【物理】2019届一轮复习鲁科版曲线运动万有引力与航天能力课
能力课 天体运动中常考易错的“三个命题点”
同步卫星的运动规律
同步卫星的六个“一定”
命题角度1 同步卫星的运动特点
【例1】 我国自主研发的“北斗”卫星导航系统中含有地球同步卫星，关于地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A.同步卫星处于平衡状态
B.同步卫星的速度是不变的
C.同步卫星的高度是一定的
D.同步卫星的线速度应大于第二宇宙速度
解析 同步卫星做匀速圆周运动，其加速度不为零，故不可能处于平衡状态，选项A错误；同步卫星做匀速圆周运动，速度方向必然改变，故选项B错误；同步卫星定轨道、定周期，所以同步卫星离地面的高度是一个定值，选项C正确；星球上的物体脱离该星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第一宇宙速度又叫最大环绕速度，同步卫星离地面有一定距离，其速度一定小于第一和第二宇宙速度，选项D错误。
答案 C
命题角度2 同步卫星与其他卫星运动物理量的比较
【例2】 (多选)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A.距地面的高度变小 B.向心加速度变小
C.线速度变小 D.角速度变小
解析 同步卫星的周期等于地球的自转周期，根据＝m()2r可知，卫星的周期越大，轨道半径越大，所以地球自转变慢后，同步卫星需要在更高的轨道上运行，A错误；又由＝m＝mω2r＝ma可知：r增大，则v减小、ω变小、a变小，故B、C、D正确。
答案 BCD
【变式训练1】 “静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法正确的是( )
A.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
B.同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得速度的
C.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
D.同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的
解析 同步卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则G＝man＝m＝mω2r＝mr，得同步卫星的运行速度v＝，又第一宇宙速度v1＝，所以＝＝，故选项A错误，C正确；an＝，g＝，所以＝＝，故选项D错误；同步卫星与地球自转的角速度相同，v＝ωr，v自＝ωR，所以＝＝n，故选项B错误。
答案 C
近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题
如图1所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
图1
向心力
近地卫星
(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自转的物体
(r3、ω3、v3、a3)
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2＞r3＝r1
角速度
由＝mω2r得
ω＝，故ω1＞ω2
同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
线速度
由＝得v＝，故v1＞v2
由v＝rω得
v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心加
速度
由＝ma得a＝，
故a1＞a2
由a＝ω2r得
a2＞a3
a1＞a2＞a3
【例3】 (2016·四川理综，3)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 m，远地点高度约为2 060
m；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 m的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
图2
A.a2＞a1＞a3 B.a3＞a2＞a1
C.a3＞a1＞a2 D.a1＞a2＞a3
解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝ma，由题目中数据可以得出r1
a2>a3，选项D正确。
答案 D
【变式训练2】 (多选)如图3所示，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为绕地球做匀速圆周运动的近地卫星，c为地球的同步卫星，其轨道半径为r，设地球半径为R，下列说法正确的是( )
图3
A.b与c的周期之比为
B.b与c的周期之比为
C.a与c的线速度大小之比为
D.a与c的线速度大小之比为
解析 b、c均为地球的卫星，则均由万有引力提供向心力，有G＝mr，整理得T＝2π，则b、c的周期之比为＝＝，选项A错误，B正确；由于a、c具有相同的角速度，则由v＝ωr，可知a、c的线速度之比为＝，选项C正确，D错误。
答案 BC
卫星(航天器)的变轨及对接问题
命题角度1 卫星的变轨、对接问题
1.卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图4所示。
图4
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道 Ⅰ 上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.对接
航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。
【例4】 如图5，宇宙飞船A在低轨道上飞行，为了给更高轨道的宇宙空间站B输送物质，需要与B对接，它可以采用喷气的方法改变速度，从而达到改变轨道的目的，则以下说法正确的是( )
图5
A.它应沿运行速度方向喷气，与B对接后周期比低轨道时的小
B.它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后周期比低轨道时的大
C.它应沿运行速度方向喷气，与B对接后周期比低轨道时的大
D.它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后周期比低轨道时的小
解析 若A要实施变轨与比它轨道更高的空间站B对接，则应做逐渐远离圆心的运动，则万有引力必须小于A所需的向心力，所以应给A加速，增加其所需的向心力，故应沿运行速度的反方向喷气，使得在短时间内A的速度增加。与B对接后轨道半径变大，根据开普勒第三定律＝ 得，周期变大，故选项B正确。
答案 B
【变式训练3】 (2016·天津理综，3)我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
图6
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
解析 若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速，所需向心力变小，则空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D错误。
答案 C
命题角度2 变轨前、后各物理量的比较
1.航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
2.卫星变轨的实质
两类变轨
离心运动
近心运动
