2}　    B.{ x | x <0或 x >2} C.{ x | x <0或 x >3}　    D.{ x | x <-1或 x >1} B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间: 25 分钟　分值: 4 0分) 答案      A 　∵奇函数 f ( x )在(0,+ ∞ )上单调递增,且 f (1)=0,∴函数 f ( x )在(- ∞ ,0)上单调递增,且 f (-1) =0,则-1< x <0或 x >1时, f ( x )>0; x <-1或0< x <1时, f ( x )<0.∴不等式 f ( x -1)>0即-1< x -1<0或 x -1>1,解得0 < x <1或 x >2,故选A. 思路分析 　先确定函数 f ( x )在(- ∞ ,0)上单调递增,且 f (-1)=0,再将不等式等价变形,即可得到结 论. 导师点睛 　奇函数在对称区间上的单调性相同. 2. (2018河南郑州一模,10)已知定义在R上的奇函数 f ( x )满足 f ( x +2e)=- f ( x )(其中e=2.718 2 … ),且 在区间[e,2e]上是减函数,令 a =   , b =   , c =   ,则 f ( a ), f ( b ), f ( c )的大小关系(用不等号连接)为   (　　) A. f ( b )> f ( a )> f ( c )　    B. f ( b )> f ( c )> f ( a ) C. f ( a )> f ( b )> f ( c )　    D. f ( a )> f ( c )> f ( b ) 答案      A 　∵ f ( x )是R上的奇函数,满足 f ( x +2e)=- f ( x ),∴ f ( x +2e)= f (- x ),∴函数 f ( x )的图象关于直线 x =e对称,∵ f ( x )在区间[e,2e]上为减函数,∴ f ( x )在区间[0,e]上为增函数,又易知0< c < a < b 0; ② f ( x +4)=- f ( x ); ③ y = f ( x +4)是偶函数; 若 a = f (6), b = f (11), c = f (2 017),则 a , b , c 的大小关系正确的是   (　　) A. a < b < c 　    B. b < a < c 　    C. a < c < b 　    D. c < b < a 答案      B 　∵ y = f ( x +4)是偶函数,∴函数 f ( x )的图象关于直线 x =4对称. ∵ f ( x +4)=- f ( x ),∴ f ( x +8)= f ( x ), 即函数 f ( x )是周期为8的周期函数. ∴ b = f (11)= f (3)= f (5), c = f (2 017)= f (1)= f (7). ∵对任意的 x 1 , x 2 ∈[4,8],当 x 1 < x 2 时,都有   >0, ∴函数 f ( x )在[4,8]上单调递增,∴ b < a < c ,故选B. 疑难突破 　由 y = f ( x +4)是偶函数,可知 y = f ( x )的图象关于 x =4对称. 二、填空题(每题5分,共5分) 8. (2017山东济宁3月模拟,15)若函数 f ( x )=   ( a >0且 a ≠ 1)在R上单调递减,则实数 a 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　因为函数 f ( x )=   ( a >0且 a ≠ 1)在R上单调递减,则   ⇒   ≤ a <1,即实数 a 的取值范围是   . 解后反思 　分段函数在定义域上单调递减时,每段函数都要递减,同时要注意分界点处函数值 的处理.