【物理】2018届一轮复习江苏专用第四章专题强化五地球同步卫星 双星或多星模型学案

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【物理】2018届一轮复习江苏专用第四章专题强化五地球同步卫星 双星或多星模型学案

专题强化五 地球同步卫星 双星或多星模型 专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用,同步卫星是与地球(中心)相对静止的卫星;而双星或多星模型有可能没有中心天体,近年来常以选择题形式在高考题中出现.‎ ‎2.学好本专题有助于学生加深万有引力定律的灵活应用,加深力和运动关系的理解.‎ ‎3.需要用到的知识:牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等.‎ 命题点一 地球同步卫星 ‎1.定义:相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星.‎ ‎2.“七个一定”的特点 ‎(1)轨道平面一定:轨道平面与赤道平面共面.‎ ‎(2)周期一定:与地球自转周期相同,即T=24 h.‎ ‎(3)角速度一定:与地球自转的角速度相同.‎ ‎(4)高度一定:由G=m(R+h)得地球同步卫星离地面的高度h=3.6×107 m.‎ ‎(5)速率一定:v= =3.1×103 m/s.‎ ‎(6)向心加速度一定:由G=ma得a==gh=0.23 m/s2,即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度.‎ ‎(7)绕行方向一定:运行方向与地球自转方向相同.‎ 例1 利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为(  )‎ A.1 h B.4 h C.8 h D.16 h 答案 B 解析 地球自转周期变小,卫星要与地球保持同步,则卫星的公转周期也应随之变小,由开 普勒第三定律=k可知卫星离地球的高度应变小,要实现三颗卫星覆盖全球的目的,则卫星周期最小时,由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示.‎ 卫星的轨道半径为r==2R 由=得 =.‎ 解得T2≈4 h.‎ 解决同步卫星问题的“四点”注意 ‎1.基本关系:要抓住:G=ma=m=mrω2=mr.‎ ‎2.重要手段:构建物理模型,绘制草图辅助分析.‎ ‎3.物理规律 ‎(1)不快不慢:具有特定的运行线速度、角速度和周期.‎ ‎(2)不高不低:具有特定的位置高度和轨道半径.‎ ‎(3)不偏不倚:同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上,只能静止在赤道上方的特定的点上.‎ ‎4.重要条件 ‎(1)地球的公转周期为1年,其自转周期为1天(24小时),地球的表面半径约为6.4×103 km,表面重力加速度g约为9.8 m/s2.‎ ‎(2)月球的公转周期约27.3天,在一般估算中常取27天.‎ ‎(3)人造地球卫星的运行半径最小为r=6.4×103 km,运行周期最小为T=84.8 min,运行速度最大为v=7.9 km/s .‎ ‎1.国务院批复,自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.如图1所示,1970年4‎ 月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km;1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a1,东方红二号的加速度为a2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3,则a1、a2、a3的大小关系为(  )‎ 图1‎ A.a2>a1>a3 B.a3>a2>a1‎ C.a3>a1>a2 D.a1>a2>a3‎ 答案 D 解析 由于东方红二号卫星是同步卫星,则其角速度和赤道上的物体角速度相等,根据a=ω2r,r2>r3,则a2>a3;由万有引力定律和牛顿第二定律得,G=ma,由题目中数据可以得出,r1a2>a3,选项D正确.‎ ‎2.研究表明,地球自转在逐渐变慢,3亿年前地球自转的周期约为22小时.假设这种趋势会持续下去,地球的其他条件都不变,未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(  )‎ A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大 C.线速度变大 D.角速度变大 答案 A 解析 地球的自转周期变大,则地球同步卫星的公转周期变大.由=m(R+h),得h= -R,T变大,h变大,A正确.‎ 由=ma,得a=,r增大,a减小,B错误.‎ 由=,得v= ,r增大,v减小,C错误.‎ 由ω=可知,角速度减小,D错误.‎ ‎3.(多选)地球同步卫星离地心的距离为r,运行速率为v1,加速度为a1‎ ‎,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2,地球的第一宇宙速度为v2,半径为R,则下列比例关系中正确的是(  )‎ A.= B.=()2‎ C.= D.= 答案 AD 解析 设地球的质量为M,同步卫星的质量为m1,在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2,根据向心加速度和角速度的关系有a1=ωr,a2=ωR,又ω1=ω2,故=,选项A正确;由万有引力定律和牛顿第二定律得G=m1,G=m2,解得=,选项D正确.‎ 命题点二 双星或多星模型 ‎1.双星模型 ‎(1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统,如图2所示.‎ 图2‎ ‎(2)特点:‎ ‎①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即 =m1ωr1,=m2ωr2‎ ‎②两颗星的周期及角速度都相同,即 T1=T2,ω1=ω2‎ ‎③两颗星的半径与它们之间的距离关系为:r1+r2=L ‎(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=.‎ ‎2.