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
受力分析
Gm
变轨结果
变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动
变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
【例5】 2017年1月18日，世界首颗量子
学实验卫星“墨子号”在圆满完成4个月的在轨测试任务后，正式交付用户单位使用。如图7为“墨子号”变轨示意图，轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，以下说法正确的是( )
图7
A.“墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中速率越来越大
B.“墨子号”在轨道C上经过Q点的速率大于在轨道A上经过P点的速率
C.“墨子号”在轨道B上经过P时的向心加速度大于在轨道A上经过P点时的向心加速度
D.“墨子号”在轨道B上经过Q点时受到的地球的引力小于经过P点时受到的地球的引力
解析 “墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中，逐渐远离地心，速率越来越小，选项A错误；“墨子号”在A、C轨道上运行时，轨道半径不同，根据G＝m可得v＝，轨道半径越大，线速度越小，选项B错误；“墨子号”在A、B两轨道上经过P点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，选项C错误；“墨子号”在轨道B上经过Q点比经过P点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，选项D正确。
答案 D
【变式训练4】 (多选)2016年10月19日，“神舟十一号”与“天宫二号”成功实现交会对接。如图8所示，交会对接前“神舟十一号”飞船先在较低圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫二号”对接。M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速。下列关于“神舟十一号”变轨过程的描述正确的有( )
图8
A.“神舟十一号”在M点加速，可以在P点与“天宫二号”相遇
B.“神舟十一号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2
C.“神舟十一号”经变轨后速度总大于变轨前的速度
D.“神舟十一号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期
解析 “神舟十一号”与“天宫二号”实施对接，需要“神舟十一号”提升轨道，即“神舟十一号”开动发动机加速做离心运动，使轨道高度与“天宫二号”相同实现对接，故“神舟十一号”在M点加速，可以在P点与“天宫二号”相遇，故选项A正确；卫星绕地球做圆周运动向心力由万有引力提供，故有G＝m，解得v＝，所以卫星轨道高度越大，线速度越小，“神舟十一号”在轨道2的速度小于轨道1的速度，所以在M点经一次加速后，还有一个减速过程，才可变轨到轨道2，故选项B、C错误；根据G＝m解得T＝2π，可知轨道半径越大，周期越大，所以“神舟十一号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期，故选项D正确。
答案 AD
命题角度3 天体中的“追及相遇”问题
【例6】 (多选)如图9，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法正确的有( )
图9
A.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
解析 根据开普勒第三定律＝ 得＝＝＝，则周期之比为1∶8，选项A正确，B错误；设图示位置a、b的夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为t＝Tb，则a、b相距最远时：Tb－Tb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0，1，2，3，…)，可知n<6.75，n可取7个值；a、b相距最近时：Tb－Tb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0，1，2，3，…)，可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，选项D正确。
答案 AD
天体相遇与追及问题的处理方法
首先根据＝mrω2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍，即ωAt－ωBt＝n·2π(n＝1、2、3……)，相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍，即ωAt－ωBt＝(2n＋1)π(n＝0、1、2……)
【变式训练5】 假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4 200 m 的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6 400 m，地球同步卫星距地面高为
36 000 m，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为( )
A.4次 B.6次 C.7次 D.8次
解析 根据圆周运动的规律，分析一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数，即为卫星发射信号的次数，也为接收站接收到的信号次数。
设宇宙飞船的周期为T，由＝mr，
得T＝2π， 则
＝()3，
解得T＝3 h
设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为t1，有
(－)t1＝π，解得t1＝ h
再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t2，有
(－)t2＝2π，解得t2＝ h
由n＝＝6.5次知，接收站接收信号的次数为7次。
答案 C
万有引力定律与几何知识的结合—— 学思维能力的培养
人造卫星绕地球运动，太阳发出的光线沿直线传播，地球或卫星都会遮挡光线，从而使万有引力、天体运动与几何知识结合起来。
求解此类问题时，要根据题中情景，由光线沿直线传播画出几何图形，通过几何图形找到边界光线，从而确定临界条件，并结合万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，列式求解。
【例】 某行星的同步卫星下方的行星表面上有一观察者，行星的自转周期为T，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，发现日落的时间内有的时间看不见此卫星，不考虑大气对光的折射，则该行星的密度为( )
A. B. C. D.
解析 设行星质量为M，半径为R，密度为ρ，卫星质量为m，如图所示，发现日落的时间内有的时间看不见同步卫星，则θ＝＝60°，故φ＝60°，r＝＝2R，根据G＝m2R，M＝ρ·πR3，解得ρ＝。选项A正确。
答案 A
【针对训练1】 (2017·石家庄二模)如图10所示，人造卫星A、B在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动，已知A、B连线与A、O连线间的夹角最大为θ，则卫星A、B的线速度之比为( )
图10
A.sin θ B.
C. D.
解析 由题图可知，当A、B连线与B所在的圆周相切时A、B连线与A、O连线的夹角θ最大，由几何关系可知，sin θ＝；根据G＝m可知，v＝，故＝＝，选项C正确。
答案 C
【针对训练2】 (2016·全国卷Ⅰ，17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A.1 h B.4 h
C.8 h D.16 h
解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝ 可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出他们间的位置关系如图所示。卫星的轨道半径为r＝＝2R
由＝得＝。
解得T2≈4 h。选项B正确。
答案 B
活页作业
(时间：40分钟)
►题组一 同步卫星的运动规律
1.人造地球卫星进入轨道做匀速圆周运动时( )
A.卫星上物体不再受到重力作用
B.卫星在轨道上运行的线速度应大于第一宇宙速度
C.卫星在轨道上运行的线速度不可能大于第一宇宙速度
D.同步卫星的轨道可通过北京的上空
答案 C
2.北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。对于其中的5颗同步卫星，下列说法正确的是( )
A.它们运行的线速度一定不小于7.9 m/s
B.地球对它们的吸引力一定相同
C.一定位于赤道上空同一轨道上
D.它们运行的加速度一定相同
解析 同步卫星运行的线速度一定小于7.9 m/s，选项A错误；由于5颗同步卫星的质量不一定相等，所以地球对它们的吸引力不一定相同，选项B错误；5颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上，它们运行的加速度大小一定相等，方向不相同，选项C正确，D错误。
答案 C
3.(2017·银川市高三模拟)我国首颗量子
学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与 学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图1所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，由此可知( )
图1
A.同步卫星与量子卫星的运行周期之比为
B.同步卫星与P点的速度之比为
C.量子卫星与同步卫星的速度之比为
D.量子卫星与P点的速度之比为
解析 由开普勒第三定律＝可知，＝，可知同步卫星与量子卫星的运行周期之比为，选项A错误；由于同步卫星的周期与地球自转周期相同，由v＝ωr＝r可得同步卫星与P点的速度之比为v同∶vP＝n∶1，选项B错误；由G＝m解得v＝，量子卫星与同步卫星的速度之比为＝＝，选项C错误；量子卫星与P点的速度之比为＝·＝，选项D正确。
答案 D
►题组二 近地卫星、同步卫星和赤道上的物体运行问题
4.(2017·江苏卷，6)(多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 m的圆轨道上飞行，则其( )
A.角速度小于地球自转角速度
B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期小于地球自转周期
D.向心加速度小于地面的重力加速度
解析 根据万有引力提供向心力得G＝m(R＋h)ω2＝m＝m(R＋h)＝ma，解得v＝，ω＝，T＝，a＝，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于同步卫星的周期，也小于地球的自转周期，选项A错误，C正确；由第一宇宙速度v＝可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由地面的重力加速度g＝可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D正确。
答案 BCD
5.(多选)如图2，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2。第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是( )
图2
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝
解析 本题中涉及三个物体，其已知量排列如下
地球同步卫星：轨道半径r，运行速率v1，加速度a1
地球赤道上的物体：轨道半径R，随地球自转的向心加速度a2
近地卫星：轨道半径R，运行速率v2
对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，有
G＝m，故＝。故选项D正确；
对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，有a＝ω2r，故＝。故选项A正确。
答案 AD
6.(2017·河南平顶山高三联考) (多选)图3中的甲是地球赤道上的一个物体、乙是“神舟十一号”宇宙飞船(周期约90分钟)、丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动。下列有关说法正确的是( )
图3
A.它们运动的向心加速度大小关系是a乙＞a丙＞a甲
B.它们运动的线速度大小关系是v乙＜v丙＜v甲
C.已知甲运动的周期T甲＝24 h，可计算出地球的密度
ρ＝
D.已知乙运动的周期T乙及轨道半径r乙，可计算出地球质量M＝
解析 ω甲＝ω丙、r甲＜r丙，由a＝rω2、v＝ωr知，线速度v甲＜v丙，向心加速度a甲＜a丙；乙和丙都在地球的引力作用下绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，a＝G，v＝，r乙＜r丙，有a乙＞a丙，v乙＞v丙
，故选项A正确，B错误；对于甲物体，万有引力的一个分力提供向心力，假设地球半径为R，质量为M，那么赤道上质量为m的物体受到的万有引力F＝，而物体做匀速圆周运动的向心力公式F向＝。C项中告诉我们周期T甲，故有＞，可得＞，密度ρ＝＞，选项C错误；对于乙物体，万有引力提供向心力，有＝，可得M＝，故选项D正确。
答案 AD
►题组三 卫星(航天器)的变轨及对接问题
7.2016年6月25日“长征七号”将“遨龙一号”空间碎片主动清理器送入轨道，“遨龙一号”可进行主动变轨，捕获绕地球运动的空间碎片，若“遨龙一号”要捕获更高轨道的空间碎片，则“遨龙一号”( )
A.需从空间碎片后方加速
B.需从空间碎片前方减速
C.变轨时的机械能不变
D.变轨到空间碎片轨道并捕获空间碎片后，仍沿空间碎片轨道运动，其加速度将变大
解析 “遨龙一号”轨道半径小，需从空间碎片后方加速，使其进入高轨道，选项A正确，B错误；“遨龙一号”变轨时，速度增大，机械能增大，选项C错误；轨道高度不变时，由＝ma，得a＝，加速度大小与运动物体质量无关，选项D错误。
答案 A
8.(多选)如图4所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
图4
A.该卫星的发射速度必定大于11.2 m/s
B.卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 m/s
C.在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D.卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
解析 第一宇宙速度v1＝7.9 m/s既是人造地球卫星的最大环绕速度，又是最小的发射速度；当发射速度7.9 m/s
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