多星模型 ‎(1)定义:所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同.‎ ‎(2)三星模型:‎ ‎①三颗星位于同一直线上,两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示).‎ ‎②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示).‎ 图3‎ ‎(3)四星模型:‎ ‎①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示).‎ ‎②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示).‎ 例2 由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式,三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况).若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m,三角形的边长为a,求:‎ 图4‎ ‎(1)A星体所受合力大小FA;‎ ‎(2)B星体所受合力大小FB;‎ ‎(3)C星体的轨道半径RC;‎ ‎(4)三星体做圆周运动的周期T.‎ 答案 (1)2G (2)G (3)a (4)π 解析 (1)由万有引力定律,A星体所受B、C星体引力大小为FBA=G=G=FCA 方向如图所示 则合力大小为FA=FBA·cos 30°+FCA·cos 30°=2G ‎(2)同上,B星体所受A、C星体引力大小分别为 FAB=G=G FCB=G=G 方向如图所示,‎ 由余弦定理得合力为:‎ FB==G ‎(3)由于mA=2m,mB=mC=m 通过分析可知,圆心O在BC的中垂线AD的中点 则RC= =a ‎(4)三星体运动周期相同,对C星体,由FC=FB=G=m()2RC,可得T=π .‎ ‎4.双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为(  )‎ A.T B.T C.T D.T 答案 B 解析 设两恒星的质量分别为m1、m2,距离为L,‎ 双星靠彼此的引力提供向心力,则有 G=m1r1 G=m2r2 并且r1+r2=L 解得T=2π 当两星总质量变为原来的k倍,两星之间距离变为原来的n倍时 T′=2π=·T 故选项B正确.‎ ‎5.银河系的恒星中大约四分之一是双星.如图5所示,某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动.由天文观察测得它们的运动周期为T,若已知S1和S2的距离为r,引力常量为G,求两星的总质量M.‎ 图5‎ 答案  解析 设星体S1、S2的质量分别为m1、m2,运动的轨道半径分别为R1、R2,则运动的角速度为ω= 根据万有引力定律和向心力公式有 G=m1ω2R1=m2ω2R2‎ 又R1+R2=r 联立解得两星的总质量为 M=m1+m2=+==.‎ 一、近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的比较 如图6所示,a为近地卫星,半径为r1;b为同步卫星,半径为r2;c为赤道上随地球自转的物体,半径为r3.‎ 图6‎ 近地卫星 同步卫星 赤道上随地球自转的物体 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r1r3=r1‎ 角速度 由=mrω2得ω= ,故ω1>ω2‎ 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同,故ω2=ω3‎ ω1>ω2=ω3‎ 线速度 由=得v=,故v1>v2‎ 由v=rω得v2>v3‎ v1>v2>v3‎ 向心加速度 由=ma得a=,故a1>a2‎ 由a=rω2得a2>a3‎ a1>a2>a3‎ 二、卫星追及相遇问题 典例 (多选)如图7所示,三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2),在c的万有引力作用下,a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动,已知轨道半径之比为ra∶rb=1∶4,则下列说法中正确的有(  )‎ 图7‎ A.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶8‎ B.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶4‎ C.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线12次 D.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线14次 点评 某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之 分,但它们都处在同一条直线上,由于它们的轨道不是重合的,因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理,而是通过卫星运动的圆心角来衡量,若它们初始位置在同一直线上,实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻,而本题中a、b、c三个质点初始位置不在一条直线上,故在列式时要注意初始角度差.‎ 答案 AD 解析 根据开普勒第三定律:周期的平方与半径的三次方成正比,则周期之比为1∶8,A对;设图示位置夹角为θ<,b转动一周(圆心角为2π)的时间为t=Tb,则a、b相距最远时:Tb-Tb=(π-θ)+n·2π(n=0,1,2,3,…),可知n<6.75,n可取7个值;a、b相距最近时:Tb-Tb=(2π-θ)+m·2π(m=0,1,2,3,…),可知m<6.25,m可取7个值,故在b转动一周的过程中,a、b、c共线14次,D对.‎ 题组1 同步卫星 ‎1.(多选)据报道,北斗卫星导航系统利用其定位、导航等功能加入到马航MH370失联客机 搜救工作,为指挥中心调度部署人力、物力提供决策依据,保证了搜救船只准确抵达相关海域,帮助搜救船只规划搜救航线,避免搜救出现遗漏海域,目前北斗卫星导航定位系统由高度均约为36 000 km的5颗静止轨道卫星和5颗倾斜地球同步轨道卫星以及高度约为21 500 km的4颗中轨道卫星组网运行,下列说法正确的是(  )‎ A.中轨道卫星的周期比同步卫星的周期大 B.所有卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上 C.同步卫星和中轨道卫星的线速度均小于第一宇宙速度 D.赤道上随地球自转的物体的向心加速度比同步卫星的向心加速度大 答案 BC 解析 由开普勒第三定律可知,轨道半径较小的中轨道卫星的周期比同步卫星的周期小,A项错;由题意知,北斗导航系统的卫星轨道高度一定,因此卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上,B项正确;第一宇宙速度是卫星绕地球的最大运行速度,C项正确;赤道上物体与同步卫星的角速度相同,由a=ω2r可知,同步卫星的向心加速度较大,D项错.‎ ‎2.如图1所示,轨道Ⅰ是近地气象卫星轨道,轨道Ⅱ是地球同步卫星轨道,设卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上都绕地心做匀速圆周运动,运行的速度大小分别是v1和v2,加速度大小分别是a1和a2,则(  )‎ 图1‎ A.v1>v2 a1v2 a1>a2‎ C.v1a2‎ 答案 B 解析 根据G=m=ma,可知v= ,a=,所以v1>v2,a1>a2.选项B正确.‎ ‎3.设地球的质量为M,半径为R,自转周期为T,引力常量为G.“神舟九号”绕地球运行时离地面的高度为h,则“神舟九号”与“同步卫星”各自所在轨道处的重力加速度的比值为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案 C 解析 设“神舟九号”与“同步卫星”各自所在轨道处的重力加速度分别为g神九、g同步,则m神九g神九=G,m同步g同步=G=,联立可得=,故C正确.‎ ‎4.“神舟八号”飞船绕地球做匀速圆周运动时,飞行轨道在地球表面的投影如图2所示,图中标明了飞船相继飞临赤道上空所对应的地面的经度.设“神舟八号”飞船绕地球飞行的轨道半径为r1,地球同步卫星飞行轨道半径为r2.则r∶r等于(  )‎ 图2‎ A.1∶24 B.1∶156‎ C.1∶210 D.1∶256‎ 答案 D 解析 从图象中可以看出,飞船每运行一周,地球自转22.5°,故飞船的周期为T1=×24 h=1.5 h,同步卫星的周期为24 h,由开普勒第三定律可得==()2=,故选D.‎ 题组2 双星、多星模型 ‎5.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三星系统如图3所示,三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R,忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,万有引力常量为G,则(  )‎ 图3‎ A.每颗星做圆周运动的线速度为 B.每颗星做圆周运动的角速度为 C.每颗星做圆周运动的周期为2π D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 答案 ABC 解析 由图可知,每颗星做匀速圆周运动的半径r==R.由牛顿第二定律得·2cos 30°=m=mω2r=mr=ma,可解得v= ,ω= ,T=2π,a=,故A、B、C均正确,D错误.‎ ‎6.2016年2月11日,美国科学家宣布探测到引力波的存在,引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角,这是一个划时代的发现.在如图4所示的双星系统中,A、B两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动,已知恒星A的质量为太阳质量的29倍,恒星B的质量为太阳质量的36倍,两星之间的距离L=2×105 m,太阳质量M=2×1030 kg,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,π2=10.若两星在环绕过程中会辐射出引力波,该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级,则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是(  )‎ 图4‎ A.102 Hz B.104 Hz C.106 Hz D.108 Hz 答案 A 解析 A、B的周期相同,角速度相等,靠相互之间的引力提供向心力,‎ 有G=MArA①‎ G=MBrB②‎ 有MArA=MBrB,rA+rB=L,‎ 解得rA=L=L=L.‎ 由①得T= ,‎ 则f== = Hz≈1.6×102 Hz.‎ ‎7.经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研究,使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识,双星系统由两个星体组成,其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离,一般双星系统距离其他星体很远,可以当成孤立系统来处理.现根据对某一双星系统的测量确定,该双星系统中每个星体的质量都是M,两者相距L,它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.‎ ‎(1)计算出该双星系统的运动周期T;‎ ‎(2)若该实验中观测到的运动周期为T观测,且T观测∶T=1∶(N>1).为了理解T观测与T的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质.作为一种简化模型,我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质.若不考虑其他暗物质的影响,根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.‎ 答案 (1)πL (2) 解析 (1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动,万有引力提供向心力,则G=M2·,解得T=πL.‎ ‎(2)N>1,根据观测结果,星体的运动周期为T观测=T
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